̂
�
, = �
⃒ , , =
�
+
�
+ +
1.9
untuk memperoleh penduga Bayes empirik bagi yaitu:
̂
��
= ̂
�
̂, ̂ = ̂ ̂ + − ̂ ̂ 1.10
dengan ̂ =
� �
+̂+̂
, ̂ =
� �
sebagai penduga langsung dari
,
dan masing -
masing menyatakan banyaknya pengamatan dan banyaknya suatu kasus, ̂ adalah
penduga sintetik atau sebagai penduga tak langsung.
1.7 Metodologi Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Bayes empirik di mana prosedur yang digunakan dalam menduga proporsi ada dua cara yaitu berdasarkan
penduga langsung dan Bayes empirik dari dua model Beta-Binomial yang diuraikan sebagai berikut:
1.7.1 Penduga Langsung
1. Menentukan penduga proporsi.
2. Menentukan dugaan kuadrat tengah galat ktg.
3. Menentukan galat baku.
4. Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.
Universitas Sumatera Utara
1.7.2 Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial
1. Menentukan nilai dugaan parameter ̂ dan ̂ dari sebaran prior.
2. Menentukan penduga Bayes empirik ̂
��
. 3.
Menentukan kuadrat tengah galat dengan menggunakan metode Jacknife. 4.
Menentukan galat baku. 5.
Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel. Perbandingan kebaikan dari kedua penduga proporsi penduga langsung dan
Bayes empirik dari model Beta-Binomial dengan melihat nilai galat baku.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Pendugaan Area Kecil
Secara umum metode pendugaan area kecil dibagi menjadi dua bagian yaitu metode penduga langsung direct estimation dan metode penduga tak langsung indirect
estimation . Metode-metode pendugaan selama ini yang sering digunakan adalah
metode pendugaan langsung.
Pendugaan langsung merupakan pendugaan yang didasarkan pada desain penarikan yang menjadi perhatian jumlah pemakai Jamkesmas. Dalam kasus
pendugaan area kecil, penduga langsung bagi parameter pada area kecil yang menjadi perhatian relatif akan menghasilkan galat baku yang besar karena masalah jumlah
yang memakai kartu Jamkesmas.
Suatu pendekatan tidak langsung mampu meningkatkan efektifitas ukuran jumlah pemakai Jamkesmas. Pada pendugaan tak langsung terdapat dua model penghubung
yang digunakan untuk menghubungkan area kecil dengan area kecil lainnya yaitu model penghubung implisit dan eksplisit.
Universitas Sumatera Utara
Penduga tak langsung dengan menggunakan model penghubung implisit adalah model yang didasarkan pada desain penarikan jumlah yang menjadi perhatian design
based . Penduga yang dihasilkan mempunyai ragam desain yang relatif kecil
dibandingkan dengan ragam desain dari penduga langsung. Model penghubung implisit mempunyai tiga metode yaitu, metode sintetik, komposit, dan James-Stein.
Metode sintetik adalah merupakan suatu metode dari penduga langsung untuk area besar, yang memiliki galat baku kecil digunakan untuk memperoleh penduga tak
langsung untuk area kecil tertentu. Metode ini mengasumsikan bahwa area kecil tersebut memiliki karateristik yang sama dengan area besar. Metode komposit
merupakan rata-rata terboboti dari penduga langsung dan penduga tak langsung. Metode James-Stein adalah penduga komposit yang menggunakan pembobot umum
dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat.
Model penghubung eksplisit adalah model yang didasarkan pada pengaruh acak area kecil untuk mendapatkan keragaman antar area dan informasi peubah penyerta,
yang selanjutnya dikenal dengan model area kecil. Menurut Rao 2005 peubah penyerta yang baik adalah peubah yang berhubungan erat dengan peubah yang
menjadi perhatian dan berasal dari data sensus atau data administratif.
Suatu peubah resp ons yang menyatakan “sukses” atau “gagal” disebut sebagai
peubah biner. Pada pendugaan area kecil untuk kasus biner, peubah yang menjadi perhatian berupa proporsi. Penduga langsung bagi proporsi merupakan penduga
kemungkinan maksimum yaitu ̂ =
� �
, dengan mengasumsikan peubah pengamatan diasumsikan menyebar binomial,
~ �
Binomial ,
. Penduga langsung ini mempunyai ragam yang besar karena hanya berdasarkan jumlah objek survei yang
terdapat pada area tersebut. Suatu pendugaan lain dikembangkan untuk mengatasi permasalahan ini, yaitu pendugaan tak langsung. Pendugaan tak langsung bagi
proporsi diperoleh dari model Beta-Binomial. Model ini mempunyai dua tahap, yaitu pada tahap pertama diasumsikan bahwa peubah yang menjadi perhatian
~ �
Binomial ,
= 0,…, , 0 , = , … , . Sedangkan pada tahap kedua diasumsikan bahwa
~ �
beta , sebagai prior, dengan fungsi kepadatan
peluangnya adalah:
Universitas Sumatera Utara
ƒ ⃒ , =
� + � ∝ �
−
1-
−
; ,
Robert V. Hogg 2.1
Berdasarkan teorema Bayes maka penduga Bayes dan ragam posterior bagi adalah:
̂
�
, = � , ,
= +
+ + .
dan
Var ⃒
,
, =
, , =
+ − +
+ + + + +
.
Bila penduga Bayes ini akan digunakan maka harus diketahui terlebih dahulu nilai parameter sebaran priornya. Namun seringkali informasi mengenai parameter prior
belum diketahui. Pendekatan lain yang dapat digunakan adalah Bayes empirik, yaitu pendekatan yang dilakukan untuk mendapatkan informasi parameter prior
berdasarkan datanya. Informasi parameter prior diperoleh dengan memaksimumkan fungsi sebaran marjinal
⎹ ,
~ �
Beta-Binomial, namun bentuk tertutup untuk ̂
dan ̂ tidak ada McCulloch Searle, 2001. Pada tulisan ini bertujuan untuk
menilai kinerja penduga langsung dan penduga Bayes empirik pada pendugaan area kecil untuk kasus biner.
Universitas Sumatera Utara
2.2 Metode Bayes Empirik
