99
Matriks
c. A
–1
=
1 det A
adjA = –
1 12
adjA
= –
1 12
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
6 12
2 6
2 6
6 6
=
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
1 2
1 2
1 2
1 6
1 2
1 6
1 2
1
6. Penyelesaian Persamaan Matriks yang Ber- bentuk AX = B dan XA = B
Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2
×
2, dengan matriks A dan B sudah diketahui elemen- elemennya. Matriks X yang memenuhi persamaan AX = B dan
XA = B dapat ditentukan jika A merupakan matriks nonsingular
det A 0.
Cara menyelesaikan persamaan matriks AX = B dan XA = B adalah sebagai berikut.
Langkah 1 : Tentukan invers matriks A, yaitu A
–1
. Langkah 2
: Kalikan ruas kiri dan ruas kanan persamaan tersebut dengan A
–1
dari kiri ke kanan. Ingat: A
–1
A = AA
–1
= I dan IX = XI = X. a.
Untuk menyelesaikan persamaan AX = B, kalikan kedua ruas persamaan itu dengan A
–1
dari kiri sehingga diperoleh A
–1
AX = A
–1
B
A
–1
A X = A
–1
B
IX = A
–1
B
X = A
–1
B b.
Untuk menyelesaikan persamaan XA = B, kalikan kedua ruas persamaan itu dengan A
–1
dari kanan sehingga diperoleh XAA
–1
= BA
–1
XAA
–1
= BA
–1
XI = BA
–1
X = BA
–1
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa penyelesaian persamaan AX = B dan XA = B, dapat ditentukan dengan rumus
berikut. Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A
–1
B .
Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BA
–1
.
100
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Contoh:
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 2
1 5
3 dan B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 2
7 3
. Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.
a. AX
= B b.
XA = B
Penyelesaian:
Karena A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 2
1 5
3 maka det A =
2 1
5 3
= 6 – 5 = 1. Oleh karena itu, A
–1
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
1 5
2 .
a. Karena AX = B maka X = A
–1
B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 22
3 39
4 5
2 7
3 3
1 5
2 .
b. Karena XA = B maka X = BA
–1
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
25 9
6 1
3 1
5 2
5 2
7 3
.
Uji Kompetensi 7
Kerjakan di buku tugas
1. Tentukan determinan dan adjoin matriks-matriks berikut.
a. A
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
2 3
6 1
3 4
3 1
1
c. C
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 3
1 2
2 1
3 4
1
b. B
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
2 1
3 6
4 5
3 4
d. D
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 1
2 3
2 3
2
2. Manakah yang merupakan matriks nonsingular?
a. P
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 2
16 12
2 4
11
c. R
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
4 6
2 6
10 3
14 2
7
b. Q
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
12 8
2 6
4 1
2 3
5
d. S
=
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
2 1
3 5
1 4
1 1
2
