I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Model matematika dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena yang terjadi di
alam. Umumnya model matematika tersebut berupa masalah yang melibatkan persamaan
diferensial taklinear.
Masalah taklinear merupakan masalah yang memuat bentuk taklinear dan biasanya
digunakan dalam beberapa bidang ilmu seperti fisika, teknik, dan sebagainya. Contoh dalam
bidang fisikaadalah masalah getaran atau osilasi. Getaran banyak terjadi pada beberapa
aspek kehidupan manusia. Salah satunya pada tubuh manusia yaitu osilasi frekuensi rendah
pada jantung dan osilasi frekuensi tinggi pada telinga. Selain itu, getaran atau osilasi juga
terjadi pada mesin seperti mesin cuci, kipas angin, dan sebagainya. Penelitian tentang
getaran dilakukan oleh Galileo Galilei yang berhasil menunjukkan adanya hubungan
antara frekuensi, amplitudo, dan periode getaran Balachandran danMagrab 2009.
Getaran atau osilasi merupakan gerak suatu partikel yang bergerak bolak-balik
melalui lintasan yang sama dalam suatu periode waktu. Terdapat dua jenis getaran,
yaitu getaran bebas dan getaran paksa. Getaran paksa merupakan getaran yang terjadi
karena rangsangan gaya luar secara terus menerus. Jika rangsangan tersebut berosilasi,
maka sistem dipaksa untuk bergetar pada frekuensi rangsangan. Contoh getaran paksa
adalah getaran gedung pada saat gempa bumi, sedangkan getaran bebas terjadi jika sistem
dibiarkan bergetar secara bebas setelah diberi gangguan atau gaya dari luar sistem.Jika gaya
yang diberikan dalam bentuk linear, maka model matematika dari getaran bebas tersebut
berbentuk linear, sedangkan apabila gaya yang yang diberikan berbentuk taklinear,
maka model matematika dari getaran bebas tersebut berbentuk taklinear. Contoh getaran
bebas adalah memukul garpu tala dan membiarkannya bergetar.
Penyelesaian masalah taklinear biasanya sulit dilakukan.Terdapat beberapa metode
pendekatan yang bersifat analitik untuk menyelesaikan masalah taklinear, diantaranya
adalah metode perturbasi. Metode perturbasi digunakan untuk masalah taklinear yang
mengandung parameter ketaklinearan yang kecil. Karena tidak semua masalah taklinear
memuat parameter ketaklinearan yang kecil, maka dikembangkan metodenon-perturbasi
seperti metode dekomposisi Adomian. Metode dekomposisi Adomian adalah penyelesaian
masalah taklinear yang dinyatakan dalam suatu deret pangkat dan hanya terdefinisi pada
daerah kekonvergenannya Adomian 1988. Namun metode perturbasi dan non-perturbasi
tersebut
tidak dapat
menentukan cara
sederhana untuk mengontrol kekonvergenan dari pendekatan daerah penyelesaiannya
Jianmin dan Zhengcai 2008 . Tahun 1992,
Liao menggunakan ide-ide dasar homotopi dari topologi untuk mengusulkan suatu
metode untuk
menyelesaikan masalah
taklinear secara umum yang dinamakan metode
homotopi. Terdapat
beberapa keunggulan dari metode ini yaitu tetap valid
walaupun masalah taklinear tersebut memiliki sembarang parameter Liao 2004.
Karya ilmiah ini akan membahas penyelesaian masalah getaran bebas dengan
ketaklinearan berupa
fungsi kuadrat
menggunakan metode homotopi dimana faktor taklinear tidak perlu diperlemah
sehingga metode homotopi dapat digunakan.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah :
a. Mengkonstruksi suatu rumus rekursif
berdasarkan fungsi
homotopi yang
melibatkan suatu fungsi bantu untuk menyelesaikan masalah getaran taklinear
b. Menentukan parameter bantu yang tepat
agar penyelesaian
segera mencapai
kekonvergenan. c.
Menggambarkan frekuensi dan simpangan dari getaran dengan ketaklinearan berupa
fungsi kuadrat.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakanpendahuluan yang
berisi latar belakang, tujuan, dan sistematika penulisan karya ilmiah. Bab kedua merupakan
landasan teori yang berisi beberapa istilah dan konsep
dari metode
homotopi untuk
menyelesaikan persamaan getaran bebas taklinear yang digunakan dalam pembahasan.
Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi analisis
metode homotopi
yang akan
digunakan untuk menyelesaikan persamaan getaran bebas taklinear dan aplikasi berupa
hasil numerik disajikan untuk memperlihatkan validitas dari metode homotopi. Bab keempat
berisi kesimpulan dari karya ilmiah ini.
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang mendukung karya ilmiah ini. Teori-teori
tersebut meliputi masalah nilai awal, konsep dasar deret Taylor, penurunan persamaan
osilasi bebasdan konsep metode homotopi. 2.1
Masalah Nilai Awal
Penyelesaian dari persamaan diferensial adalah
suatu fungsi
yang tidak
lagi mengandung turunan-turunan yang memenuhi
persamaan diferensial
tersebut. Dalam
penyelesaian persamaan diferensial terdapat penyelesaian umum dan penyelesaian khusus.
Untuk memperoleh penyelesaian khusus dibutuhkan suatu syarat awal atau syarat
batas. Masalah nilai awal adalah suatu masalah untuk menyelesaikan persamaan
diferensial dengan diberikannya suatu nilai awal. Bentuk umum dari suatu masalah nilai
awal dinyatakan oleh
dengan syarat awal:
Hasil yang diperoleh dari masalah nilai awal berupa penyelesaian khusus dimana
tidak terdapat lagi konstanta atau variabel hasil
pengintegralan dari
persamaan diferensial.
Selanjutnya masalah nilai batas adalah suatu
masalah untuk
menyelesaikan persamaan diferensial dengan diberikannya
suatu syarat batas pada selang tertentu. Misalkan
diberikan suatu
persamaan diferensial kemudian akan ditentukan suatu
penyelesaian pada daerah dalam selang dengan dan ,
maka dan merupakan syarat batas.
Stanley 1994
2.2 Konsep Deret Taylor
Kategori