103
Matriks
det A =
2 3
1 2
= 1 dan A
–1
=
1 1
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 2
3 1
2 2
3 1
2 .
Oleh karena itu, X
= A
–1
B
x y
£ ¤
² ¥
¦ ´
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 2
3 1
2
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
9 4
=
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
6 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–1, 6}.
{
2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Pengayaan
Misalkan terdapat sistem persamaan linear tiga variabel berikut.
ax + by + cz = p dx + ey + fz = q ..............................................................… 1
gx + hy + iz = r Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk
matriks, yaitu
a b
c d
e f
g h
i £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ x
y z
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
= p
q r
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
........................................................ 2 Persamaan 2 merupakan bentuk persamaan matriks AX = B,
dengan
A =
a b
c d
e f
g h
i £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ , X =
x y
z £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ , dan B =
p q
r £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ .............................. 3
Analog dengan pembahasan pada penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, persamaan matriks tersebut dapat diselesaikan
dengan mengalikan A
–1
dari kiri sebagai berikut. A
–1
AX = A
–1
B
A
–1
A X = A
–1
B
IX = A
–1
B
X = A
–1
B Dalam hal ini, karena A adalah matriks berordo 3
×
3 maka A
–1
= 1
det A adjA.
Oleh karena itu, X
= 1
det adj
A A
£ ¤
¥ ¦
B =
1 det A
adjAB
104
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Contoh:
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut. x + y + z = 4
–x + 2y – 3z = –1 2x – y + 2z = 2
Penyelesaian:
Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut.
1 1
1 1
2 3
2 1
2 4
1 2
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
= £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ x
y z
Dari bentuk persamaan matriks tersebut, diperoleh A
= ´
´ ´
¦ ¥
² ²
² ¤
£ 2
1 2
3 2
1 1
1 1
, X = x
y z
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
, dan B =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
2 1
4
.
det A = 1
1 1
1 2
3 2
1 2
= 4 – 6 + 1 – 4 + 3 – 2 = – 6
adjA =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
3 3
3 2
4 5
3 1
.... Coba kalian buktikan Oleh karena itu,
X =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
2 1
4 3
3 3
2 4
5 3
1 6
1
x y
z £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ =
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
1 6
3 12
9 =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
2 3
2 1
2
Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah x = 1
2 , y = 2, dan z =
3 2
.
{
105
Matriks
3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode Determinan Pengayaan