Courbe lente gautheron. 218KB Jun 04 2011 12:08:41 AM

Lire l’Analyse Non Standard 41 5 Les canards, un objet d’ ´etude actuel Nous allons exposer maintenant, aussi simplement et rapidement que possible, le ph´enom`ene des canards, d´ecouvert par M. et F. Diener, E. Benoit et J.L.Callot au d´ebut des ann´ees 80 [3]. Ce sera l’occasion de pr´esenter quelques outils d’analyse non-standard loupes, d´eveloppements en ε-ombres, . . ., qui ont ´evidemment bien d’autres applications. Nous nous placerons dans la situation la plus simple. Consid´erons, dans le plan, une ´equation diff´erentielle εy ′ = F x, y, ε 1 o` u F est une fonction standard suffisamment r´eguli`ere et ε un i-petit positif.

5.1 Courbe lente

Supposons que F x, y, 0 = 0 d´efinisse une courbe Γ, n´ecessairement standard. En dehors du halo de Γ, y ′ est i-grand, positif ou n´egatif. Dans le cas g´en´erique, et notamment si ∂F ∂y x, y, 0 6= 0 sur Γ, F x, y, ε change de signe en traversant le halo de Γ, et prend des valeurs limit´ees sur une partie de ce halo. On dit alors que Γ est la courbe lente de l’´equation 1, et que 1 d´efinit un champ lent-rapide. Consid´erons une partie Γ 1 de Γ sur laquelle ∂F ∂y x, y, 0 ne change pas de signe, et telle que Γ 1 soit le graphe d’une fonction y = ϕx pour x ∈ [a, b] ; il y a alors deux cas de figure : – Si ∂F ∂y x, ϕx, 0 est n´egatif, alors, dans un voisinage standard V de Γ 1 , y ′ est i-grand n´egatif au dessus du halo de Γ 1 , et i-grand positif au dessous. En restreignant au besoin V , on voit qu’une trajectoire issue d’un point x , y de V entre dans le halo de Γ 1 “imm´ediatement” c’est-`a -dire avec une ombre verticale, et reste ensuite dans le halo de Γ 1 tant que x est appr´eciablement inf´erieur `a b. Par permanence, ceci reste vrai pour certains x i-voisins de b. Danc ce cas, on dit que Γ 1 est une courbe lente attractive cf. fig.1. Fig. 1 – Courbe lente attractive 42 V. Gautheron — E. Isambert – Si, au contraire, ∂F ∂y x, ϕx, 0 est positif, Γ 1 est une courbe lente r´epulsive. C’est alors pour les x appr´eciablement compris entre a et x que la trajectoire passant par x , y est dans le halo de Γ 1 cf. fig.2. Fig. 2 – Courbe lente r´epulsive Remarque Nous avons dit plus haut que tout ´enonc´e non-standard avait un ´equivalent standard. Donnons, `a titre d’exemple, la traduction classique de l’´enonc´e : “Γ 1 est une courbe lente attractive”. Consid´erons la famille d’´equations diff´erentielles εy ′ = F x, y, ε 1 ε et supposons que, sur ]a, b[, Γ 1 soit le graphe d’une fonction y = ϕx ; l’´enonc´e ci-dessus se traduit par : “Il existe un voisinage V de Γ 1 tel que, pour tout x , y ∈ V , si ϕ ε est la solution de 1 ε issue de x , y , alors ϕ ε tend vers ϕ sur ]x , b[ , uniform´ement sur tout compact, lorsque ε tend vers 0 par valeurs positives.”

5.2 Canards

Dokumen yang terkait

AN ALIS IS YU RID IS PUT USAN BE B AS DAL AM P E RKAR A TIND AK P IDA NA P E NY E RTA AN M E L AK U K A N P R AK T IK K E DO K T E RA N YA NG M E N G A K IB ATK AN M ATINYA P AS IE N ( PUT USA N N O MOR: 9 0/PID.B /2011/ PN.MD O)

0 82 16

ANALISIS FAKTOR YANGMEMPENGARUHI FERTILITAS PASANGAN USIA SUBUR DI DESA SEMBORO KECAMATAN SEMBORO KABUPATEN JEMBER TAHUN 2011

2 53 20

EFEKTIVITAS PENDIDIKAN KESEHATAN TENTANG PERTOLONGAN PERTAMA PADA KECELAKAAN (P3K) TERHADAP SIKAP MASYARAKAT DALAM PENANGANAN KORBAN KECELAKAAN LALU LINTAS (Studi Di Wilayah RT 05 RW 04 Kelurahan Sukun Kota Malang)

45 393 31

FAKTOR – FAKTOR YANG MEMPENGARUHI PENYERAPAN TENAGA KERJA INDUSTRI PENGOLAHAN BESAR DAN MENENGAH PADA TINGKAT KABUPATEN / KOTA DI JAWA TIMUR TAHUN 2006 - 2011

1 35 26

A DISCOURSE ANALYSIS ON “SPA: REGAIN BALANCE OF YOUR INNER AND OUTER BEAUTY” IN THE JAKARTA POST ON 4 MARCH 2011

9 161 13

Pengaruh kualitas aktiva produktif dan non performing financing terhadap return on asset perbankan syariah (Studi Pada 3 Bank Umum Syariah Tahun 2011 – 2014)

6 101 0

Pengaruh pemahaman fiqh muamalat mahasiswa terhadap keputusan membeli produk fashion palsu (study pada mahasiswa angkatan 2011 & 2012 prodi muamalat fakultas syariah dan hukum UIN Syarif Hidayatullah Jakarta)

0 22 0

Pendidikan Agama Islam Untuk Kelas 3 SD Kelas 3 Suyanto Suyoto 2011

4 108 178

ANALISIS NOTA KESEPAHAMAN ANTARA BANK INDONESIA, POLRI, DAN KEJAKSAAN REPUBLIK INDONESIA TAHUN 2011 SEBAGAI MEKANISME PERCEPATAN PENANGANAN TINDAK PIDANA PERBANKAN KHUSUSNYA BANK INDONESIA SEBAGAI PIHAK PELAPOR

1 17 40

KOORDINASI OTORITAS JASA KEUANGAN (OJK) DENGAN LEMBAGA PENJAMIN SIMPANAN (LPS) DAN BANK INDONESIA (BI) DALAM UPAYA PENANGANAN BANK BERMASALAH BERDASARKAN UNDANG-UNDANG RI NOMOR 21 TAHUN 2011 TENTANG OTORITAS JASA KEUANGAN

3 32 52