Contoh:
=
− −
= +
− =
− +
3 5
2 2
3 3
2
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x x
x x
x x
x x
x
2.8
Bila sistem persamaan linier disajikan secara serentak dimana jumlah peubah sama dengan jumlah persamaan, maka bentuk umumnya adalah:
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
n n
nn n
n n
n n
n n
n n
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
3 3
2 2
1 1
3 3
3 33
2 32
1 31
2 2
3 23
2 22
1 21
1 1
3 13
2 12
1 11
2.9
dimana: a
ij
sebagai koefisien dan b
i
konstanta dari sistem persamaan linier dengan peubah x
j
∑
=
= =
n j
i j
ij
n i
b x
a
1
. .,
. .
, 3
, 2
, 1
, , i = j = 1, 2, 3, . . ., n. Dalam bentuk lain sistem persamaan linier ini dapat
disajikan sebagai berikut:
2.1.2 Matriks
Penggunaan operasi matriks memberikan proses yang teratur dan logis yang dapat diterima untuk penyelesaian komputer dalam sistem persamaan-persamaan simultan.
Pandang sistem persamaan linier dengan tiga persamaan, tiga peubah sebagai berikut:
=
− −
= +
− =
− +
3 3
5 1
2 2
2 4
3
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x x
x x
x x
x x
x
2.9
Universitas Sumatera Utara
Jika koefisien sistem persamaan linier tersebut ditulis dalam bentuk array empat persegi panjang rectangular array, maka diperoleh:
− −
− −
1 3
5 2
2 2
3 1
1
yang menggambarkan tentang informasi sebelah kiri ketiga persamaan tersebut. Suatu array empat persegi panjang yang diurutkan disebut matriks. Secara umum perhatikan
matriks m buah persamaan linier dengan n peubah di bawah ini:
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
m n
mn m
m m
n n
n n
n n
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
3 3
2 2
1 1
3 3
3 33
2 32
1 31
2 2
3 23
2 22
1 21
1 1
3 13
2 12
1 11
2.7
Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis dalam bentuk array empat persegi panjang dan dinamakan matriks A yaitu:
=
mn m
m m
n n
n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A
3 2
1 3
33 32
31 2
23 22
21 1
13 12
11
Susunan array yang berbentuk persegi panjang yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks m x n atau matriks berorde m x n. Komponen ke-ij matriks A
dinotasikan dengan a
ij
, yang merupakan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Dalam bentuk lain, matriks A dapat ditulis A = a
ij
.
Bila A adalah matriks m x n dimana m = n, maka matriks A disebut matriks bujur sangkar square matriks.
Universitas Sumatera Utara
Definisi 1
Andaikan A = a
ij
matriks berorde m x n. Transpose dari A ditulis A
t
, adalah matriks berorde n x m yang diperoleh dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A. Jelasnya
dapat ditulis: A
t
= a
ij
=
mn m
m m
n n
n
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A Jika
3 2
1 3
33 32
31 2
23 22
21 1
13 12
11
. Dalam bentuk lain:
=
mn n
n n
m m
m t
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
A maka
3 2
1 3
33 23
13 2
32 22
12 1
31 21
11
Jelasnya, letak baris ke-i dari A adalah kolom ke-i pada A
t
dan kolom ke-j dari A adalah baris ke-j pada A
t
.
Definisi 2
Matriks bujursangkar A beorde n x n disebut simetrik jika A
t
= A. Suatu matriks bujursangkar disebut upper triangular bila semua komponen di bawah diagonal nol
dalam bentuk lain ditulis: A = a
ij
upper triangular jika a
ij
= 0, i j. Suatu matriks bujursangkar disebut lower triangular bila semua elemen di atas diagonal nol dalam
bentuk lain ditulis: A = a
ij
jika a
ij
= 0, i j. A = a
ij
matriks diagonal jika a
ij
= 0, i ≠
j.
Definisi 3
Andaikan A = a
ij
dan B = b
ij
+ +
+ +
+ +
+ +
+ =
+ =
+
mn mn
m m
m m
n n
n n
ij ij
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
b a
B A
2 2
1 1
2 2
22 22
21 21
1 1
12 12
11 11
adalah matriks berorde m x n. Jumlah A dan B adalah matriks A + B dengan orde m x n yang dinyatakan dengan:
Universitas Sumatera Utara
Definisi 4
Jika A = a
ij
= =
mn m
m n
n ij
a a
a a
a a
a a
a a
A
α α
α α
α α
α α
α α
α
2 1
2 22
21 1
12 11
matriks berorde m x n dan jika α adalah saklar, maka matriks αA berorde
m x n yang dinyatakan dengan:
Definisi 5
Andaikan A = a
ij
matriks berorde m x n dengan elemen baris ke-i dinotasikan dengan a
i
. Andaikan B = b
ij
matriks berorde n x p dimana elemen kolom ke-j dinotasikan dengan b
j
. Maka product perkalian A dan B adalah matriks C = c
ij
dengan orde m x p dimana c
ij
= a
i
b
j
. Elemen ke-ij dan AB adalah perkalian saklar baris ke-i dari Aa
i
dan kolom ke-j dari Bb
j
nj in
j i
j i
ij
b a
b a
b a
C +
+ +
= .
. .
2 2
1 1
. Hal ini dinyatakan dengan:
Contoh:
Jika A = [a
ij
] koefisien matriks berorde m x n dan x = x
1
, x
2
, x
3
, . . ., x
n
=
n mn
m m
m n
n n
x x
x x
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
Ax
3 2
1
3 2
1 3
33 32
31 2
23 22
21 1
13 12
11
adalah matriks kolom berorde n x 1, sehingga product matriks Ax adalah matriks berorde m x 1
yaitu:
+ +
+ +
+ +
+ +
=
n mn
m m
n n
n n
n n
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
Ax
2 2
1 1
3 2
32 1
31 2
2 22
1 21
1 2
12 1
11
Universitas Sumatera Utara
Bila sistem persamaan di atas disamakan dengan b yang merupakan vektor kolom, maka Ax = b yang dinyatakan dengan:
=
+ +
+ +
+ +
+ +
m n
mn m
m n
n n
n n
n
b b
b b
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
3 2
1
2 2
1 1
3 2
32 1
31 2
2 22
1 21
1 2
12 1
11
Definisi 6
Identitas matriks bujursangkar berorde n x n adalah matriks berorde n x n dimana semua elemen diagonal adalah 1 satu dan elemen yang lain 0 nol dan dapat
dinotasikan dengan: I
n
= b
ij
≠
= =
j i
jika j
i jika
b
ij
1 dimana
; i = j = 1, 2, 3, . . ., n 2.10
Teorema 1
Andaikan A matriks bujursangkar berukuran n x n, maka: A I
n
= I
n
A = A
Catatan: Fungsi I
n
pada matriks n x n sama dengan fungsi bilangan 1 satu dalam bilangan riel sebab: 1 . a = a . 1 = a,
∀ a ε R.
Bukti:
Andaikan c
ij
elemen ke-ij dari A I
n
, maka dapat ditulis: c
ij
= a
i1
b
i1
+ a
i2
b
i2
+ . . . + a
ij
b
ij
+ . . . + a
in
b dari persamaan 2.10 jumlah c
in ij
= a
ij
, sehingga A I
n
= A. Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan A I
n
Misalkan A dan B matriks berukuran n x n. Andaikan bahwa: A B = B A = I. B disebut invers dari mariks A dinotasikan dengan A
A = A. Jelas terbukti.
Notasi: Untuk lebih singkatnya identitas ditulis I.
Definisi 7
-1
, untuk lebih jelasnya ditulis: AA
-1
= A
-1
A =
Universitas Sumatera Utara
I. Jika matriks A mempunyai invers maka matriks A disebut invertible. Dari definisi di atas diperoleh bahwa A
-1 -1
Andaikan B dan C invers dari matriks A. Akan diperlihatkan B = C. Dari definisi diketahui bahwa AB = BA = I dan AC = CA = I. Maka BAC = BI = B dan BAC = IC
= C. BAC = BAC sebab berlaku hukum assosiatif dalam perkalian matriks. Dengan demikian B = C, sehingga pernyataan diatas terbukti.
Teorema 3
Andaikan A dan B matriks berorde n x n yang invertible. Maka AB invertible dan AB = A bila A invertible.
Teorema 2
Bila matriks A invertible, maka inversnya unique tunggal
Bukti:
-1
= B
-1
A
-1
.
Bukti:
Untuk membuktikannya, akan diarahkan ke definisi 7. B
-1
A
-1
= AB
-1
jika dan hanya jika B
-1
A
-1
AB = ABB
-1
A
-1
= I. B
-1
A
-1
AB = B
-1
A
-1
AB = B
-1
IB = B
-1
ABB B = I dan
-1
A
-1
= A BB
-1
A
-1
= AIA
-1
= AA
-1
= I
Pandang sistem persamaan 2.9 dengan n persamaan dan n peubah, dapat dinyatakan dengan: AX = b dan andaikan A invertible. Maka persamaan dapat ditulis
dalam bentuk: A
-1
AX = A
-1
b kedua ruas persamaan dikali dengan A
-1
IX = A
-1
b ; A
-1
A = I X = A
-1
Sehingga dapat disimpulkan, bila A invertible, sistem pesamaan AX = b mempunyai unique solution: X = A
b ; IX = X
-1
b
Universitas Sumatera Utara
2.2 Metode Cramer
