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5 Les canards, un objet d’ ´etude actuel
Nous allons exposer maintenant, aussi simplement et rapidement que possible, le ph´enom`ene des canards, d´ecouvert par M. et F. Diener, E. Benoit et J.L.Callot
au d´ebut des ann´ees 80 [3]. Ce sera l’occasion de pr´esenter quelques outils d’analyse non-standard loupes, d´eveloppements en ε-ombres, . . ., qui ont ´evidemment bien
d’autres applications.
Nous nous placerons dans la situation la plus simple. Consid´erons, dans le plan, une ´equation diff´erentielle
εy
′
= F x, y, ε 1
o` u F est une fonction standard suffisamment r´eguli`ere et ε un i-petit positif.
5.1 Courbe lente
Supposons que F x, y, 0 = 0 d´efinisse une courbe Γ, n´ecessairement standard. En dehors du halo de Γ, y
′
est i-grand, positif ou n´egatif. Dans le cas g´en´erique, et notamment si
∂F ∂y
x, y, 0 6= 0 sur Γ, F x, y, ε change de signe en traversant le
halo de Γ, et prend des valeurs limit´ees sur une partie de ce halo. On dit alors que Γ est la courbe lente de l’´equation 1, et que 1 d´efinit un champ lent-rapide.
Consid´erons une partie Γ
1
de Γ sur laquelle ∂F
∂y x, y, 0 ne change pas de signe,
et telle que Γ
1
soit le graphe d’une fonction y = ϕx pour x ∈ [a, b] ; il y a alors
deux cas de figure : – Si
∂F ∂y
x, ϕx, 0 est n´egatif, alors, dans un voisinage standard V de Γ
1
, y
′
est i-grand n´egatif au dessus du halo de Γ
1
, et i-grand positif au dessous. En restreignant au besoin V , on voit qu’une trajectoire issue d’un point x
, y de V entre dans le halo de Γ
1
“imm´ediatement” c’est-`a -dire avec une ombre verticale, et reste ensuite dans le halo de Γ
1
tant que x est appr´eciablement inf´erieur `a b. Par permanence, ceci reste vrai pour certains x i-voisins de b.
Danc ce cas, on dit que Γ
1
est une courbe lente attractive cf. fig.1.
Fig. 1 – Courbe lente attractive
42 V. Gautheron — E. Isambert
– Si, au contraire, ∂F
∂y x, ϕx, 0 est positif, Γ
1
est une courbe lente r´epulsive. C’est alors pour les x appr´eciablement compris entre a et x
que la trajectoire passant par x
, y est dans le halo de Γ
1
cf. fig.2.
Fig. 2 – Courbe lente r´epulsive
Remarque Nous avons dit plus haut que tout ´enonc´e non-standard avait un ´equivalent standard.
Donnons, `a titre d’exemple, la traduction classique de l’´enonc´e : “Γ
1
est une courbe lente attractive”.
Consid´erons la famille d’´equations diff´erentielles εy
′
= F x, y, ε 1
ε
et supposons que, sur ]a, b[, Γ
1
soit le graphe d’une fonction y = ϕx ; l’´enonc´e ci-dessus se traduit par :
“Il existe un voisinage V de Γ
1
tel que, pour tout x
, y ∈ V , si ϕ
ε
est la solution de
1
ε
issue de x , y
, alors ϕ
ε
tend vers ϕ sur ]x
, b[ , uniform´ement sur tout compact, lorsque
ε tend vers 0 par valeurs positives.”
5.2 Canards
