Canards Valeurs `a canards

42 V. Gautheron — E. Isambert – Si, au contraire, ∂F ∂y x, ϕx, 0 est positif, Γ 1 est une courbe lente r´epulsive. C’est alors pour les x appr´eciablement compris entre a et x que la trajectoire passant par x , y est dans le halo de Γ 1 cf. fig.2. Fig. 2 – Courbe lente r´epulsive Remarque Nous avons dit plus haut que tout ´enonc´e non-standard avait un ´equivalent standard. Donnons, `a titre d’exemple, la traduction classique de l’´enonc´e : “Γ 1 est une courbe lente attractive”. Consid´erons la famille d’´equations diff´erentielles εy ′ = F x, y, ε 1 ε et supposons que, sur ]a, b[, Γ 1 soit le graphe d’une fonction y = ϕx ; l’´enonc´e ci-dessus se traduit par : “Il existe un voisinage V de Γ 1 tel que, pour tout x , y ∈ V , si ϕ ε est la solution de 1 ε issue de x , y , alors ϕ ε tend vers ϕ sur ]x , b[ , uniform´ement sur tout compact, lorsque ε tend vers 0 par valeurs positives.”

5.2 Canards

Au passage d’une singularit´e, il peut arriver que ∂F ∂y x, y, 0 change de signe sur une branche de Γ. Si Γ est le graphe d’une fonction ϕ sur ]a, c[, supposons par exemple que ∂F ∂y x, ϕx, 0 soit positive sur ]a, b[ et n´egative sur ]b, c[. Lorsque x croit, Γ est alors attractive, puis r´epulsive. En g´en´eral, les trajectoires attir´ees par Γ sur ]a, b[ sont violemment ´eject´ees du halo de Γ dans le halo de b. Dans certains cas, il se produit des ph´enom`enes de surstabilit´e : certaines solutions attir´ees par Γ et donc restant dans son halo sur un intervalle ]x , b[ continuent `a longer Γ sur une partie appr´eciable de sa partie r´epulsive : une telle solution est appel´ee un canard. Lire l’Analyse Non Standard 43

5.3 Valeurs `a canards

Un i-petit positif ε ´etant maintenant fix´e, consid´erons une famille d’´equations εy ′ = F x, y, a, ε 1 a Supposons que pour a = a standard, F x, y, a , 0 pr´esente un point-selle, par exemple `a l’origine, o` u on aurait F 0, 0 = 0. Γ pr´esente alors un point double `a l’origine, et en g´en´eral, dans un voisinage standard de 0, une des branches de Γ est attractive pour x 0 et r´epulsive pour x 0 cf. fig.3. O Fig. 3 – Point de Morse `a canards Quand a ≃ a , la courbe lente de 1 a est la mˆeme que pour a . On appelle valeur `a canard une valeur de a pour laquelle 1 a poss`ede des solutions canard. Une ´etude de la bifurcation du champ quand a traverse le halo de a montre par un raisonnement du type valeurs interm´ediaires que, sous certaines conditions de r´egularit´e, il existe n´ecessairement des valeurs `a canard dans le halo de a cf. fig. 4 `a 6. Les valeurs `a canards sont extrˆemement rares au sens suivant : si F est de classe C 2 et si le point selle est r´egulier, les valeurs `a canard sont toutes dans la mˆeme ε-micro-galaxie — la distance entre deux valeurs `a canard est major´ee par e − kε , o` u k est un appr´eciable positif. Dans la pratique, cela se traduit num´eriquement par le fait que, mˆeme pour des valeurs de ε pas tr`es petites de l’ordre de 120 par exemple il faut ajuster le param`etre a avec beaucoup de pr´ecision typiquement avec une dizaine de d´ecimales pour obtenir des trajectoires qui se comportent comme des canards : la chasse au canard est un sport qui requiert beaucoup d’adresse On peut parfois obtenir des r´esultats permettant de pr´evoir l’endroit o` u les solutions canard vont sortir du halo de la courbe lente c’est-`a-dire le point standard dans le halo duquel elles sortent en fonction de leur point d’entr´ee dans ce halo : c’est ce qu’on appelle le calcul d’une fonction entr´ee-sortie [2].

5.4 D ´eveloppements en

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