BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
2.1.1 Sistem Persamaan Linier
Salah satu masalah yang selalu dihadapi dalam mempelajari atau memecahkan problem dalam bidang matematika adalah menyelesaikan sistem persamaan linier. Bentuk
umum persamaan linier adalah:
a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ a
3
x
3
+ . . . + a
n
x
n
= b 2.1
dimana b merupakan faktor yang menghubungkan peubah-peubah x
1
, x
2
, x
3
, . . ., x
n
dan a
1
, a
2
, a
3
, . . ., a
n
1. Salah satu koefisien a
merupakan koefisien peubah dari persamaan 2.1. Kejadian yang mungkin terjadi dari persamaan 2.1 adalah sebagai berikut:
i
≠ 0 i = 1, 2, 3, . . ., n misalnya a
i
≠ 0, sehingga persamaan dapat ditulis dengan: x
1
= a
1 -1
b – a
1 -1
a
2
x
2
– a
1 -1
a
3
x
3
– a
1 -1
a
4
x
4
– . . . – a
1 -1
a
n
x
n
. Dengan memberikan harga-harga sembarang untuk x
2
, x
3
, x
4
, . . ., x
n
, maka harga x
i
dapat diketahui yang merupakan penyelesaian dari persamaan itu. Kejadian khusus dari persamaan ini adalah: ax = b, a
≠ 0 dengan penyelesaian: x = a
-1
2. Semua koefisien a
b unique solution.
i
3. Semua koefisien a
= 0 i = 1, 2, 3, . . ., n sedangkan koefisien b ≠ 0. Dengan
demikian persamaan 2.1 menjadi: 0 = b, b ≠ 0. Dalam hal ini persamaan tidak
mempunyai penyelesaian no solution.
i
= 0 i = 1, 2, 3, . . ., n dan b = 0. Dengan demikian persamaan mula-mula menjadi 0 = 0. Artinya n buah bilangan di dalam R merupakan
penyelesaian dari sistem persamaan infinite number of solution.
Universitas Sumatera Utara
Contoh di bawah ini menunjukkan bahwa sistem persamaan linier dapat mempunyai unique solution, no solution, infinite number of solution. Pandang sistem
persamaan linier dengan dua persamaan dengan dua peubah di bawah ini:
=
+ =
+
2 2
22 1
21 1
2 12
1 11
b x
a x
a b
x a
x a
2.2
x
2
x
1
Gambar 2.1 Garis berpotongan pada sebuah titik persekutuan
x
2
x
Gambar 2.2 Garis sejajar; tidak ada titik persekutuan
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
a
11
x
1
+ a
12
x
2
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
a
11
x
1
+ a
12
x
2
= b
1
no solution unique solution
Universitas Sumatera Utara
x
2
x
Gambar 2.3 Garis berimpit; tidak dapat ditentukan banyaknya jumlah titik persekutuan
Sistem persamaan 2.2 diselesaikan dengan mengalikan persamaan pertama dengan a
1
22
dan persamaan kedua dengan a
12
=
+ =
+
2 12
2 22
12 1
21 12
1 22
2 22
12 1
22 11
b a
x a
a x
a a
b a
x a
a x
a a
, sehingga diperoleh: 2.3
Bila persamaan pertama dikurang persamaan kedua, maka diperoleh:
−
= −
− =
−
2 12
1 22
1 21
12 22
11 2
12 1
22 1
21 12
1 22
11
b a
b a
x a
a a
a b
a b
a x
a a
x a
a
2.4
Jika a
11
a
22
– a
12
a
21
≠ 0, maka harga x
1 21
12 22
11 2
12 1
22 1
a a
a a
b a
b a
x −
− =
dapat ditentukan yaitu: 2.5
Dengan diperolehnya nilai x
1
dapat ditentukan nilai x
2
dari persamaan 2.2 yang merupakan unique solution. Determinan persamaan 2.2 didefinisikan dengan:
a
11
a
22
– a
12
a
21
1. Mempunyai unique solution jika dan hanya jika determinan ≠ 0.
2.6
Dari hasil ini dapat ditentukan solusi persamaan 2.2 sebagai berikut:
2. Tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai banyak penyelesaian jika dan
hanya jika determinan = 0.
a
21
x
1
+ a
22
x
2
= b
2
a
11
x
1
+ a
12
x
2
= b
1
infinite number of solution
Universitas Sumatera Utara
Suatu sistem persamaan linier m x n adalah kumpulan dari m buah sistem persamaan dengan n peubah yang disajikan secara serentak. Secara umum sistem
persamaan linier tersebut berbentuk:
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
m n
mn m
m m
n n
n n
n n
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
3 3
2 2
1 1
3 3
3 33
2 32
1 31
2 2
3 23
2 22
1 21
1 1
3 13
2 12
1 11
2.7
dimana: a
11
, a
12
, a
13
, . . ., a
ij
, . . ., a
mn
merupakan konstanta dari sistem persamaan, sedangkan x
1
, x
2
, x
3
, . . ., x
n
merupakan peubah dan b
1
, b
2
, b
3
, . . ., b
m
=
− −
= +
− =
− +
16 3
5 5
2 2
3 5
3 2
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x x
x x
x x
x x
x
merupakan nilai masing-masing sistem persamaan dengan i = 1, 2, 3, . . ., m dan j = 1, 2, 3, . . ., n.
Contoh:
2.7
Jika semua konstanta b
i
= 0, i = 1, 2, 3, . . ., m, maka sistem persamaan disebut sistem persamaan linier homogen. Andaikan x
i
= k
i
, i = 1, 2, 3, . . ., n memenuhi sistem persamaan 2.7, maka himpunan harga x
i
= k
i
, ditulis dengan x = x
1
, x
2
, x
3
, . . ., x
n
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
3 3
2 2
1 1
3 3
33 2
32 1
31 2
3 23
2 22
1 21
1 3
13 2
12 1
11
n mn
m m
m n
n n
n n
n
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x a
disebut penyelesaian partikulir dari sistem persamaan itu. Himpunan dari semua penyelesaian disebut dengan penyelesaian umum.
Suatu sistem persamaan linier homogen dengan orde m x n, bentuk umumnya dapat ditulis sebagai berikut:
2.8
dimana: a
ij
merupakan konstanta dengan 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n sedangkan x
i
sebagai peubah 1
≤ i ≤ n.
Universitas Sumatera Utara
Contoh:
=
− −
= +
− =
− +
3 5
2 2
3 3
2
3 2
1 3
2 1
3 2
1
x x
x x
x x
x x
x
2.8
Bila sistem persamaan linier disajikan secara serentak dimana jumlah peubah sama dengan jumlah persamaan, maka bentuk umumnya adalah:
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
= +
+ +
+ =
+ +
+ +
n n
nn n
n n
n n
n n
n n
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
b x
a x
a x
a x
a b
x a
x a
x a
x a
3 3
2 2
1 1
3 3
3 33
2 32
1 31
2 2
3 23
2 22
1 21
1 1
3 13
2 12
1 11
2.9
dimana: a
ij
sebagai koefisien dan b
i
konstanta dari sistem persamaan linier dengan peubah x
j
∑
=
= =
n j
i j
ij
n i
b x
a
1
. .,
. .
, 3
, 2
, 1
, , i = j = 1, 2, 3, . . ., n. Dalam bentuk lain sistem persamaan linier ini dapat
disajikan sebagai berikut:
2.1.2 Matriks
Kategori