105
Matriks
3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode Determinan Pengayaan
Kalian telah mempelajari determinan matriks berordo 2
×
2 dan 3
×
3. Sekarang kita akan menggunakan determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua dan tiga variabel.
Perhatikan sistem persamaan linear berikut. 1.
ax + by = p
cx + dy = q
2. a
11
x + a
12
y + a
13
z = p a
21
x + a
22
y + a
23
z = q a
31
x + a
32
y + a
33
z = r Sistem persamaan linear dua variabel di atas dapat ditulis dalam
bentuk matriks AX = B, dengan A =
a b
c d
£ ¤
² ¥
¦ ´
, X =
x y
£ ¤
² ¥
¦ ´
, dan B =
p q
£ ¤
² ¥
¦ ´
. Untuk mendapatkan penyelesaiannya, terlebih dahulu
tentukan D, D
x
, dan D
y
, dengan D
=
a b
c d
adalah determinan dari matriks koefisien variabel x
dan y. D
x
=
p b
q d
adalah determinan D, dengan elemen-elemen pada kolom pertama diganti elemen-elemen matriks B, yaitu p dan q.
D
y
=
a p
c q
adalah determinan D, dengan elemen-elemen pada kolom kedua diganti elemen-elemen matriks B, yaitu p dan q.
Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
1. Seorang anak membeli 4 buku tulis dan 3 pensil. Ia harus
membayar Rp19.500,00. Jika anak itu membeli 2 buku tulis dan 4 pensil maka anak itu harus membayar Rp16.000,00.
Dengan menggunakan invers matriks, tentukan harga sebuah buku tulis dan harga sebuah pensil.
2. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya
jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 2 kg apel, 3 kg salak, dan 1 kg jeruk harus membayar Rp33.000,00.
Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg
jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Dengan menggunakan matriks, tentukan
harga masing-masing buah per kg-nya.
{
{
106
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Setelah D, D
x
, dan D
y
ditentukan, nilai x dan y dapat diperoleh dengan
x =
D D
x
dan y = D
D
y
Dengan cara yang sama, sistem persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan cara berikut.
D =
a a
a a
a a
a a
a
11 12
13 21
22 23
31 32
33
D
y
= a
p a
a q
a a
r a
11 13
21 23
31 33
D
x
= p
a a
q a
a r
a a
12 13
22 23
32 33
D
z
= a
a p
a a
q a
a r
11 12
21 22
31 32
Nilai x, y, dan z diperoleh dari x
=
D D
x
, y = D
D
y
, dan z =
D D
z
. Agar kalian dapat memahaminya, perhatikan contoh berikut.
Dalam hal ini, diberikan contoh sistem persamaan linear tiga variabel. Jika kalian memahami contoh ini, tentunya kalian akan
lebih mudah memahami penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan cara determinan.
Contoh:
Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut dengan cara determinan.
x + y + 2z = 4
2x – y – 2z = –1 3x – 2y – z = 3
Penyelesaian:
Sistem persaman linear di atas dapat diubah dalam bentuk matriks berikut. 1
1 2
2 1
2 3
2 1
1 3
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
= £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ 4
x y
z Dengan demikian, kita dapat menentukan D, D
x
, D
y
, dan D
z
.
{
107
Matriks
D =
1 1
2 2
1 2
3 2
1 = 1 – 6 – 8 – –6 – 2 + 4 = –9
D
x
= 4
1 2
1 1
2 3
2 1
= 4 – 6 + 4 – –6 + 1 + 16 = –9
D
y
= 1
4 2
2 1
2 3
3 1
= 1 – 24 + 12 – – 6 – 8 – 6 = 9
D
z
= 1
1 4
2 1
1 3
2 3
= – 3 – 3 – 16 – – 12 + 6 + 2 = –18
Nilai x, y, dan z ditentukan dengan x
= D
D
x
= 9
9 = 1; y =
D D
y
= 9
9 = –1; z =
D D
x
= 18
9 = 2
Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah x = 1, y = – 1, dan z = 2. Untuk melatih kalian agar menguasai materi ini, kerjakan Uji Kompetensi 8 nomor 1
dan 2 dengan metode determinan.
{ {
{ {
Eksplorasi
Tugas
Kerjakan di buku tugas
1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut.
a. 5x + 2y = 1
7x – y = – 10 b.
2x – y = 4 x
– 2y = 5 2.
Tentukan nilai a + b + c jika {a, b, c} adalah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.
a. x
+ y – 2z = 0 x
+ 2y – z = 2 x
+ y + 2z = 4 b.
x + y + z = 3
5x + y + 2z = – 1 3x + 2y + 3z = 8
Kategori