diperoleh
.
dx g t dt
A f x
dengan A
merupakan konstanta
pengintegralan yang
merupakan hasil
penggabungan dua konstanta pengintegralan yaitu
1 A
dan
2 A
dari
.
1 2
dx A
g t dt A
f x
iii Melakukan substitusi sederhana untuk mereduksi persamaan yang peubahnya tidak
dapat dipisahkan. Bajpai Hyslop, 1970
2.4 Persamaan Bernoulli
PDB linear orde satu tak homogen dapat dinyatakan dengan
. dx
P t x Q t
dt
2.1
.
dx n
P t x Q t x
dt
2.2 i Persamaan 2.1 dapat disederhanakan
menjadi
0. P t x Q t
dt dx
yang merupakan PDB tak eksak karena
1 .
P t x Q t x
y
dengan memilih faktor integrasi yang hanya tergantung pada t , yaitu
t
,
maka persamaan 2.1 dapat dituliskan
0. t P t x
t Q t dt t dx
yang merupakan PDB eksak, sehingga harus memenuhi
.
t P t x t Q t
t x
t
dan diperoleh P t dt
e
dengan 0.
selanjutnya dengan mengalikan
pada persamaan 2.1 diperoleh solusi berikut
dx P t dt
P t dt P t dt
e e
P t x Q t e
dt
d P t dt
P t dt e
x Q t e
dt
P t dt P t dt
e x
e Q t dt
c
.
P t dt P t dt
x e
e Q t dt
c
ii Persamaan 2.2 dapat disederhanakan menjadi
1
.
n n
dx x
P t x Q t
dt
2.3 dipilih
1
maka 1
. 1
n n
n
dv dx
v x
n x dt
dt dx
x dv
dt n dt
2.4 dengan mensubstitusikan persamaan 2.4 ke
persamaan 2.3 diperoleh 1
1 1
1 .
dv P t v
Q t n dt
dv n P t v
n Q t dt
2.5
dengan memisalkan 1
. 1
. Pp t
n P t Qq t
n Q t
sehingga persamaan 2.5 dapat dituliskan
menjadi .
dv Pp t v
Qq t dt
2.6 persamaan 2.6 memiliki bentuk persamaan
yang sama dengan persamaan 2.1 sehingga diperoleh solusi
Pp t dt Pp t dt
v t e
e Qq t dt
c
1 1
1 .
n
x t v t
Farlow, 1994
2.5 Masalah Kontrol Optimum
Masalah kontrol optimum terdiri atas pemilihan semua peubah kontrol
U t yang
mungkin, yang membawa sistem dinamik dalam hal ini sistem satu dimensi dari suatu
keadaan awal
x t
pada waktu
t
ke keadaan akhir
x T pada waktu
T ,
sedemikian sehingga menghasilkan fungsi tujuan yang maksimum, yaitu
Maks
.
, , T
J U f
x t u t t dt t
dengan
, , f
x u t
diberikan dan merupakan fungsi bernilai real.
Tu, 1993
2.6 Kestabilan PD Orde Satu
Suatu persamaan diferensial linear orde satu berbentuk
. dengan
0. x ax
a
2.7
2
memiliki nilai ..
x a
yang bersifat stabil jika
a
dan bersifat tidak stabil jika
a
. Bukti :
Tuliskan persamaan
2.7 sebagai
dx x adt
, kemudian
kedua sisi
diintegralkan sehingga
diperoleh
at
x t x e
.
Jika
a
, maka solusi akan meningkat secara eksponensial. Jika
a
, maka solusi akan menuju nol. Solusi ekuilibrium adalah
0. x t
Jika
a
maka solusi bersifat tak stabil, karena
lim |
0 | lim |
| .
at t
t
x t x
e
Jika
a
maka solusi bersifat stabil, karena
lim |
0 | lim |
| 0.
at t
t
x t x
e
Tu, 1994
2.7 Diagram Fase
Suatu persamaan diferensial
. x
f x
tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Jika hal ini terjadi maka
diperlukan solusi kualitatif dalam bentuk diagram
fase. Diagram
fase akan
menggambarkan perubahan kecepatan
. x
terhadap x Lihat pada Gambar 1.
Jika .
x
maka kurva berada di atas sumbu horizontal, yaitu x
meningkat sepanjang waktu yang ditunjukkan oleh panah
dari arah kiri ke kanan. Jika .
x maka
kurva berada di bawah sumbu horizontal, yaitu
x
menurun sepanjang
waktu ditunjukkan oleh panah dari arah kanan ke
kiri. Pada sumbu horizontal, .
x
yaitu tidak berubah, merupakan titik ekuilibrium
atau titik tetap. Jika
f x
maka f x
adalah fungsi turun, sehingga ekuilibrium stabil. Jika
f x
maka f x
adalah fungsi naik, sehingga ekuilibrium tak stabil.
Tu, 1994
.
x
f x
x t
f x
Gambar 1 Bidang fase
. x
f x
III MODEL - MODEL DASAR
3.1 Model Logistik
