Komponen ke-i dari adj Ab adalah D
i
=
= =
=
−
D D
D D
D D
D D
D D
D D
D b
A x
x x
x x
n n
n
1
3 2
1 3
2 1
1 3
2 1
dan diperoleh:
2.3 Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Pandang sistem persamaan linier non-homogen di bawah ini:
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
n n
nn n
n n
n n
n n
n n
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
3 3
2 2
1 1
3 3
3 33
2 32
1 31
2 2
3 23
2 22
1 21
1 1
3 13
2 12
1 11
2.9
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien matriks sebagai berikut:
=
n n
nn n
n n
n n
n
b b
b b
x x
x x
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
33 32
31 2
23 22
21 1
13 12
11
Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks yang diperbesar augmented matrix yang bentuknya seperti di bawah ini:
Universitas Sumatera Utara
n nn
n n
n n
n n
b a
a a
a b
a a
a a
b a
a a
a b
a a
a a
3 2
1 3
3 33
32 31
2 2
23 22
21 1
1 13
12 11
Untuk menentukan nilai-nilai x
1
, x
2
, x
3
, . . ., x
n
1. Gunakan a
, maka matriks yang diperbesar augmented matrix di atas harus diubah kedalam bentuk echelon dengan proses
pengerjaan sebagai berikut:
11
sebagai pivot pertama untuk mengeliminasi elemen-elemen a
21
, a
31
, a
41
, . . ., a
n1
Proses sebagai berikut: menjadi 0 nol.
a. M
21
-a
21
a
11
: kalikan baris pertama dengan -a
21
a
11
b. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris kedua.
31
-a
31
a
11
: kalikan baris pertama dengan -a
31
a
11
c. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga.
41
-a
41
a
11
: kalikan baris pertama dengan -a
41
a
11
d. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris keempat. Hal ini dilakukan hingga elemen ke-n.
n1
-a
n1
a
11
: kalikan baris pertama dengan -a
n1
a
11
maka diperoleh matriks di bawah ini: dan hasilnya
dijumlahkan dengan baris ke-n.
n nn
n n
n n
n
b a
a a
b a
a a
b a
a a
b a
a a
a
3 2
3 3
33 32
2 2
23 22
1 1
13 12
11
2. a
22
digunakan sebagai elemen pivot untuk mengeliminasi elemen-elemen a
12
, a
32
, a
42
, . . ., a
n2
a. M
menjadi 0 nol, dengan operasi:
12
-a
12
a
22
: kalikan baris kedua dengan -a
12
a
22
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris pertama.
Universitas Sumatera Utara
b. M
32
-a
32
a
22
: kalikan baris kedua dengan -a
32
a
22
c. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga.
42
-a
42
a
22
: kalikan baris kedua dengan -a
42
a
22
d. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris keempat.
n2
-a
n2
a
22
: kalikan baris kedua dengan -a
n2
a
22
maka diperoleh matriks di bawah ini : dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris ke-n.
n nn
n n
n n
b a
a b
a a
b a
a a
b a
a a
3 3
3 33
2 2
23 22
1 1
13 11
3. a
33
digunakan sebagai elemen pivot untuk mengeliminasi elemen-elemen a
13
, a
23
, a
43
, . . ., a
n3
a. M
menjadi 0 nol dengan operasi;
13
-a
13
a
33
: kalikan baris ketiga dengan -a
13
a
33
b. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris pertama.
23
-a
23
a
33
: kalikan baris ketiga dengan -a
23
a
33
c. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga.
43
-a
43
a
33
: kalikan baris ketiga dengan -a
43
a
33
d. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris keempat.
n3
-a
n3
a
33
: kalikan baris ketiga dengan -a
n3
a
33
maka diperoleh matriks di bawah ini: dan hasilnya dijumlahkan
dengan baris ke-n.
n nn
n n
n
b a
b a
a b
a a
b a
a
3 3
33 2
2 22
1 1
11
Operasi di atas terus dilakukan hingga a
nn
sebagai elemen pivot ke-n, untuk mengeliminasi a
1n
, a
2n
, a
3n
, . . ., a
n-1n
menjadi 0 nol dengan operasi:
Universitas Sumatera Utara
a. M
1n
-a
1n
a
nn
: kalikan baris ke-n dengan -a
1n
a
nn
b. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris pertama.
2n
-a
2n
a
nn
: kalikan baris ke-n dengan -a
2n
a
nn
c. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris kedua.
3n
-a
3n
a
nn
: kalikan baris ke-n dengan -a
3n
a
nn
d. M
dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga.
n-1n
-a
n-1n
a
nn
: kalikan baris ke-n dengan -a
n-1n
a
nn
sehingga diperoleh bentuk matriks di bawah ini: dan hasilnya
dijumlahkan dengan baris ke-n – 1.
− −
− −
− −
− −
−
1 1
1 3
1 3
1 33
1 2
1 22
1 1
1 11
n n
n nn
n n
n n
n n
n n
b a
b a
a b
a b
a
dari matriks di atas ini nilai-nilai x
1
, x
2
, x
3
, . . ., x
n 1
11 1
1 1
− −
=
n n
a b
x dinyatakan dengan:
,
1 22
1 2
2 −
−
=
n n
a b
x ,
1 33
1 3
3 −
−
=
n n
a b
x
,
1 44
1 4
4 −
−
=
n n
a b
x , . . .,
1 1
− −
=
n nn
n n
n
a b
x
.
2.4 Bahasa C
