II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang mendukung karya ilmiah ini. Teori-teori
tersebut meliputi masalah nilai awal, konsep dasar deret Taylor, penurunan persamaan
osilasi bebasdan konsep metode homotopi. 2.1
Masalah Nilai Awal
Penyelesaian dari persamaan diferensial adalah
suatu fungsi
yang tidak
lagi mengandung turunan-turunan yang memenuhi
persamaan diferensial
tersebut. Dalam
penyelesaian persamaan diferensial terdapat penyelesaian umum dan penyelesaian khusus.
Untuk memperoleh penyelesaian khusus dibutuhkan suatu syarat awal atau syarat
batas. Masalah nilai awal adalah suatu masalah untuk menyelesaikan persamaan
diferensial dengan diberikannya suatu nilai awal. Bentuk umum dari suatu masalah nilai
awal dinyatakan oleh
dengan syarat awal:
Hasil yang diperoleh dari masalah nilai awal berupa penyelesaian khusus dimana
tidak terdapat lagi konstanta atau variabel hasil
pengintegralan dari
persamaan diferensial.
Selanjutnya masalah nilai batas adalah suatu
masalah untuk
menyelesaikan persamaan diferensial dengan diberikannya
suatu syarat batas pada selang tertentu. Misalkan
diberikan suatu
persamaan diferensial kemudian akan ditentukan suatu
penyelesaian pada daerah dalam selang dengan dan ,
maka dan merupakan syarat batas.
Stanley 1994
2.2 Konsep Deret Taylor
Deret Taylor adalah bentuk khusus dari suatu fungsi yang dapat digunakan sebagai
pendekatan dari integral suatu fungsi yang tidak memiliki antiturunan elementer dan
dapat digunakan
untuk menyelesaikan
persamaan diferensial. Misalkan
fungsi sebarang yang dapat dinyatakan sebagai suatu deret pangkat
sebagai berikut
2.1 dengan
menyatakan koefisien deret pangkat dan
menyatakan titik pusatnya.
Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk
deret berikut
n n
n
f a
x a
n
2.2 maka deret 2.2 disebut deret Taylor dari
fungsi yang berpusat di .
Kreyszig 1998 2.3
Persamaan Osilasi Bebas Tak Linear
Persamaan osilasi biasanya digunakan pada masalah getaran sebuah pegas yang
diregangkanHalliday 1987.
Tinjau pegas yang terdapat pada Gambar 1. Mula-mula pegas dalam keadaan diam lalu
diregangkan sepanjang
sehingga menyebabkan gaya
pada pegas meningkat. Hal ini memperlihatkan bahwa
adalah gaya yang sebanding dengan regangan sebesar
, yaitu
adalah konstanta pegas. Tanda negatif mengidentifikasi
bahwa regangan
yang diberikan berlawanan dengan gaya yang
dihasilkan. Saat pegas dalam keadaan setimbang
terjadi simpangan sebesar yang diukur
Gambar 1 Perubahan getaran pada pegas.
dari keseimbangan. Jika posisi awal lalu diregangkan sehingga
, maka menurut hukum Hooke, gaya yang bekerja
pada pegas diberikan oleh 2.3
Kemudian menurut hukum Newton kedua, gaya yang yang bekerja pada pegas berbentuk
2.4 dengan
adalah gaya, massa, dan merupakan percepatan getaran yang dapat
dituliskan sebagai , maka persamaan 2.4
menjadi 2.5
Dengan menggunakan persamaan 2.3 dan 2.5, maka didapat persamaan untuk model
getaran pegas dalam bentuk linear berikut
2.6 Misalkan terdapat sebarang gaya luar yang
bekerja pada pegas dan bentuknya taklinear kuadratik, misalnya
[ ] dengan
adalah konstanta. Persamaan 2.6 menjadi
2.7 Bentuk umum dari persamaan 2.7 dapat
dituliskan sebagai berikut
[ ]. 2.8
Secara fisis, getaran bebas merupakan suatu gerak yang periodik. Misalkan
dan masing-masing
adalah frekuensi
dan amplitudo getaran, maka didefinisikan titik
keseimbangan getaran sebagai berikut ∫
dengan periode getaran yang dinyatakan
oleh Misalkan
dan , dengan
bernilai tak nol.
2.4 Metode Homotopi
