78
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
Tentukan hasil operasi berikut. a. U + V
t
c. U – V
t
b. U
t
+ V
t
d. U
t
– V
t
4. Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan berikut.
a. ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 6
1 2
3 + A =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 2
1 4
c.
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 2
1 4
3 6
– A =
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 2
5 1
2
b. A + ´´
¦ ¥
²² ¤
£ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
2 2
1 4
2 5
4 2
1 3
5 d.
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
´ ´
´ ¦
¥ ²
² ²
¤ £
1 3
5 4
1 3
2 2
1 2
2 1
3 1
2 1
4 2
= A 5.
Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut. a.
£ ¤
² ¥
¦ ´ +
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 3
4 2
3 5
2 y
x z
z y
b.
3 x
z y
z x
x z
£ ¤
² ¥
¦ ´ +
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
1 1
3 1
6. Tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan berikut.
a. 6
3 6
1 7
7 1 1
5 2
b c
a a
c a
c b
£ ¤
² ¥
¦ ´
£ ¤
² ¥
¦ ´ =
£ ¤
² ¥
¦ ´
b. 3
4 2
3 2
7 6
2 5
1 £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ £
¤ ²
² ¥
¦ ´
´ =
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
b a
c a
c c
b a
Soal Terbuka
Kerjakan di buku tugas
1. Tentukan nilai x, y, z, dan u yang memenuhi persamaan
3 3
3 3
6 1 2
3 x
y z
u x
u y
x y
z u
z £
¤ ²
¥ ¦
´ = £
¤ ²
¥ ¦
´ + +
+ £
¤ ²
¥ ¦
´
.
2. Diketahui
A =
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
4 5
7 2
1 3
3 5
1 4
6 dan
B =
£ ¤
² ²
¥ ¦
´ ´
3 1
4 2
1 2
3 1
1 2
. Tentukan matriks X jika B – A
t
= X + B
t
.
3. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks
Kita telah mengetahui bahwa penjumlahan bilangan real skalar secara berulang dapat dinyatakan sebagai suatu perkalian.
Misalnya, a + a = 2a, a + a + a = 3a, dan seterusnya. Hal tersebut
79
Matriks
berlaku juga pada operasi matriks. Misalkan diketahui matriks A
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 4
1 5
2 .
Oleh karena itu, A + A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 8
2 10
4 = 2
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
4 1
5 2
= 2A. Jadi, perkalian matriks A dengan suatu bilangan asli k adalah
penjumlahan berulang matriks A sebanyak k kali. Dengan kata lain, pengertian ini dapat ditulis sebagai berikut. Jika k bilangan
real dan A matriks berordo m
×
n maka kA didefinisikan dengan
k a
a a
a a
a a
a a
ka ka
ka ka
ka ka
ka ka
ka
n n
m m
mn n
n m
m mn
11 12
1 21
22 2
1 2
11 12
1 21
22 2
1 2
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
... ...
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ =
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´
Contoh:
Diketahui A = ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 3
2 5
2 3
1 dan B =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
1 4
3 7
5 2
. Tentukan
a. 2A + 5B;
b. 3A – 2B.
Penyelesaian:
a. 2A + 5B = 2
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
+ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 1
4 3
7 5
2 5
3 2
5 2
3 1
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ +
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
5 20
15 35
25 10
6 4
10 4
6 2
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 11
24 25
39 19
12 b.
3A – 2B = 3A + –2B =
3 1
3 2 5
2 3
2 2
5 7
3 4
1 £
¤ ²
¥ ¦
´ + £
¤ ²
¥ ¦
´ £
¤ ²
¥ ¦
´ =
´´ ¦
¥ ²²
¤ £
+ ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 2
8 6
14 10
4 9
6 15
6 9
3
= ´´
¦ ¥
²² ¤
£ 7
2 9
8 19
1
80
Mmt Aplikasi SMA 3 IPS
4. Sifat-Sifat Perkalian Skalar
Jika A dan B adalah matriks-matriks berordo m
×
n, sedangkan k
1
dan k
2
adalah skalar, berlaku sifat-sifat berikut. a.
k
1
A + B = k
1
A + k
1
B b.
k
1
+ k
2
A = k
1
A + k
2
A c.
k
1
k
2
A = k
1
k
2
A Jika A matriks persegi maka berlaku
d. I
×
A = A
×
I = A e.
–IA = –A Matriks identitas I merupakan matriks persegi.
Bukti: Pembuktian sifat-sifat di atas sangat mudah. Untuk itu, di sini
akan dibuktikan sifat a saja. Selebihnya dapat kalian kerjakan sebagai bahan latihan.
Misalkan k
1
skalar,
A a
a a
a a
a a
a a
B b
b b
b b
b b
b b
n n
m m
mn n
n m
m mn
= £
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ =
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´
11 12
1 21
22 2
1 2
11 12
1 21
22 2
1 2
K K
M M
K M
K K
K M
M K
M K
, dan
k
1
A + B = k
1
a a
a a
a a
a a
a b
b b
b b
b b
b b
n n
m m
mn n
n m
m mn
11 12
1 21
22 2
1 2
11 12
1 21
22 2
1 2
K K
M M
K M
K K
K M
M K
M K
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ +
£
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´
³
³ ³
³ ³
µ
µ µ
µ µ
= k
1
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
n n
n n
m m
m m
mn mn
11 11
12 12
1 1
21 21
22 22
2 2
1 1
2 2
+ +
+ +
+ +
+ +
+ £
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ L
L M
M M
L
= k a
b k a
b k a
b k a
b k a
b k a
b k a
b k a
b k a
b
n n
n n
m m
m m
mn mn
1 11
11 1
12 12
1 1
1 1
21 21
1 22
22 1
2 2
1 1
1 1
2 2
1
+ +
+ +
+ +
+ +
+ £
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ L
L M
M M
L
= k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b k a
k b
n n
n n
m m
m m
mn mn
1 11 1 11
1 12 1 12
1 1 1 1
1 21 1 21
1 22 1 22
1 2 1 2
1 1
1 1
1 2
1 2
1 1
+ +
+ +
+ +
+ +
+ £
¤ ²
² ²
² ¥
¦ ´
´ ´
´ L
L M
M M
L
