I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Perikanan merupakan salah satu sumber daya alam yang dapat diperbaharui, tetapi
kepunahan mungkin dapat terjadi. Hal ini disebabkan
karena kecanggihan
alat penangkapan
ikan dan
peningkatan penangkapan ikan yang dilakukan manusia.
Untuk menghindari kepunahan, ada beberapa strategi pemanenan yang dapat dilakukan.
Pemanenan merupakan
salah satu
kegiatan yang dipilih masyarakat untuk memanfaatkan sumber daya perikanan. Di
dalam melakukan pemanenan diperlukan berbagai sarana sebagai input yang biasa
disebut sebagai usaha pemanenan.
Hal yang
sangat penting
dalam manajemen perikanan adalah diperolehnya
keuntungan maksimum
yang dapat
berkelanjutan. Hal penting lainnya adalah usaha pemanenan tanpa menggerakkan sistem
lingkungannya menuju kepunahan Brauer Soudack, 1981.
Strategi pemanenan
yang dapat
diterapkan dalam manajemen perikanan, diantaranya pemanenan yang dilakukan secara
konstan, proporsional,
threshold proporsional, dan musiman.
Model persamaan
diferensial dapat
digunakan untuk memperoleh berbagai model pemanenan. Dengan melakukan analisis
terhadap model pemanenan tersebut dapat dilihat dinamika populasi dan pengaruh
peubah kontrol usaha pemanenan terhadap nilai kestabilan dan dinamika populasinya.
Karya ilmiah
ini menjelaskan
pemanenan-pemanenan yang dapat diterapkan dalam manajemen perikanan dan pengaruh
dari usaha pemanenan terhadap dinamika populasinya. Sebagai contoh penerapannya
dibahas pula pemanenan optimal yang memberikan keuntungan maksimum dan
berkelanjutan
sustainable. Pembahasan
pemanenan optimal hanya dibatasi untuk pemanenan yang dilakukan secara konstan
dan proporsional.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini
meliputi: 1. memodelkan dinamika populasi ikan dan
analisis kestabilannya; 2. menganalisis pengaruh peubah kontrol
terhadap nilai kestabilan dan dinamika populasinya;
3. menganalisis model kebijakan pemanenan optimal yang memberikan keuntungan
maksimum dan berkelanjutan.
II LANDASAN TEORI
2.1 Persamaan Diferensial Biasa PDB
Persamaan diferensial biasa merupakan suatu persamaan yang melibatkan turunan
pertama atau lebih dari fungsi sebarang peubah tak bebas
terhadap peubah bebas
.
Suatu persamaan diferensial biasa orde I dapat dinyatakan sebagai berikut
. g x x t
f t
dengan g x
adalah fungsi dalam x dan x merupakan peubah tak bebas
x x t
dan
f t adalah fungsi dalam t , dengan t
peubah bebas. Farlow, 1994
2.2 Persamaan Diferensial Terpisahkan
Persamaan diferensial PD terpisahkan adalah persamaan yang dapat ditulis sebagai
.
, atau , .
dx F x t
x F x t
dt
dengan ,
F x t merupakan persamaan yang
ditulis sebagai ,
F x t f x g t
,
f x merupakan fungsi dari
x dan
g t merupakan
fungsi dari
t .
Kemudian persamaan tersebut dapat terpisahkan menjadi
. dx
g t dt f x
Bajpai Hyslop, 1970
2.3 Teknik Mencari Solusi PD Terpisahkan i Menuliskan persamaan diferensial dengan
terpisah
. dx
g t dt f x
ii Mengintegralkan kedua ruas sehingga
diperoleh
.
dx g t dt
A f x
dengan A
merupakan konstanta
pengintegralan yang
merupakan hasil
penggabungan dua konstanta pengintegralan yaitu
1 A
dan
2 A
dari
.
1 2
dx A
g t dt A
f x
iii Melakukan substitusi sederhana untuk mereduksi persamaan yang peubahnya tidak
dapat dipisahkan. Bajpai Hyslop, 1970
2.4 Persamaan Bernoulli
PDB linear orde satu tak homogen dapat dinyatakan dengan
. dx
P t x Q t
dt
2.1
.
dx n
P t x Q t x
dt
2.2 i Persamaan 2.1 dapat disederhanakan
menjadi
0. P t x Q t
dt dx
yang merupakan PDB tak eksak karena
1 .
P t x Q t x
y
dengan memilih faktor integrasi yang hanya tergantung pada t , yaitu
t
,
maka persamaan 2.1 dapat dituliskan
0. t P t x
t Q t dt t dx
yang merupakan PDB eksak, sehingga harus memenuhi
.
t P t x t Q t
t x
t
dan diperoleh P t dt
e
dengan 0.
selanjutnya dengan mengalikan
pada persamaan 2.1 diperoleh solusi berikut
dx P t dt
P t dt P t dt
e e
P t x Q t e
dt
d P t dt
P t dt e
x Q t e
dt
P t dt P t dt
e x
e Q t dt
c
.
P t dt P t dt
x e
e Q t dt
c
ii Persamaan 2.2 dapat disederhanakan menjadi
1
.
n n
dx x
P t x Q t
dt
2.3 dipilih
1
maka 1
. 1
n n
n
dv dx
v x
n x dt
dt dx
x dv
dt n dt
2.4 dengan mensubstitusikan persamaan 2.4 ke
persamaan 2.3 diperoleh 1
1 1
1 .
dv P t v
Q t n dt
dv n P t v
n Q t dt
2.5
dengan memisalkan 1
. 1
. Pp t
n P t Qq t
n Q t
sehingga persamaan 2.5 dapat dituliskan
menjadi .
dv Pp t v
Qq t dt
2.6 persamaan 2.6 memiliki bentuk persamaan
yang sama dengan persamaan 2.1 sehingga diperoleh solusi
Pp t dt Pp t dt
v t e
e Qq t dt
c
1 1
1 .
n
x t v t
Farlow, 1994
2.5 Masalah Kontrol Optimum
