82
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
5. Tentukan nilai a, b, c, dan d yang memenuhi persamaan berikut.
a.
5 2
3 5
5 a
b c
d £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´
c.
1 2
1 3 2
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
d a
b c
c
b.
1 2
1 1
b a
c d
a d
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
d.
2 16
a b
c d
c a
b £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´
5. Perkalian Antarmatriks
Suatu ketika Rini dan Nita membeli alat tulis di koperasi sekolah. Rini membeli 3 buku tulis dan sebatang pensil,
sedangkan Nita membeli 2 buku tulis dan 2 pensil. Harga sebuah buku tulis adalah Rp1.000,00 dan harga satu pensil Rp500,00.
Berapakah jumlah uang yang harus dibayar Rini dan Nita?
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapat langsung mengalikan jumlah barang yang dibeli dengan harga
satuan. Jumlah uang yang harus dibayar Rini adalah 3
×
1.000 + 1
×
500 = 3.500, sedangkan jumlah uang yang harus dibayar Nita adalah
2
×
1.000 + 2
×
500 = 3.000. Di samping itu, persoalan di atas dapat disajikan dalam bentuk
tabel seperti terlihat berikut ini.
Tabel 3.5 Pembelian Barang
Buku Tulis Pensil
Rini 3
1 Nita
2 2
Tabel 3.6 Daftar Harga Barang
Nama Barang Harga Satuan
Buku tulis 1.000
Pensil 500
Jika keperluan Rini kita tulis dalam bentuk matriks baris dan harga satuan barang dalam bentuk matriks kolom, jumlah
uang yang harus dibayar Rini dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks berikut.
3
×
1.000 + 1
×
500 = 3 1 ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 500
000 .
1 = 3.500
Dengan cara yang sama, jumlah uang yang harus dibayar Nita dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks.
2
×
1.000 + 2
×
500 = 2 2 ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 500
000 .
1 = 3.000
Hasil perhitungan di atas diperoleh dengan cara mengalikan setiap elemen matriks berordo 1
×
2 dengan matriks berordo 2
×
1 yang hasilnya adalah matriks baru berordo 1
×
1. Untuk mudah dalam mengingatnya, perhatikan bagan berikut.
83
Matriks
Ordo hasil kali
1
×
22
×
1 = 1
×
1
sama
Jika matriks A = a b dikalikan dengan matriks B =
p q
£ ¤
² ¥
¦ ´
, hasilnya adalah A
×
B = a b
p q
£ ¤
² ¥
¦ ´
= ap + bq. Oleh karena itu, jumlah uang yang harus dibayar Rini dan Nita
dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks berikut.
3 1
2 2
1 000 500
3 500 3 000
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
× +
× ×
+ ×
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
. .
. 3
1.000 1
500 2
1.000 2
500
Pada perkalian matriks di atas, matriks yang dikalikan matriks yang terletak di sebelah kiri berordo 2
×
2, matriks pengalinya matriks yang terletak di sebelah kanan berordo 2
×
1.
Ordo hasil kali
2
×
22
×
1 = 2
×
1
sama
a. Perkalian Matriks Ordo m
x q dengan Matriks Ordo q
x n
Berdasarkan uraian di atas, syarat agar dua matriks A dan B dapat dikalikan adalah banyak kolom matriks A harus
sama dengan banyak baris matriks B. Adapun cara mengalikan kedua matriks itu adalah sebagai berikut.
Jika A adalah matriks berordo m
×
q dan B adalah matriks berordo q
×
n, maka A
×
B adalah suatu matriks C = c
ij
berordo m
×
n yang elemen-elemennya diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen pada baris ke-i
matriks A dengan elemen-elemen pada kolom ke-j matriks B yang bersesuaian, dengan i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n.
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Perkalian matriks
1 2 1
2 1
x p
x
£ ¤
² ¥
¦ ´£¤
¥ ¦
=
mempunyai akar positif x
1
dan x
2
. Jika x
1
= 4x
2
maka konstanta p = a. –6
b. –4 c. –2
d. 4 e. 6
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2006
Tes Mandiri
Kerjakan di buku tugas Jika
a b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
3 2 5
4 2
3 2
7 13
12
maka a + b = .... a. 5
d. 2 b. 4
e. 1 c. 3
Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2001
84
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Contoh:
Diketahui A = 2 3, B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 2
, C = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
6 4
1 , dan D =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
5 7
2 1
3 . Tentukan hasil perkalian
matriks berikut. a.
A
×
B b.
C
×
D c.
D
×
C
Penyelesaian:
a. A
×
B = 2 3
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 2
= 2
×
–2 + 3
×
5 = 11
b. C
×
D = 1
4 6
3 3
1 2
7 5
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
tidak dapat dikalikan karena banyak kolom matriks C tidak sama dengan banyak baris matriks D.
c. D
×
C = 3
1 2
7 5
1 4
6 3
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´
= 3
2 7
× +
× ×
+ ×
× +
× ×
+ ×
× +
× ×
+ ×
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
1 1 6 3 4 1 3 1 0
6 2 4 0 3
1 5 6 7 4 5 3
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
43 37
8 2
15 9
b. Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dari
Kanan Pada uraian sebelumnya, kita pelajari bahwa dua
matriks A dan B dapat dikalikan jika banyak kolom matriks A
sama dengan banyak baris matriks B. Selanjutnya, jika terdapat perkalian dua matriks A
×
B, dapat dikatakan a.
matriks B dikalikan dari kiri pada matriks A; b.
matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B.
Contoh:
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
3 4
2 dan B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 3
1 .
Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini. a.
Matriks A dikalikan dari kiri pada matriks B. b.
Matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B.