Penerapan Metode Bayes Empiric Pada Pendugaan Area Kecil (Studi tentang Proporsi Status Kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS)

PENERAPAN METODE BAYES EMPIRIK PADA PENDUGAAN

AREA KECIL

(Studi tentang Proporsi Status Kepemilikan Kartu Jaminan

Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS)

di Kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah)

SKRIPSI

LINDA SAHARA

100823012

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

PENERAPAN METODE BAYES EMPIRIK PADA PENDUGAAN

AREA KECIL

(Studi tentang Proporsi Status Kepemilikan Kartu Jaminan

Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS)

di Kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah)

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi syarat mendapat gelar Sarjana Sains

LINDA SAHARA

100823012

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2012

PERSETUJUAN

Judul : PENERAPAN METODE BAYES EMPIRIK

PADA PENDUGAAN AREA KECIL

(Studi tentang Proporsi Status Kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di Kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah)

Kategori : SKRIPSI

Nama : LINDA SAHARA

Nomor Induk Mahasiswa : 100823012

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juli 2012

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si NIP. 195312181980031003 NIP.195003211980031001

Diketahui / Disetujui Oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Tulus, M.Si

PERNYATAAN

PENERAPAN METODE BAYES EMPIRIK PADA PENDUGAAN AREA KECIL

(Studi tentang Proporsi Status Kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di Kota Takengon Kabupaten Aceh tengah)

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2012

LINDA SAHARA 100823012

PENGHARGAAN

Segala Puji bagi Allah SWT. Pemelihara sekalian alam, Yang Maha Bijaksana, Maha Luas Anugerah-Nya, Maha Ilmu, Maha Rahman, Maha Pengasih yang menciptakan manusia dalam bentuk yang paling baik dan sempurna menjadikan langit dan bumi dengan kekuasaan-Nya serta mengatur semua urusan di dunia dan akhirat dengan keadilan dan kebijaksanaan-Nya. Atas kehendak Nya lah penulis dapat menyelesaikan Skripsi ini.

Dengan kerendahan hati penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, tetapi penulis berharap kiranya skripsi ini dapat menambah bahan bacaan yang bermanfaat bagi siapa saja yang membacanya. Selama proses penulisan skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan moril maupun materil dari berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si dan Bapak Drs. Faigiziduhu Bu’ulolo M.Si, sebagai ketua dan co pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberi panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas dan padat serta profesional telah diberikan agar penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

2. Bapak Prof.Dr.Tulus.Vordipl.Math.,M.Si.,Ph.D dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si sebagai ketua dan sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU.

3. Dr. Sutarman, M.Sc sebagai Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak Drs. Pasukat Sembiring, M.Si dan Bapak Drs. Gim Tarigan, M.Si sebagai penguji yang telah memberikan masukan positif dalam penyelesaian skripsi ini.

5. Seluruh dosen pengajar pada Departemen Matematika FMIPA USU yang telah membagikan ilmunya serta bimbingan dan arahan kepada penulis dan seluruh staf pegawai yang telah memberikan bantuan dalam penyelesaian skripsi ini.

6. Ayahanda tercinta Damai dan ibunda tercinta Zuriati serta seluruh anggota keluarga atas segala dukungan yang diberikan baik moril maupun materil selama penyelesaian skripsi ini.

7. Sahabat-sahabatku, teman-temanku yang telah banyak memberi dorongan semangat dan atas semua bantuannya khususnya Direstika Yolanda, Vani Gita Pertiwi, Uci Supriana, Eka Kurniati Hasibuan, Monica Elisabet Pangaribuan dan seluruh rekan-rekan yang lainnya.

Akhirnya penulis berharap kiranya Tuhan Yang Maha Esa membalas kebaikan dari semua pihak dan kiranya tulisan ini bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi penulis.

Medan, Juli 2012 Penulis

LINDA SAHARA 100823012

ABSTRAK

Pendugaan area kecil berguna untuk menduga parameter subpopulasi (area) yang berukuran contoh kecil. Pada data biner, model Beta-Binomial dapat digunakan untuk menduga parameter area kecil. Ada dua metode dalam pendugaan area kecil untuk data biner, yaitu Bayes empirik dan Bayes hierarkhi. Pada skripsi ini digunakan metode Bayes empirik dalam menghasilkan penduga proporsi. Tujuannya adalah menilai kinerja penduga langsung dan penduga Bayes empirik pada pendugaan area kecil untuk kasus biner. Hasil penerapan pada proporsi status kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di kota Takengon kabupaten Aceh Tengah menunjukkan bahwa penduga Bayes empirik dari model Beta-Binomial memberikan hasil pendugaan dengan ketelitian yang lebih tinggi dibandingkan penduga langsung.

ABSTRACT

Small area estimation is useful to estimate small sub population of a certain area. In binary data, Beta-Binomial mode can be used to estimate a perimeter of a small area. There two methods available in small area estimation using binary data, i.e empirical Bayes and hierarchical Bayes. To get a proportional estimation result, emprical Bayes method is used in this thesis. The purpose of this thesis is to measure the performance of direct estimation and empirical Bayes estimation that are applied in a small area with a binary case. The application of proportional status of “Kartu Jaminan

Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas)” ownership in Takengon, Aceh Tengah shows

that the estimation of empirical Bayes applied in Beta-Binomial mode gives a more detailed result than that of direct estimation.

DAFTAR ISI

Halaman

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Abstract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel x

Daftar Gambar xi

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 4

1.3 Pembatasan Masalah 4

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Manfaat Penelitian 4

1.6 Tinjauan Pustaka 5

1.6.1 Penduga Langsung Bagi Proporsi 5

1.6.2 Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi 6

1.7 Metodologi Penelitian 7

1.7.1 Penduga Langsung 7

BAB 2 LANDASAN TEORI 9

2.1 Pendugaan Area Kecil 9

2.2 Metode Bayes Empirik 12

2.3 Model Beta-Binomial 13

2.4 Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi 17 2.5 Prosedur Pendugaan Proporsi Dengan Metode Bayes Empirik 18

2.5.1 Penduga Langsung 18

2.5.2 Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial 19

BAB 3 PEMBAHASAN 21

3.1 Penerapan Pada Data Status Kepemilikan Kartu

Jaminan Kesehatan Masyarakat 21 3.1.1 Perhitungan Penduga Langsung 25 3.1.2 Perhitungan Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi 27 3.1.3 Perhitungan Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model

Beta-Binomial 33

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 37

4.1 Kesimpulan 37

4.2 Saran 37

Daftar Pustaka

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 3.1 Data Aktual Jumlah Penduduk dan Jumlah Pemakai

Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS)

di Kota takengon Kabupaten Aceh Tengah 22

Tabel 3.2 Perhitungan Penduga Langsung 24

Tabel 3.3 Perhitungan Bayes Empirik Bagi Proporsi 26 Tabel 3.4 Perhitungan Penduga Bayes Empirik Berdasarkan

Model Beta-Binomial 31

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 3.1 Data Aktual Jumlah Penduduk dan Jumlah Pemakai

Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS)

di Kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah 23

ABSTRAK

Pendugaan area kecil berguna untuk menduga parameter subpopulasi (area) yang berukuran contoh kecil. Pada data biner, model Beta-Binomial dapat digunakan untuk menduga parameter area kecil. Ada dua metode dalam pendugaan area kecil untuk data biner, yaitu Bayes empirik dan Bayes hierarkhi. Pada skripsi ini digunakan metode Bayes empirik dalam menghasilkan penduga proporsi. Tujuannya adalah menilai kinerja penduga langsung dan penduga Bayes empirik pada pendugaan area kecil untuk kasus biner. Hasil penerapan pada proporsi status kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di kota Takengon kabupaten Aceh Tengah menunjukkan bahwa penduga Bayes empirik dari model Beta-Binomial memberikan hasil pendugaan dengan ketelitian yang lebih tinggi dibandingkan penduga langsung.

ABSTRACT

Small area estimation is useful to estimate small sub population of a certain area. In binary data, Beta-Binomial mode can be used to estimate a perimeter of a small area. There two methods available in small area estimation using binary data, i.e empirical Bayes and hierarchical Bayes. To get a proportional estimation result, emprical Bayes method is used in this thesis. The purpose of this thesis is to measure the performance of direct estimation and empirical Bayes estimation that are applied in a small area with a binary case. The application of proportional status of “Kartu Jaminan

Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas)” ownership in Takengon, Aceh Tengah shows

that the estimation of empirical Bayes applied in Beta-Binomial mode gives a more detailed result than that of direct estimation.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Statistik area kecil (small area statistics) saat ini telah menjadi perhatian para statistisi dunia secara sangat serius. Telah banyak penelitian yang dikembangkan baik untuk perbaikan teknik dan pengembangan metode maupun aplikasi dalam berbagai kasus dan persoalan nyata yang dihadapi. Fay dan Herriot (1979) merupakan peneliti pertama yang mengembangkan pendugaan area kecil (small area estimation, SAE) berbasis model. Model yang dikembangkannya kemudian menjadi rujukan dalam pengembangan penelitian pendugaan area kecil lebih lanjut sampai dengan saat ini.

Perhatian yang besar ini terjadi seiring dengan meningkatnya kebutuhan pemerintah dan para pengguna statistik (termasuk dunia bisnis) terhadap informasi yang lebih rinci, cepat, dan handal, tidak saja untuk lingkup superpopulasi seperti negara tetapi pada lingkup yang lebih kecil (subpopulasi) seperti kabupaten, kecamatan dan desa/kelurahan atau subpopulasi lain yang dibangun oleh karakteristik jenis kelamin, status sosial ekonomi, pendidikan, ras dan yang lainnya. Di Indonesia, pentingnya statistik area kecil semakin dirasakan seiring dengan era otonomi daerah di mana sistem ketatanegaraan bergeser dari sistem sentralisasi ke sistem desentralisasi. Pada sistem desentralisasi, pemerintah daerah memiliki kewenangan yang lebih besar untuk mengatur dirinya sendiri, khususnya pada level pemerintah kabupaten/kota.

Dengan demikian kebutuhan statistik sampai pada level desa/kelurahan menjadi suatu kebutuhan dasar sebagai landasan bagi pemerintah daerah kabupaten/kota untuk menyusun sistem perencanaan, pemantauan dan penilaian pembangunan daerah atau kebijakan penting lainnya.

Pendugaan area kecil (small area estimation) adalah suatu teknik statistika untuk menduga parameter-parameter subpopulasi yang ukuran contohnya kecil (Rao, 2003). Teknik pendugaan ini memanfaatkan data dari domain besar (yakni seperti data sensus, data survei sosial ekonomi nasional) untuk menduga peubah yang menjadi perhatian pada domain yang lebih kecil. Area kecil didefinisikan sebagai subpopulasi yang ukuran contohnya kecil sehingga pendugaan langsung tidak dapat menghasilkan dugaan yang teliti (Rao, 2003). Biasanya statistik diperoleh dari suatu survei yang dirancang untuk memperoleh statistik nasional. Persoalan muncul ketika ingin diperoleh informasi untuk area yang lebih kecil (propinsi, kabupaten, kecamatan atau desa/kelurahan) yaitu objek survei jumlahnya kecil bahkan bisa saja area tersebut tidak tersampling sehingga analisis yang didasarkan hanya pada objek -objek tersebut menjadi sangat tidak dapat diandalkan (presisi rendah). Small area estimation merupakan suatu metode yang dapat menangani permasalahan tersebut.

Pendugaan area kecil merupakan konsep terpenting dalam pendugaan parameter di suatu area yang relatif kecil dalam percontohan survei (survey sampling). Metode pendugaan area kecil digunakan untuk menduga karakteristik dari subpopulasi (domain yang lebih kecil). Pendugaan langsung (direct estimation) pada subpopulasi tidak memiliki presisi yang memadai karena kecilnya jumlah data yang digunakan untuk memperoleh dugaan tersebut. Alternatif metode lain adalah dengan cara menambahkan informasi pada area tersebut dari area lain melalui pembentukan model yang tepat. Pendugaan parameter area kecil dengan pendekatan seperti ini disebut pendugaan tidak langsung (indirect estimation) dalam arti bahwa dugaan tersebut mencakup data dari domain yang lain. Chand dan Alexander (1995) menyebutkan bahwa prosedur pendugaan area kecil pada dasarnya memanfaatkan kekuatan informasi area sekitarnya (neighbouring areas) dan sumber data di luar area yang statistiknya ingin diperoleh melalui pembentukan model yang tepat untuk meningkatkan efektifitas ukuran data. Secara umum pendugaan area kecil dapat dikatakan sebagai suatu metode untuk menduga parameter pada suatu area yang relatif kecil dalam percontohan survei dengan memanfaatkan informasi dari luar area, dari dalam area itu sendiri dan dari luar survei.

Metode Bayes empirik merupakan suatu metode pendugaan yang terdiri dari fungsi kepekatan peluang prior, fungsi kepekatan peluang posterior dan fungsi kepekatan peluang marginal. Salah satu model dalam metode Bayes empirik yang digunakan adalah model Beta-Binomial, karena model ini memenuhi ketiga fungsi kepekatan peluang tersebut. Model Beta-Binomial digunakan karena cocok untuk data biner.

Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) adalah sebuah program jaminan kesehatan untuk warga Indonesia yang memberikan perlindungan sosial dibidang kesehatan untuk menjamin masyarakat miskin dan tidak mampu yang iurannya dibayar oleh pemerintah agar kebutuhan dasar kesehatannya yang layak dapat terpenuhi. Program ini dijalankan oleh Departemen Kesehatan sejak 2008. Program Jaminan Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas) diselenggarakan berdasarkan konsep asuransi sosial. Program ini diselenggarakan secara nasional dengan tujuan untuk:

1. Mewujudkan portabilitas pelayanan sehingga pelayanan rujukan tertinggi yang disediakan Jamkesmas dapat diakses oleh seluruh peserta dari berbagai wilayah. 2. Agar terjadi subsidi silang dalam rangka mewujudkan pelayanan kesehatan yang

menyeluruh bagi masyarakat miskin.

Dari uraian di atas serta dengan mempertimbangkan kemampuan penulis, maka

penulis ingin melakukan penelitian dengan judul “ Penerapan Metode Bayes Empirik Pada Pendugaan Area Kecil” (Studi tentang Proporsi Status Kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di Kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah)

1.2Perumusan Masalah

Dalam penulisan ini yang menjadi permasalahannya adalah menentukan proporsi status kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah, kemudian memperlihatkan prosedur pendugaan proporsi status kepemilikan JAMKESMAS dengan Metode Bayes Empirik.

1.3Pembatasan Masalah

Batasan masalah dari tulisan ini diantaranya adalah:

1. Pengambilan data berasal dari kantor Dinas Kesehatan dan kantor Badan Pusat Statistik kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah.

2. Pendugaan proporsi dengan metode Bayes empirik.

3. Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.

1.4Tujuan Penelitian

Tujuan tulisan ini adalah menjelaskan bagaimana menilai kinerja penduga langsung dan penduga Bayes empirik pada pendugaan area kecil serta menjalankan perhitungan dengan menggunakan Microsoft Office Excel.

1.5Manfaat Penelitian

Sebagai sarana bagaimana meningkatkan pengetahuan dan wawasan penulis mengenai cara menggunakan metode Bayes empirik menggunakan model Beta-Binomial pada pendugaan statistik area kecil.

1.6Tinjauan Pustaka

1.6.1 Penduga Langsung Bagi Proporsi

Peubah pengamatan diasumsikan mempunyai sebaran binomial _~�Binomial ( , ). Fungsi peluang dari sebaran binomial (PROF. DR. SUDJANA, M.A.,M.Sc.) adalah:

⃒ = � _{− �}− �,

dengan

= , … , , < < , = , … , (1.1) Selanjutnya dengan memaksimumkan fungsi peluang tersebut diperoleh penduga kemungkinan maksimum bagi yaitu:

̂ = �

� (1.2)

Penduga ini merupakan penduga kemungkinan maksimum yang bersifat tak bias karena nilai harapan dari penduga sama dengan parameternya.

� ̂ = � �

� = �� = � = (1.3)

Sehingga dugaan kuadrat tengah galat sama dengan ragamnya, yaitu:

1.6.2 Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi

Langkah awal pada pendugaan Bayes empirik dari model Beta-Binomial oleh Kleinman (Rao, 2003) adalah dengan membuat dugaan parameter prior dengan menyamakan rataan contoh terboboti.

̂ = ∑ �

� ̂ (1.5)

Keterangan:

̂ = dugaan parameter prior

= banyaknya individu pada subpopulasi ke-i � = jumlah seluruh individu

̂ = penduga proporsi dan ragam contoh terboboti.

� = ∑ �

� ̂ − ̂ (1.6)

dengan nilai harapan masing-masing dan kemudian diselesaikan persamaan momen untuk dan , dengan _� = ∑ . Penduga momen ̂ dan ̂, diberikan sebagai berikut:

̂

̂+̂ = ̂ (1.7)

dan

̂+̂+ =

���2−�̂ −�̂ −

̂� _{, = � ⃒ , , =} �+

�+ + (1.9)

untuk memperoleh penduga Bayes empirik bagi yaitu:

̂�� = ̂�( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂ (1.10) dengan ̂ = �

�+̂+̂ , ̂ = �

� sebagai penduga langsung dari , dan masing

-masing menyatakan banyaknya pengamatan dan banyaknya suatu kasus, ̂ adalah penduga sintetik atau sebagai penduga tak langsung.

1.7Metodologi Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Bayes empirik di mana prosedur yang digunakan dalam menduga proporsi ada dua cara yaitu berdasarkan penduga langsung dan Bayes empirik dari dua model Beta-Binomial yang diuraikan sebagai berikut:

1.7.1 Penduga Langsung

1. Menentukan penduga proporsi.

2. Menentukan dugaan kuadrat tengah galat (ktg). 3. Menentukan galat baku.

1.7.2 Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial

1. Menentukan nilai dugaan parameter ̂ dan ̂ dari sebaran prior. 2. Menentukan penduga Bayes empirik ̂��.

3. Menentukan kuadrat tengah galat dengan menggunakan metode Jacknife. 4. Menentukan galat baku.

5. Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.

Perbandingan kebaikan dari kedua penduga proporsi (penduga langsung dan Bayes empirik dari model Beta-Binomial dengan melihat nilai galat baku.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pendugaan Area Kecil

Secara umum metode pendugaan area kecil dibagi menjadi dua bagian yaitu metode penduga langsung (direct estimation) dan metode penduga tak langsung (indirect estimation). Metode-metode pendugaan selama ini yang sering digunakan adalah metode pendugaan langsung.

Pendugaan langsung merupakan pendugaan yang didasarkan pada desain penarikan yang menjadi perhatian (jumlah pemakai Jamkesmas). Dalam kasus pendugaan area kecil, penduga langsung bagi parameter pada area kecil yang menjadi perhatian relatif akan menghasilkan galat baku yang besar karena masalah jumlah yang memakai kartu Jamkesmas.

Suatu pendekatan tidak langsung mampu meningkatkan efektifitas ukuran jumlah pemakai Jamkesmas. Pada pendugaan tak langsung terdapat dua model penghubung yang digunakan untuk menghubungkan area kecil dengan area kecil lainnya yaitu model penghubung implisit dan eksplisit.

Penduga tak langsung dengan menggunakan model penghubung implisit adalah model yang didasarkan pada desain penarikan jumlah yang menjadi perhatian (design based). Penduga yang dihasilkan mempunyai ragam desain yang relatif kecil dibandingkan dengan ragam desain dari penduga langsung. Model penghubung implisit mempunyai tiga metode yaitu, metode sintetik, komposit, dan James-Stein. Metode sintetik adalah merupakan suatu metode dari penduga langsung untuk area besar, yang memiliki galat baku kecil digunakan untuk memperoleh penduga tak langsung untuk area kecil tertentu. Metode ini mengasumsikan bahwa area kecil tersebut memiliki karateristik yang sama dengan area besar. Metode komposit merupakan rata-rata terboboti dari penduga langsung dan penduga tak langsung. Metode James-Stein adalah penduga komposit yang menggunakan pembobot umum dengan meminimumkan jumlah kuadrat galat.

Model penghubung eksplisit adalah model yang didasarkan pada pengaruh acak area kecil untuk mendapatkan keragaman antar area dan informasi peubah penyerta, yang selanjutnya dikenal dengan model area kecil. Menurut Rao (2005) peubah penyerta yang baik adalah peubah yang berhubungan erat dengan peubah yang menjadi perhatian dan berasal dari data sensus atau data administratif.

Suatu peubah respons yang menyatakan “sukses” atau “gagal” disebut sebagai peubah biner. Pada pendugaan area kecil untuk kasus biner, peubah yang menjadi perhatian berupa proporsi. Penduga langsung bagi proporsi merupakan penduga kemungkinan maksimum yaitu ̂ = �

� , dengan mengasumsikan peubah pengamatan

diasumsikan menyebar binomial, _~� Binomial ( , ). Penduga langsung ini mempunyai ragam yang besar karena hanya berdasarkan jumlah objek survei yang terdapat pada area tersebut. Suatu pendugaan lain dikembangkan untuk mengatasi permasalahan ini, yaitu pendugaan tak langsung. Pendugaan tak langsung bagi proporsi diperoleh dari model Beta-Binomial. Model ini mempunyai dua tahap, yaitu pada tahap pertama diasumsikan bahwa peubah yang menjadi perhatian _~� Binomial ( , ) = 0,…, , 0< < , = , … , . Sedangkan pada tahap kedua diasumsikan bahwa _~� beta( , ) sebagai prior, dengan fungsi kepadatan

ƒ( ⃒ , ) = � +

� ∝ � − (1- − ; > , > (Robert V. Hogg) (2.1)

Berdasarkan teorema Bayes maka penduga Bayes dan ragam posterior bagi adalah:

̂� _{, = � , , =} +

+ + .

dan

Var ⃒ , , = , , = _{+ + +}+ − +_{+ +} .

Bila penduga Bayes ini akan digunakan maka harus diketahui terlebih dahulu nilai parameter sebaran priornya. Namun seringkali informasi mengenai parameter prior belum diketahui. Pendekatan lain yang dapat digunakan adalah Bayes empirik, yaitu pendekatan yang dilakukan untuk mendapatkan informasi parameter prior berdasarkan datanya. Informasi parameter prior diperoleh dengan memaksimumkan fungsi sebaran marjinal ⎹ , _~ � Beta-Binomial, namun bentuk tertutup untuk ̂ dan ̂ tidak ada (McCulloch & Searle, 2001). Pada tulisan ini bertujuan untuk menilai kinerja penduga langsung dan penduga Bayes empirik pada pendugaan area kecil untuk kasus biner.

2.2 Metode Bayes Empirik

Metode Bayes yang ditemukan oleh Thomas Bayes dan kemudian dikembangkan oleh Richard Price (1763) dua tahun setelah wafatnya Bayes, kemudian Laplace pada tahun 1774 dan 1781 yang memberikan analisis secara rinci, merupakan metode yang lebih baik untuk statistik Bayes sekarang (Gill, 2002).

Model statistik Bayes merupakan perpaduan antara sebaran prior dan posterior, yaitu jika dimisalkan dengan sebaran percontohan �⃒ �~ ⃒ �) dan sebaran prior

�~� � diketahui maka sebaran posterior dari θ adalah:

� �⃒ ) =� ,� =� ⎹ � � �

dengan

= ∫ ⃒ � � � � (2.4) Suatu sebaran prior dinamakan konjugate bila menghasilkan sebaran posterior yang sama dengan dirinya. Sebaran yang masih dalam keluarga eksponensial mempunyai prior konjugate. Seperti sebaran Poisson memiliki prior konjugate Gamma dan sebaran Binomial memiliki prior konjugate Beta.

Metode Bayes empirik merupakan suatu metode yang menggunakan data pengamatan untuk menduga parameter prior. Pertama kali model ini diperkenalkan oleh Fay-Herriot (1970), untuk menduga rata-rata pendapatan area kecil di Amerika Serikat. Metode ini sesuai untuk menangani data-data biner dan cacahan pada pendugaan area kecil. Pendekatan Bayes Empirik dalam pendugaan area kecil mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

a) Memperoleh fungsi kepekatan posterior dari parameter area kecil yang teramati. b) Pendugaan parameter model dari fungsi kepekatan marginal.

c) Menggunakan pendugaan fungsi kepekatan posterior untuk membuat inferensi parameter area kecil.

2.3 Model Beta Binomial

Model ini merupakan suatu model yang berawal dari model Bernoulli dengan model peluang untuk data biner yang dinyatakan dengan

~� Binomial ( , ) = 0,…, , 0< < , = , … , (2.5) dengan model dasar

⃒ _~� _{� ⎹}

~� � , (2.6)

dan

dengan � , menyatakan sebaran beta dengan parameter dan serta fungsi kepekatan untuk adalah:

ƒ( ⃒ , ) = � +

� ∝ � − (1- − ; > , > (Robert V. Hogg) (2.8)

dan, � = fungsi gama

untuk menyederhanakan = , … , _� � menjadi total contoh = ∑ , merupakan statistik cukup minimal untuk model tahap pertama. Diketahui bahwa

~� � ,

yang mempunyai fungsi kepekatan sebagai berikut:

⃒ = � _{− �}− � _(2.9)

Berdasarkan fungsi kepekatan dan fungsi kepekatan maka:

⃒ , , ~ � + , − + (2.10) Oleh karena itu, penduga Bayes bagi adalah:

̂� _{, = � ⎹ , , =} +

+ + .

dan ragam posterior bagi adalah:

� ⃒ , , = �+ �− �+

Sebaran penghubung , , dinamakan prior konjugate pada sebaran posterior,

⎹ , , mempunyai bentuk yang sama dengan sebaran priornya. Dari sebaran

penghubung tersebut, maka digunakan model Beta-Binomial dengan sebaran peluang marginal:

⃒ , , = � + � � + �− �

� , , �

� +

� �

= � + �, + �− �

� , (2.13)

Untuk menduga parameter dan digunakan dengan metode momen Kleinman:

̂

̂+̂ = ̂ (2.14)

dan

̂+̂+ =

���2−�̂ −�̂ −

�̂ −�̂ [ �−∑� �2/ � − − ] (2.15)

Dengan rataan berbobot ̂ = ∑ �

� ̂ , ragam terboboti.

� = ∑ �

� ̂ − ̂ � = ∑ . (2.16)

Ekspresi untuk dugaan parameter ̂ dan ̂ dinyatakan dengan rumus berikut dan diperoleh:

̂ = ̂ [ − ̂[ �− ∑ / � − − ]

� �− ̂ − ̂ − − ] .

dan

̂ = ̂ [�̂ −�̂ [ �−∑�( �2/ �)− − ]

���2−�̂ −�̂ − − ] [�̂− ] (2.18)

di mana ̂ dan ̂ dugaan parameter sebaran Beta-Binomial

Pensubstitusian parameter ̂ dan ̂ dari metode Kleinman ke penduga EB bagi ̂�� diperoleh:

̂�� _{= ̂}�_{( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂ (2.19)} dengan ̂ = �

�+̂+̂ ̂

�� _{merupakan rataan berbobot dari penduga langsung ̂} dan penduga sintetik ̂ ( Rao, 2003).

2.4 Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi

Langkah awal pada pendugaan Bayes empirik dari model Beta-Binomial oleh Kleinman (Rao, 2003) adalah dengan membuat dugaan parameter prior dengan menyamakan rataan contoh terboboti.

̂ = ∑ �

� ̂ (2.20)

Keterangan:

̂ = dugaan parameter prior

= banyaknya individu pada subpopulasi ke-i � = jumlah seluruh individu

dan ragam contoh terboboti.

� = ∑ �

� ̂ − ̂ (2.21)

dengan nilai harapan masing-masing dan kemudian diselesaikan persamaan momen untuk dan , dengan _� = ∑ . Penduga momen ̂ dan ̂, diberikan sebagai berikut:

̂

̂+̂ = ̂ (2.22)

dan

̂+̂+ =

���2−�̂ −�̂ − �̂ −�̂ [ _�−∑_{� �}2_/

�− − ] (2.23)

Lalu substitusikan penduga momen ̂ dan ̂ ke dalam rumus:

̂� _{, = � ⃒ , , =} �+

�+ + (2.24)

untuk memperoleh penduga Bayes empirik bagi yaitu:

̂�� _{= ̂}�_{( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂ (2.25)} dengan ̂ = �

�+̂+̂ , ̂ = �

� sebagai penduga langsung dari , dan masing

-masing menyatakan banyaknya pengamatan dan banyaknya suatu kasus, ̂ adalah penduga sintetik atau sebagai penduga tak langsung.

2.5 Prosedur Pendugaan Proporsi Dengan Metode Bayes Empirik

Prosedur yang digunakan dalam menduga proporsi ada dua cara yaitu berdasarkan penduga langsung dan penduga Bayes empirik dari model Beta-Binomial yang diuraikan sebagai berikut:

2.5.1 Penduga Langsung

5. Menentukan penduga proporsi

̂ = �

� (2.26)

Dengan menyatakan banyaknya pengamatan suatu kasus pada subpopulasi ke-i, menyatakan banyaknya individu pada subpopulasi ke-i. Subpopulasi ini dapat berupa kecamatan.

6. Menentukan dugaan kuadrat tengah galat (ktg) yaitu

ktg(�̂)= ̂ − ̂ (2.27)

7. Menentukan galat baku

8. Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.

2.5.2 Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial

6. Menentukan nilai dugaan parameter ̂ dan ̂ dari sebaran prior

~

���_{� , (2.28)}

8. Menentukan kuadrat tengah galat dengan menggunakan metode Jacknife yaitu:

a) Anggap bahwa ̂��= ( ̂ , ̂, ̂), ̂��_,− = ( ̂ , ̂₋ , ̂₋ , lalu

�̂ = − ∑ = ̂��,− – ̂��

=

.

b) Dengan mencari ̂₋ dan ̂₋ yang merupakan penduga momen yang diperoleh dari data ke -1 yang dihapus maka dihitung

�̂ = ̂, ̂, )− − ∑ [ ( ̂_{= − ,} ̂_{− ,} ) − ̂, ̂, ] (2.30)

c) Penduga Jacknife bagi kuadrat tengah galat penduga Bayes empirik diberikan oleh

� �̂�� _{= �̂ + �̂ (2.31)} 9. Menentukan galat baku.

10.Proses hitungan dilakukan dengan Microsoft Office Excel.

Perbandingan kebaikan dari kedua penduga proporsi (penduga langsung dan Bayes empirik dari model Beta-Binomial dengan melihat nilai galat baku.

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Penerapan Pada Data Status Kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas)

Data jumlah penduduk dan status kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas) diperoleh dari kantor Badan Pusat Statistik (BPS) dan Kantor Dinas Kesehatan kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah. Data ini diambil dari 14 kecamatan di kota Takengon. Peubah yang menjadi perhatian adalah proporsi status kepemilikan kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas), peubah pengamatan

adalah jumlah rumahtangga pemilik kartu sehat pada kecamatan − , dan adalah jumlah rumahtangga pada kecamatan − .

Tabel 3.1 Data Aktual Jumlah Penduduk dan Jumlah Pemakai Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di Kota Takengon Kabupaten Aceh

Tengah

No. Kecamatan

Jumlah Penduduk

(�_�

Puskesmas

Jumlah Pemakai Kartu JAMKESMAS

(�_�

1 Linge 8.757 Linge 5.444

2 Atu Lintang 5.803 Merah Mege 4.313

3 Jagong Jeget 8.871 Jagong 4.542

4 Bintang 8.504 Bintang 7.478

5 Lut Tawar 17.960 Kota 7.392

6 Kebayakan 14.041 Kebayakan 6.492

7 Pegasing 17.640 Pegasing 8.659

8 Bies 6.414 Atang Jungket 2.838

9 Bebesen 34.342 Bebesen 12.261

10 Kute Panang 6.815 Ratawali 4.833

11 Silih Nara 20.542 Silih Nara 9.665

12 Ketol 11.342 Blang Mancung 4.850

13 Celala 8.367 Celala 3.969

14 Rusip Antara 6.129 Rusip Antara 3.423

Sumber: Badan Pusat Statistik dan Dinas Kesehatan Kota Takengon Kabupaten Aceh Tengah.

Gambar 3.1 Data Aktual Jumlah Penduduk dan Jumlah Pemakai Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di kota Takengon Kabupaten

Aceh Tengah

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000

Jumlah Penduduk Jumlah Pemakai Kartu JAMKESMAS

Tabel 3.2 Perhitungan Penduga Langsung

No. Kecamatan Jumlah Penduduk ( )

Jumlah Pemakai Kartu JAMKESMAS

( )

Penduga Langsung

Penduga ( ̂) Galat Baku

1 Linge 8.757 5.444 0,62167 45,38289

2 Atu Lintang 5.803 4.313 0,74324 33,27795

3 Jagong Jeget 8.871 4.542 0,51201 47,07942

4 Bintang 8.504 7.478 0,87935 30,03688

5 Lut Tawar 17.960 7.392 0,41158 65,95143

6 Kebayakan 14.041 6.492 0,46236 59,07925

7 Pegasing 17.640 8.659 0,49087 66,39677

8 Bies 6.414 2.838 0,44247 39,77777

9 Bebesen 34.342 12.261 0,35703 88,78907

10 Kute Panang 6.815 4.833 0,70917 37,49102

11 Silih Nara 20.542 9.665 0,47050 71,53756

12 Ketol 11.342 4.850 0,42761 52,68844

13 Celala 8.367 3.969 0,47436 45,67550

14 Rusip Antara 6.129 3.423 0,55849 38,87519

3.1.1 Perhitungan Penduga Langsung

1. Menentukan penduga proporsi

̂

=

̂ = ._. ̂ = ,

2. Menentukan dugaan kuadrat tengah galat

̂ = �̂ ̂ = ̂ − ̂

̂ = . ( .

. ) ( −

.

. )

̂ = . ,

3. Menentukan galat baku

� � = √ ̂

Tabel 3.3 Perhitungan Bayes Empirik Bagi Proporsi

̂ =

�

=

̂ = ̂�� =

0,03102 0,01741 423,88463 0,99999708 0,62167 0,02457 0,01708 178,84974 0,99999784 0,74324 0,02588 0,01194 435,33354 0,99999859 0,51201 0,04260 0,03392 399,00508 0,99999852 0,87935 0,04211 0,01397 1824,67512 0,99999930 0,41158 0,03699 0,01447 1110,18721 0,99999911 0,46236 0,04933 0,01959 1759,77342 0,99999929 0,49087 0,01617 0,00664 221,37645 0,99999804 0,44247 0,06985 0,01614 6706,04017 0,99999963 0,35703 0,02753 0,01804 251,59875 0,99999816 0,70917 0,05506 0,02020 2391,03906 0,99999939 0,47050 0,02763 0,01034 719,88419 0,99999889 0,42761 0,02261 0,00973 385,83715 0,99999850 0,47436 0,01950 0,01014 201,01061 0,99999795 0,55849 0,49086 0,21960 17008.49513 13,99998030 7,56072

Keterangan Judul Tabel:

̂ = , = ∑ ( �) ̂ � = , = ∑ ( �) ̂ − ̂ = ∑ �− − ̂ = , = + ̂ + ̂ ̂�� _{= , = ̂ ̂ + − ̂ ̂}

1. Nilai , _� ̂ tertera pada tabel 3.2 halaman 24. 2. Nilai ̂ dan ̂ tertera pada halaman 29.

3.1.2 Perhitungan Penduga Bayes Empirik Bagi Proporsi

1. Langkah awal pada pendugaan Bayes empirik dari model Beta-Binomial oleh Kleinman (Rao, 2003) adalah dengan membuat dugaan parameter prior dengan menyamakan rataan contoh terboboti.

̂ = ∑

�

�

̂

̂ = ._. ,

̂ = ,

2. Ragam contoh terboboti

�

= ∑

_��

̂ − ̂

� = ( . _. ) , − ,

� = ,

3. Dengan nilai harapan masing-masing dan kemudian diselesaikan persamaan momen untuk dan , dengan _� = ∑ . Penduga momen ̂ dan ̂, diberikan sebagai berikut:

̂

̂+̂

= ̂

̂

̂+̂

=

,

, ̂ = , ̂

̂ =

, ,

̂

̂ = . ̂ dan ̂+̂+

=

���2−�̂ −�̂ −

�̂ −�̂ [ �−∑�_����2− − ]

̂+̂+

=

. , − , − , − , − , [ . − , ]

̂+̂+

=

. , − , , [ . , ]

̂+̂+

=

. , . ,

̂+̂+

=

, = , ̂ + , ̂ + , , = , ̂ + , ̂ , = , ( , ̂) + , ̂ , = . ̂ + , ̂ , = , ̂

̂ =

, ,

̂ = , (Penduga Momen) ̂ = , ,

̂ = , (Penduga Momen)

4. Lalu substitusikan penduga momen ̂ dan ̂ ke dalam rumus:

̂� _{, = � , , =} �+

�+ +

untuk memperoleh penduga Bayes empirik bagi yaitu:

̂�� _{= ̂}�_{( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂} dengan ̂ = �

�+̂+̂ , ̂ = �

� sebagai penduga langsung dari , dan masing -

masing menyatakan banyaknya pengamatan dan banyaknya suatu kasus, ̂ adalah penduga sintetik atau sebagai penduga tak langsung.

̂ =

+ ̂ + ̂

̂ = _{. + ,}. _{+ ,}

̂ = _. . _,

Jadi, ̂�� yaitu:

̂�� _{= ̂}�_{( ̂, ̂) = ̂ ̂ + − ̂ ̂}

̂�� _{= , × , + − , ,}

Tabel 3.4 Perhitungan Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial

̂��= ℎ

0,62167 - 18.036.084,60 671.613.547.412,66 0,000027 0,74324 0,01478 6.426.444,97 195.451.177.264,28 0,000033 0,51201 0,05347 19.662.431,57 698.184.897.523,29 0,000028 0,87935 0,13494 7.672.538,44 615.070.279.040,57 0,000012 0,41158 0,21881 78.118.885,03 5.793.553.664.527,84 0,000013 0,46236 0,00258 49.008.287,41 2.768.390.958.313,53 0,000018 0,49087 0,00081 77.766.704,65 5.489.366.805.843,90 0,000014 0,44247 0,00234 10.148.769,89 263.912.384.324,66 0,000038 0,35703 0,00730 270.735.577,99 40.503.296.255.613,20 0,000007 0,70917 0,12401 9.579.093,93 316.567.403.905,70 0,000030 0,47050 0,05696 105.126.467,56 8.668.639.433.688,60 0,000012 0,42761 0,00184 31.486.344,73 1.459.184.332.185,86 0,000022 0,47436 0,00219 17.455.768,96 585.821.349.043,80 0,000030 0,55849 0,00708 9.262.716,61 230.274.133.833,22 0,000040 7,56072 0,62710 710.486.116,33 68.259.326.622.521,10 0,000325

Keterangan Judul Tabel:

̂�� = , = ̂ ̂ + − ̂ ̂

= ̂��,− − ̂��

= + − +

ℎ = + + + + +

= , , = �+ �− �+

�+ + + �+ + 2

1. Nilai , , ̂ tertera pada tabel 3.2 halaman 24. 2. Nilai dan tertera pada halaman 28.

Sambungan Tabel 3.4

- 0,000039 0,582348 0,763117

-0,000006 0,000045 0,582354 0,763121

0,000005 0,000041 0,582349 0,763118

0,000016 0,000025 0,582333 0,763108

-0,000001 0,000026 0,582334 0,763108

-0,000004 0,000030 0,582339 0,763111

0,000004 0,000027 0,582335 0,763109

-0,000024 0,000051 0,582359 0,763125

0,000032 0,000019 0,582328 0,763104

-0,000024 0,000043 0,582351 0,763119

0,000018 0,000025 0,582333 0,763107

-0,000009 0,000034 0,582342 0,763114

-0,000008 0,000042 0,582351 0,763119

-0,000010 0,000053 0,582361 0,763126

-0,000013370 - - -

Keterangan Judul Tabel:

= ( ̂− , ̂− , ) − ( ̂, ̂, )

= �̂ = ( ̂, ̂, ) − − ∑[ ( ̂−, ̂− , ) − ( ̂, ̂, )]

=

= ���� ̂�� = �̂ + �̂

3.1.3 Perhitungan Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial

Nilai dugaan parameter ̂ dan ̂ dari sebaran prior dan nilai penduga Bayes empirik

̂�� _{yang telah didapat pada rumus (3.6), (3.7) dan (3.9) maka dapat kita cari nilai} kuadrat tengah galat dengan menggunakan metode Jacknife yaitu:

d) Anggap bahwa ̂��= ( ̂ , ̂, ̂), ̂��_,− = ( ̂ , ̂₋ , ̂₋ , lalu

�̂ = − ∑ = ̂��,− – ̂��

=

�̂ = − ,

�̂ = ,

e) Dengan mencari ̂₋ dan ̂₋ yang merupakan penduga momen yang diperoleh dari data ke -1 yang dihapus maka dihitung

�̂ = ( ̂, ̂, ) − − ∑[ ( ̂− ,̂− , ) − ( ̂, ̂, )]

=

Terlebih dahulu kita cari nilai yaitu:

( ̂, ̂, ) = _{+ + +}+ − +_{+ +}

( ̂, ̂, ) = _{. + ,}. + ,_{+ , +}. − ._{. + ,}+ , _{+ ,}

�̂ = , − − ∑[− , ]

=

�̂ = ,

f) Penduga Jacknife bagi kuadrat tengah galat penduga Bayes empirik diberikan oleh

� ̂�� = �̂ + �̂ � ̂�� = , + ,

� ̂�� = ,

Tabel 3.5 Pendugaan Proporsi Status Kepemilikan Kartu Sehat

No. Kecamatan Jumlah Penduduk

Jumlah Pemakai Jamkesmas

Penduga Langsung Bayes Empirik Penduga Galat

Baku Penduga

Galat Baku 1 Linge 8.757 5.444 0,62167 45,38289 0,62167 0,763117 2 Atu Lintang 5.803 4.313 0,74324 33,27795 0,74324 0,763121 3 Jagong Jeget 8.871 4.542 0,51201 47,07942 0,51201 0,763118 4 Bintang 8.504 7.478 0,87935 30,03688 0,87935 0,763108 5 Lut Tawar 17.960 7.392 0,41158 65,95143 0,41158 0,763108 6 Kebayakan 14.041 6.492 0,46236 59,07925 0,46236 0,763111 7 Pegasing 17.640 8.659 0,49087 66,39677 0,49087 0,763109 8 Bies 6.414 2.838 0,44247 39,77777 0,44247 0,763125 9 Bebesen 34.342 12.261 0,35703 88,78907 0,35703 0,763104 10 Kute Panang 6.815 4.833 0,70917 37,49102 0,70917 0,763119 11 Silih Nara 20.542 9.665 0,47050 71,53756 0,47050 0,763107 12 Ketol 11.342 4.850 0,42761 52,68844 0,42761 0,763114 13 Celala 8.367 3.969 0,47436 45,67550 0,47436 0,763119 14 Rusip Antara 6.129 3.423 0,55849 38,87519 0,55849 0,763126

Dari tabel 3.5 dapat diperoleh informasi bahwa secara rata-rata banyak rumahtangga belum memiliki kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS). Penduga langsung memberikan galat baku yang besar sehingga penduga mempunyai presisi yang rendah. Sedangkan penduga Bayes empirik memberikan hasil pendugaan dengan presisi meningkat yang ditunjukkan oleh kecilnya galat baku.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh dari bab-bab sebelumnya mengenai penerapan metode Bayes empirik pada pendugaan area kecil untuk kasus biner (studi tentang proporsi status kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di kota Takengon kabupaten Aceh Tengah adalah penduga Bayes empirik dari model Beta-Binomial lebih dapat diandalkan daripada penduga langsung, yang diperlihatkan dengan semakin kecilnya galat baku.

4.2 Saran

Penelitian ini menggunakan model Beta-Binomial tanpa peubah penyerta. Untuk lebih meningkatkan keakuratan pendugaan disarankan memasukkan peubah penyerta dalam model Beta-Binomial.

DAFTAR PUSTAKA

Abadi, Slamet. 2011. Tesis: Pendugaan Statistik Area Kecil Menggunakan Model Beta-Binomial. Institut Pertanian Bogor.

Brackstone, G.J. 2002. Strategies and approach for small area statistic. Survey Methodology, 28 (2), 117-123

[BPS] Badan Pusat Statistik, Jumlah Penduduk Tahun 2010.

Carlin, B.P., & Louis, T.A. 2000. Bayes and empirical Bayes methods for data analysis. New York: Chapman & Hall.

Dinas Kesehatan, Jumlah Pemakai Jaminan Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas) Tahun 2010.

Farrel, P.J., MacGibbon, B., & Tomberlin, T.J. 1997. Empirical Bayes small-area estimation using logistic regression models and summary statistics. Journal of Business & Economic Statistics, 15 (1), 101-108.

Farrel, P.J., MacGibbon, B., & Tomberlin, T.J. 1997. Bootstrap adjusments for empirical Bayes interval estimates of small-area proportions. The Canadian Journal of Statistics, 25 (1), 75-89

Fay, R.E., & Herriot, R.A. 1979. Estimates of income for small places: an application of James-Stein procedures to census data. Journal of the American Statistical Association, 74 (366), 269-277.

Gill, J. 2002. Bayesian Methods: a social and behavioral sciences approach. Boca Raton: Chapman & Hall.

Gosh, M., & Rao, J.N.K. 1994. Small area estimation: an appraisal. Statistical Science, 9 (1), 55-76.

Jiang, J., & Lahiri, P. 2001. Empirical best prediction for small area inference with binary data. Annals of the institute of Statistical Mathematics, 53 (2), 217-243.

Jiang, J., Lahiri, P., & Wan, S.M. 2002. A unified jacknife theory for empirical best prediction with M-estimation. The Annals of Statistics, 30 (6), 1782-1810

Larsen, M.D. 2003. Estimation of small-area proportions using covariates and survey data. Journal of Statistical Planning and inference, 112 (2003), 89-98.

Malec, D., sedransk, J., Moriarity, C.L., & LeClere, F.B. 1997. Small area inference for binary variables in the national health interview survey. Journal of the American Statistical Association, 92 (439), 815-826 McCulloch, C.E., & Searle, S.R.2001. Generalized linear and mixed models. New

York: Wiley.

Rao, J.N.K 1999. Some recent advances in model-based small area estimation. Survey Methodology, 25 (2), 175-186.

Rao, J.N.K. 2003. Small area estimation. New York: John Wiley and Sons.

Robert V. Hogg. 2003. Introduction To Ma thematical Statistics. Prentice Hall, Englewood Cliffs: New Jersey.

3.1.3 Perhitungan Penduga Bayes Empirik Berdasarkan Model Beta-Binomial

Nilai dugaan parameter ̂ dan ̂ dari sebaran prior dan nilai penduga Bayes empirik ̂�� _{yang telah didapat pada rumus (3.6), (3.7) dan (3.9) maka dapat kita cari nilai} kuadrat tengah galat dengan menggunakan metode Jacknife yaitu:

d) Anggap bahwa ̂��= ( ̂ , ̂, ̂), ̂��_,− = ( ̂ , ̂₋ , ̂₋ , lalu

�̂ = − ∑ = ̂��,− – ̂�� =

�̂ = − ,

�̂ = ,

e) Dengan mencari ̂₋ dan ̂₋ yang merupakan penduga momen yang diperoleh dari data ke -1 yang dihapus maka dihitung

�̂ = ( ̂, ̂, ) − − ∑[ ( ̂− ,̂− , ) − ( ̂, ̂, )] =

Terlebih dahulu kita cari nilai yaitu:

( ̂, ̂, ) = _{+ + +}+ − +_{+ +}

( ̂, ̂, ) = _{. + ,}. + ,_{+ , +}. − ._{. + ,}+ , _{+ ,} ( ̂, ̂, ) = ,

Jadi, �̂ yaitu:

�̂ = , − − ∑[− , ] =

�̂ = ,

f) Penduga Jacknife bagi kuadrat tengah galat penduga Bayes empirik diberikan oleh

� ̂�� = �̂ + �̂ � ̂�� = , + ,

� ̂�� = ,

Tabel 3.5 Pendugaan Proporsi Status Kepemilikan Kartu Sehat

No. Kecamatan Jumlah Penduduk

Jumlah Pemakai Jamkesmas

Penduga Langsung Bayes Empirik

Penduga Galat

Baku Penduga

Galat Baku 1 Linge 8.757 5.444 0,62167 45,38289 0,62167 0,763117 2 Atu Lintang 5.803 4.313 0,74324 33,27795 0,74324 0,763121 3 Jagong Jeget 8.871 4.542 0,51201 47,07942 0,51201 0,763118 4 Bintang 8.504 7.478 0,87935 30,03688 0,87935 0,763108 5 Lut Tawar 17.960 7.392 0,41158 65,95143 0,41158 0,763108 6 Kebayakan 14.041 6.492 0,46236 59,07925 0,46236 0,763111 7 Pegasing 17.640 8.659 0,49087 66,39677 0,49087 0,763109 8 Bies 6.414 2.838 0,44247 39,77777 0,44247 0,763125 9 Bebesen 34.342 12.261 0,35703 88,78907 0,35703 0,763104 10 Kute Panang 6.815 4.833 0,70917 37,49102 0,70917 0,763119 11 Silih Nara 20.542 9.665 0,47050 71,53756 0,47050 0,763107 12 Ketol 11.342 4.850 0,42761 52,68844 0,42761 0,763114 13 Celala 8.367 3.969 0,47436 45,67550 0,47436 0,763119 14 Rusip Antara 6.129 3.423 0,55849 38,87519 0,55849 0,763126

Dari tabel 3.5 dapat diperoleh informasi bahwa secara rata-rata banyak rumahtangga belum memiliki kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS). Penduga langsung memberikan galat baku yang besar sehingga penduga mempunyai presisi yang rendah. Sedangkan penduga Bayes empirik memberikan hasil pendugaan dengan presisi meningkat yang ditunjukkan oleh kecilnya galat baku.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil penelitian yang diperoleh dari bab-bab sebelumnya mengenai penerapan metode Bayes empirik pada pendugaan area kecil untuk kasus biner (studi tentang proporsi status kepemilikan Kartu Jaminan Kesehatan Masyarakat (JAMKESMAS) di kota Takengon kabupaten Aceh Tengah adalah penduga Bayes empirik dari model Beta-Binomial lebih dapat diandalkan daripada penduga langsung, yang diperlihatkan dengan semakin kecilnya galat baku.

4.2 Saran

Penelitian ini menggunakan model Beta-Binomial tanpa peubah penyerta. Untuk lebih meningkatkan keakuratan pendugaan disarankan memasukkan peubah penyerta dalam model Beta-Binomial.

DAFTAR PUSTAKA

Abadi, Slamet. 2011. Tesis: Pendugaan Statistik Area Kecil Menggunakan Model Beta-Binomial. Institut Pertanian Bogor.

Brackstone, G.J. 2002. Strategies and approach for small area statistic. Survey Methodology, 28 (2), 117-123

[BPS] Badan Pusat Statistik, Jumlah Penduduk Tahun 2010.

Carlin, B.P., & Louis, T.A. 2000. Bayes and empirical Bayes methods for data analysis. New York: Chapman & Hall.

Dinas Kesehatan, Jumlah Pemakai Jaminan Kesehatan Masyarakat (Jamkesmas) Tahun 2010.

Farrel, P.J., MacGibbon, B., & Tomberlin, T.J. 1997. Empirical Bayes small-area estimation using logistic regression models and summary statistics. Journal of Business & Economic Statistics, 15 (1), 101-108.

Farrel, P.J., MacGibbon, B., & Tomberlin, T.J. 1997. Bootstrap adjusments for empirical Bayes interval estimates of small-area proportions. The Canadian Journal of Statistics, 25 (1), 75-89

Fay, R.E., & Herriot, R.A. 1979. Estimates of income for small places: an application of James-Stein procedures to census data. Journal of the American Statistical Association, 74 (366), 269-277.

Gill, J. 2002. Bayesian Methods: a social and behavioral sciences approach. Boca Raton: Chapman & Hall.

Gosh, M., & Rao, J.N.K. 1994. Small area estimation: an appraisal. Statistical Science, 9 (1), 55-76.

Jiang, J., & Lahiri, P. 2001. Empirical best prediction for small area inference with binary data. Annals of the institute of Statistical Mathematics, 53 (2), 217-243.

Jiang, J., Lahiri, P., & Wan, S.M. 2002. A unified jacknife theory for empirical best prediction with M-estimation. The Annals of Statistics, 30 (6), 1782-1810 Kismiantini (Makalah). Penerapan Metode bayes Empirik Pada Pendugaan Area Kecil Untuk kasus Biner, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.

Larsen, M.D. 2003. Estimation of small-area proportions using covariates and survey data. Journal of Statistical Planning and inference, 112 (2003), 89-98.

Malec, D., sedransk, J., Moriarity, C.L., & LeClere, F.B. 1997. Small area inference for binary variables in the national health interview survey. Journal of the American Statistical Association, 92 (439), 815-826 McCulloch, C.E., & Searle, S.R.2001. Generalized linear and mixed models. New

York: Wiley.

Rao, J.N.K 1999. Some recent advances in model-based small area estimation. Survey Methodology, 25 (2), 175-186.

Rao, J.N.K. 2003. Small area estimation. New York: John Wiley and Sons.

Robert V. Hogg. 2003. Introduction To Ma thematical Statistics. Prentice Hall, Englewood Cliffs: New Jersey.