1.6 Tinjauan Pustaka
1.6.1 Penduga Langsung Bagi Proporsi
Peubah pengamatan diasumsikan mempunyai sebaran binomial
~ �
Binomial , . Fungsi peluang dari sebaran binomial PROF. DR. SUDJANA, M.A.,M.Sc. adalah:
⃒ =
�
−
�
−
�
,
dengan = , … , ,
, = , … , 1.1
Selanjutnya dengan memaksimumkan fungsi peluang tersebut diperoleh penduga kemungkinan maksimum bagi yaitu:
̂ =
� �
1.2
Penduga ini merupakan penduga kemungkinan maksimum yang bersifat tak bias karena nilai harapan dari penduga sama dengan parameternya.
� ̂ = �
� �
=
�
� =
�
= 1.3
Sehingga dugaan kuadrat tengah galat sama dengan ragamnya, yaitu: ̂ = �̂
̂ = ̂
− ̂ 1.4
Universitas Sumatera Utara
1.6.2 Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi
Langkah awal pada pendugaan Bayes empirik dari model Beta-Binomial oleh Kleinman Rao, 2003 adalah dengan membuat dugaan parameter prior dengan
menyamakan rataan contoh terboboti.
̂ = ∑
� �
̂ 1.5
Keterangan: ̂ = dugaan parameter prior
= banyaknya individu pada subpopulasi ke-i
�
= jumlah seluruh individu ̂ = penduga proporsi
dan ragam contoh terboboti.
�
= ∑
� �
̂ − ̂ 1.6
dengan nilai harapan masing-masing dan kemudian diselesaikan persamaan momen untuk
dan , dengan
�
= ∑ . Penduga momen
̂ dan ̂ , diberikan sebagai berikut:
̂ ̂+̂
= ̂ 1.7
dan
̂+̂+
=
�
�
� 2
−�̂ −�̂ −
�̂ −�̂ [
�
−∑
� � 2
�
− − ]
1.8
Lalu substitusikan penduga momen ̂ dan ̂ ke dalam rumus:
Universitas Sumatera Utara
̂
�
, = �
⃒ , , =
�
+
�
+ +
1.9
untuk memperoleh penduga Bayes empirik bagi yaitu:
̂
��
= ̂
�
̂, ̂ = ̂ ̂ + − ̂ ̂ 1.10
dengan ̂ =
� �
+̂+̂
, ̂ =
� �
sebagai penduga langsung dari
,
dan masing -
masing menyatakan banyaknya pengamatan dan banyaknya suatu kasus, ̂ adalah
penduga sintetik atau sebagai penduga tak langsung.
1.7 Metodologi Penelitian