Lire l’Analyse Non Standard 39
– ε-hal0 = {x ∈ R | xε ≃ 0}
– ε-gal0 = {x ∈ R | xε limit´e}
– ε-microhal0 = {x ∈ R | ∀
st
k ∈ N xε
k
≃ 0} – ε-microgal0 =
{x ∈ R | ∃
st
k ∈ N |x| e
− kε
} E. Nelson a d´emontr´e que toute partie d’un ensemble standard A est soit interne,
soit un halo, soit une galaxie, soit enfin de la forme {x ∈ A ∀
st
u ∃
st
v Φx, u, v }
Ces derniers peuvent encore s’´ecrire : {x ∈ A ∃
st
u ∀
st
v Φx, u, v }
Tant qu’on se place `a l’int´erieur d’un ensemble standard ce qui est presque toujours le cas dans les applications il y a donc trois sortes d’ensembles externes : les halos,
les galaxies. . .et les autres La complexit´e des formules externes est ainsi limit´ee `a une alternance de deux quantificateurs externes.
De plus on d´emontre le principe d’exclusion suivant : Principe de Fehrele :
Aucun ensemble externe n’est ` a la fois un pr´
ehalo et une pr´
egalaxie
4.2 Principes de permanence
La distinction entre ensembles internes et collections externes, ainsi que la classification des collections externes en halos, galaxies et autres, permettent souvent de montrer
que certaines propri´et´es d´emontr´ees pour tous les ´el´ements d’un certain domaine s’´etendent en fait `a un domaine plus grand : c’est ce que l’on appelle les raisonnements
par permanence. Permanence de Cauchy.
Elle repose sur la distinction entre ensembles internes et parties externes.
Si X est un ensemble interne et P une propri´et´e interne, alors {x ∈ X P x}
est interne ; donc si Y est une partie externe de X et que l’on a d´emontr´e que P est v´erifi´ee pour tous les ´el´ements de Y , alors on peut affirmer que P est encore vraie
pour certains ´ el´
ements hors de Y .
Exemple Soit a
n
une suite standard de r´eels strictement positifs et ε un i- petit positif ; alors on voit facilement que la suite a
n
ε
n
est d´ecroissante sur les n standard. Par permanence, on en d´eduit que cette suite est d´ecroissante au moins
jusqu’`a un entier i-grand.
Permanence de Fehrele. Elle repose sur le principe du mˆeme nom ´enonc´e plus
haut. Si X est un ensemble interne et Hy une propri´et´e de la forme
∀
st
xP x, y o` u
P est interne, alors {y ∈ X Hy} est un pr´ehalo ; donc si Y ⊆ X est une galaxie
et que l’on sait que H est v´erifi´ee par tous les ´el´ements de Y , alors H est encore vraie pour certains ´
el´ ements hors de
Y . On d´emontre par exemple ainsi le
40 V. Gautheron — E. Isambert
Lemme de Robinson Si une suite
u
n
est telle que u
n
est i-petit pour tout n
standard, alors il existe ω i-grand tel que u
n
soit i-petit pour tout n ω.
De mˆeme, si deux fonctions f et g ont des valeurs i-voisines pour tout x appr´ecia- ble,
on peut
affirmer qu’il
existe ε
i-petit et
ω i-grand
tels que
fx ≃ gx pour tout x de [ε, ω]. Cette propri´et´e est souvent utilis´ee dans l’´etude
des solutions d’´equations diff´erentielles non standard. Le mˆeme principe s’applique bien-sˆ
ur, mutatis mutandis, en ´echangeant le rˆole des halos et des galaxies. D’autre part, le principe s’applique encore si l’on sait par
exemple que {y ∈ X Hy} est une vraie galaxie, et que Y ⊆ Xest un pr´ehalo.
On trouvera plus de d´etails sur ces questions dans [4], et des d´eveloppements plus r´ecents dans [6].
Lire l’Analyse Non Standard 41
5 Les canards, un objet d’ ´etude actuel
Nous allons exposer maintenant, aussi simplement et rapidement que possible, le ph´enom`ene des canards, d´ecouvert par M. et F. Diener, E. Benoit et J.L.Callot
au d´ebut des ann´ees 80 [3]. Ce sera l’occasion de pr´esenter quelques outils d’analyse non-standard loupes, d´eveloppements en ε-ombres, . . ., qui ont ´evidemment bien
d’autres applications.
Nous nous placerons dans la situation la plus simple. Consid´erons, dans le plan, une ´equation diff´erentielle
εy
′
= F x, y, ε 1
o` u F est une fonction standard suffisamment r´eguli`ere et ε un i-petit positif.
5.1 Courbe lente
