I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Model matematika dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena yang terjadi di
alam. Umumnya model matematika tersebut berupa masalah yang melibatkan persamaan
diferensial taklinear.
Masalah taklinear merupakan masalah yang memuat bentuk taklinear dan biasanya
digunakan dalam beberapa bidang ilmu seperti fisika, teknik, dan sebagainya. Contoh dalam
bidang fisikaadalah masalah getaran atau osilasi. Getaran banyak terjadi pada beberapa
aspek kehidupan manusia. Salah satunya pada tubuh manusia yaitu osilasi frekuensi rendah
pada jantung dan osilasi frekuensi tinggi pada telinga. Selain itu, getaran atau osilasi juga
terjadi pada mesin seperti mesin cuci, kipas angin, dan sebagainya. Penelitian tentang
getaran dilakukan oleh Galileo Galilei yang berhasil menunjukkan adanya hubungan
antara frekuensi, amplitudo, dan periode getaran Balachandran danMagrab 2009.
Getaran atau osilasi merupakan gerak suatu partikel yang bergerak bolak-balik
melalui lintasan yang sama dalam suatu periode waktu. Terdapat dua jenis getaran,
yaitu getaran bebas dan getaran paksa. Getaran paksa merupakan getaran yang terjadi
karena rangsangan gaya luar secara terus menerus. Jika rangsangan tersebut berosilasi,
maka sistem dipaksa untuk bergetar pada frekuensi rangsangan. Contoh getaran paksa
adalah getaran gedung pada saat gempa bumi, sedangkan getaran bebas terjadi jika sistem
dibiarkan bergetar secara bebas setelah diberi gangguan atau gaya dari luar sistem.Jika gaya
yang diberikan dalam bentuk linear, maka model matematika dari getaran bebas tersebut
berbentuk linear, sedangkan apabila gaya yang yang diberikan berbentuk taklinear,
maka model matematika dari getaran bebas tersebut berbentuk taklinear. Contoh getaran
bebas adalah memukul garpu tala dan membiarkannya bergetar.
Penyelesaian masalah taklinear biasanya sulit dilakukan.Terdapat beberapa metode
pendekatan yang bersifat analitik untuk menyelesaikan masalah taklinear, diantaranya
adalah metode perturbasi. Metode perturbasi digunakan untuk masalah taklinear yang
mengandung parameter ketaklinearan yang kecil. Karena tidak semua masalah taklinear
memuat parameter ketaklinearan yang kecil, maka dikembangkan metodenon-perturbasi
seperti metode dekomposisi Adomian. Metode dekomposisi Adomian adalah penyelesaian
masalah taklinear yang dinyatakan dalam suatu deret pangkat dan hanya terdefinisi pada
daerah kekonvergenannya Adomian 1988. Namun metode perturbasi dan non-perturbasi
tersebut
tidak dapat
menentukan cara
sederhana untuk mengontrol kekonvergenan dari pendekatan daerah penyelesaiannya
Jianmin dan Zhengcai 2008 . Tahun 1992,
Liao menggunakan ide-ide dasar homotopi dari topologi untuk mengusulkan suatu
metode untuk
menyelesaikan masalah
taklinear secara umum yang dinamakan metode
homotopi. Terdapat
beberapa keunggulan dari metode ini yaitu tetap valid
walaupun masalah taklinear tersebut memiliki sembarang parameter Liao 2004.
Karya ilmiah ini akan membahas penyelesaian masalah getaran bebas dengan
ketaklinearan berupa
fungsi kuadrat
menggunakan metode homotopi dimana faktor taklinear tidak perlu diperlemah
sehingga metode homotopi dapat digunakan.
1.2 Tujuan
Kategori