Halos et galaxies gautheron. 218KB Jun 04 2011 12:08:41 AM

38 V. Gautheron — E. Isambert

4.1 Halos et galaxies

Dans le cas o` u E est un espace m´etrique, on aurait pu d´efinir le halo d’un point x comme intersection externe de boules : halx = \ n∈N, st n Bx, 1n ou encore halx = \ ε0, st ε Bx, ε Plus g´en´eralement, dans un ensemble interne E pas n´ecessairement m´etrique ni topologique, on dit qu’une sous-collection H de E est un pr´ ehalo si il existe un ensemble standard I et une famille interne A i i∈I de parties de E tels que l’on ait H = \ i∈I, st i A i D’une fa¸con ´equivalente, H est un pr´ehalo s’il est d´efini par H = {x ∈ E ∀ st η Φx, η } o` u Φ est une propri´et´e interne. On appelle halo un pr´ehalo qui est externe. De fa¸con analogue, on dit qu’une sous-collection G de E est une pr´ egalaxie si il existe un ensemble standard I et une famille interne A i i∈I de parties de E tels que l’on ait G = [ i∈I, st i A i On peut dire aussi que G est une pr´egalaxie si elle est d´efinie par G = {x ∈ E ∃ st η Φx, η } o` u Φ est une propri´et´e interne. On appelle galaxie une pr´egalaxie qui est externe. Exemples – Dans un ensemble standard infini, les standard forment une galaxie, et les non-standard forment un halo. – Les r´eels i-grands resp i-petits forment un halo ; les r´eels limit´es resp appr´e- ciables forment une galaxie. – Les r´eels d´efinis par {x ∈ R x 0 ou x ≃ 0 et x 1 et x 6≃ 1} ne forment ni un halo ni une galaxie. D´ecrivons maintenant quelques sous-collections de R que l’on rencontre souvent en asymptotique non standard. On note Lire l’Analyse Non Standard 39 – ε-hal0 = {x ∈ R | xε ≃ 0} – ε-gal0 = {x ∈ R | xε limit´e} – ε-microhal0 = {x ∈ R | ∀ st k ∈ N xε k ≃ 0} – ε-microgal0 = {x ∈ R | ∃ st k ∈ N |x| e − kε } E. Nelson a d´emontr´e que toute partie d’un ensemble standard A est soit interne, soit un halo, soit une galaxie, soit enfin de la forme {x ∈ A ∀ st u ∃ st v Φx, u, v } Ces derniers peuvent encore s’´ecrire : {x ∈ A ∃ st u ∀ st v Φx, u, v } Tant qu’on se place `a l’int´erieur d’un ensemble standard ce qui est presque toujours le cas dans les applications il y a donc trois sortes d’ensembles externes : les halos, les galaxies. . .et les autres La complexit´e des formules externes est ainsi limit´ee `a une alternance de deux quantificateurs externes. De plus on d´emontre le principe d’exclusion suivant : Principe de Fehrele : Aucun ensemble externe n’est ` a la fois un pr´ ehalo et une pr´ egalaxie

4.2 Principes de permanence

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