Metode Bayes empirik merupakan suatu metode yang menggunakan data pengamatan untuk menduga parameter prior. Pertama kali model ini diperkenalkan
oleh Fay-Herriot 1970, untuk menduga rata-rata pendapatan area kecil di Amerika Serikat. Metode ini sesuai untuk menangani data-data biner dan cacahan pada
pendugaan area kecil. Pendekatan Bayes Empirik dalam pendugaan area kecil mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
a Memperoleh fungsi kepekatan posterior dari parameter area kecil yang teramati.
b Pendugaan parameter model dari fungsi kepekatan marginal.
c Menggunakan pendugaan fungsi kepekatan posterior untuk membuat inferensi
parameter area kecil.
2.3 Model Beta Binomial
Model ini merupakan suatu model yang berawal dari model Bernoulli dengan model peluang untuk data biner yang dinyatakan dengan
~ �
Binomial ,
= 0,…, , 0 , = , … , 2.5
dengan model dasar
⃒
~ �
� ⎹
~ �
� ,
2.6
dan
~ �
� , 2.7
Universitas Sumatera Utara
dengan �
, menyatakan sebaran beta dengan parameter dan serta fungsi kepekatan untuk adalah:
ƒ ⃒ , =
� + � ∝ �
−
1-
−
; , Robert V. Hogg 2.8
dan, � = fungsi gama
untuk menyederhanakan =
, … ,
�
�
menjadi total contoh = ∑
, merupakan statistik cukup minimal untuk model tahap pertama. Diketahui bahwa
~ �
� ,
yang mempunyai fungsi kepekatan sebagai berikut:
⃒ =
�
−
�
−
�
2.9
Berdasarkan fungsi kepekatan dan fungsi kepekatan maka:
⃒ , ,
~ �
+ , − + 2.10
Oleh karena itu, penduga Bayes bagi adalah:
̂
�
, = � ⎹ , ,
= +
+ + .
dan ragam posterior bagi adalah:
� ⃒ , ,
=
�
+
�
−
�
+
�
+ + +
�
+ +
2
2.12
Universitas Sumatera Utara
Sebaran penghubung , , dinamakan prior konjugate pada sebaran posterior,
⎹ , , mempunyai bentuk yang sama dengan sebaran priornya. Dari sebaran penghubung tersebut, maka digunakan model Beta-Binomial dengan sebaran peluang
marginal:
⃒ , , =
� +
�
� +
�
−
�
� , ,
�
� + �
�
=
� +
�
, +
�
−
�
� ,
2.13
Untuk menduga parameter dan digunakan dengan metode momen Kleinman:
̂ ̂+̂
= ̂ 2.14
dan
̂+̂+
=
�
�
� 2
−�̂ −�̂ −
�̂ −�̂ [
�
−∑
� �
2 �
− − ]
2.15
Dengan rataan berbobot ̂ = ∑
� �
̂ , ragam terboboti.
�
= ∑
� �
̂ − ̂
�
= ∑ . 2.16
Ekspresi untuk dugaan parameter ̂ dan ̂ dinyatakan dengan rumus berikut dan
diperoleh:
̂ = ̂ [ − ̂[
�
− ∑
�
− − ]
� �
− ̂ − ̂ −
− ] .
Universitas Sumatera Utara
dan
̂ = ̂ [
�̂ −�̂ [
�
−∑
� �
2 �
− − ]
�
�
� 2
−�̂ −�̂ −
− ] [
�̂
− ] 2.18
di mana ̂ dan ̂ dugaan parameter sebaran Beta-Binomial
Pensubstitusian parameter ̂ dan ̂ dari metode Kleinman ke penduga EB bagi ̂
��
diperoleh: ̂
��
= ̂
�
̂, ̂ = ̂ ̂ + − ̂ ̂ 2.19
dengan ̂ =
� �
+̂+̂
̂
��
merupakan rataan berbobot dari penduga langsung ̂ dan penduga sintetik
̂ Rao, 2003.
2.4 Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi
