2.2 Metode Cramer
Sebelum diuraikan bagaimana metode cramer digunakan dalam meyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen, maka akan diuraikan terlebih dahulu faktor-faktor yang
mendukung metode cramer.
Teorema 4
Jika A invertible det A ≠ 0, maka det A
-1
A det
1
=
Bukti:
Dari sifat-sifat aljabar diketahui bahwa: 1 = det I = det A A
-1
= det A det A
-1
dimana hal ini ekivalen dengan: det A
-1
A det
1
=
Sebelum digunakan determinan untuk menghitung invers, akan didefinisikan tentang adjoint matriks A = a
ij
. Misalkan B = A
ij
=
nn n
n n
n n
n
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
B
3 2
1 3
33 32
31 2
23 22
21 1
13 12
11
matriks kofaktor dari A sehingga:
Definisi 8
Andaikan A matriks berorde n x n dan B matriks kofaktor. Adjoint A ditulis adj A adalah transpose matriks B berorde n x n yaitu:
= =
nn n
n n
n n
n t
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
B A
adj
3 2
1 3
33 23
13 2
32 22
12 1
31 21
11
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
Misalkan:
− =
7 5
3 1
1 3
4 2
A
Dari matriks di atas diperoleh: A
11
= 12, A
12
= 3, A
13
= -3, A
21
= -13, A
22
= 5, A
23
= 2, A
31
= -7, A
32
= 2, A
33
− −
− 2
2 7
2 5
13 3
3 12
= 2. maka:
B = dan Adj A = B
t
− −
− 2
2 3
2 5
3 7
13 12
=
Teorema 5
Andaikan A matriks berorde n x n. A invertible jika dan hanya jika det A ≠ 0. Jika det A
≠ 0 maka: A
-1
A adj
A det
1 =
Bukti:
Karena A ≠ 0, maka: A
A adj
A det
1
= .
det det
1 det
1 I
I A
A A
adj A
A =
= Sebab diketahui bahwa jika A B = I
maka B = A
-1
1
det 1
−
= A A
adj A
. Dengan demikian:
Pandang sistem persamaan linier non-homogen dengan n persamaan dan n peubah dibawah ini:
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
n n
nn n
n n
n n
n n
n n
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
3 3
2 2
1 1
3 3
3 33
2 32
1 31
2 2
3 23
2 22
1 21
1 1
3 13
2 12
1 11
2.9
Universitas Sumatera Utara
Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis dalam bentuk: Ax = b
2.11
dimana:
=
nn n
n n
n n
n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A
3 2
1 3
33 32
31 2
23 22
21 1
13 12
11
,
=
n
x x
x x
x
3 2
1
,
=
n
b b
b b
b
3 2
1
Jika det A ≠ 0 maka persamaan 2.11 mempunyai unique solution yang
ditentukan oleh: x = A
-1
=
nn n
n n
n n
n
a a
a b
a a
a b
a a
a b
a a
a b
A
3 2
3 33
32 3
2 23
22 2
1 13
12 1
1
b.
Misalkan D = det A. Didefinisikan matriks baru yaitu:
,
=
nn n
n n
n n
n
a a
b a
a a
b a
a a
b a
a a
b a
A
3 1
3 33
3 31
2 23
2 21
1 13
1 11
2
, . . .,
=
n n
n n
n
b a
a a
b a
a a
b a
a a
b a
a a
A
3 2
1 3
33 32
31 2
23 22
21 1
13 12
11
A
i
adalah matriks yang diperoleh dengan menempatkan pada kolom ke-i dari A dengan matriks kolom b. Misalkan D
1
= det A
1
, D
2
= det A
2
, . . ., D
n
= det A
n
.
Teorema 6 Cramer’s Rule
Andaikan A matriks berorde n x n dan det A ≠ 0. Penyelesaian tunggal unique
solution dari sistem persamaan Ax = b ditentukan oleh:
Universitas Sumatera Utara
D D
x D
D x
D D
x D
D x
n n
= =
= =
, .
. .
, ,
,
3 3
2 2
1 1
Bukti:
Penyelesaian dari Ax = b adalah x = A
-1
= =
−
n nn
n n
n n
n n
b b
b b
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
A A
D b
A adj
D b
A
3 2
1
3 2
1 3
33 23
13 2
32 22
12 1
31 21
11 1
1 1
b dimana:
Sehingga adj Ab adalah merupakan n-vektor yaitu:
nj n
j j
j n
nj j
j j
A b
A b
A b
A b
b b
b b
A A
A A
+ +
+ +
=
3 3
2 2
1 1
3 2
1 3
2 1
.
Pandang matriks A
j
=
nn n
n n
n n
n j
a b
a a
a b
a a
a b
a a
a b
a a
a
2 1
3 3
32 31
2 2
22 21
1 1
12 11
:
Bila ditentukan determinan dari A
j
1. D
pada kolom ke-j, diperoleh:
j
= b
1
kofaktor dari b
1
+ b
2
kofaktor dari b
2
+ b
3
kofaktor dari b
3
+ . . . + b
n
kofaktor dari b
n
2. Kofaktor dari b
.
j
diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari A
j
sebab b
i
berada pada kolom ke-j di A
j
. Tetapi kolom ke-j dari A
j
adalah b, sehingga diperoleh minor ij, M
ij
maka kofaktor dari b dari A.
i
pada A
j
= A
ij
D sehingga:
j
= b
1
A
1j
+ b
2
A
2j
+ b
3
A
3j
+ . . . +b
n
A
nj
. kolom ke-j
Universitas Sumatera Utara
Komponen ke-i dari adj Ab adalah D
i
=
= =
=
−
D D
D D
D D
D D
D D
D D
D b
A x
x x
x x
n n
n
1
3 2
1 3
2 1
1 3
2 1
dan diperoleh:
2.3 Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Kategori