Model Usaha Pemanenan Model Keuntungan Maksimum Teori Modal

dalam populasi per satuan waktu. Misalkan dalam populasi ada x individu, dan daya dukung lingkungan K dimasukkan ke dalam model, maka lingkungan masih dapat mendukung K x  individu. Jadi masih ada bagian lingkungan yang masih bisa diisi sebesar K x K  . Bagian inilah yang sebanding dengan pertumbuhan populasi. Oleh karena itu persamaan pertumbuhan menjadi . 1 dx x t F x Rx t dt K          3.1 Persamaan 3.1 disebut model pertumbuhan logistik. Sebagai keterangan K R a  menyatakan daya dukung lingkungan atau titik maksimum dimana laju pertumbuhan akan menurun bahkan berhenti. Dari persamaan matematis 3.1 terlihat bahwa dalam keadaan seimbang dx dt        populasi akan sama dengan daya dukung lingkungan, sedangkan maksimum pertumbuhan akan terjadi pada kondisi setengah daya dukung lingkungan. Kurva pertumbuhan logistik dapat dilihat pada gambar di bawah ini . x 2 K K x t Gambar 2 Kurva pertumbuhan logistik Solusi persamaan 3.1 menggunakan masalah nilai awal 0 x K N  , dimana N suatu konstanta positif tak nol 1 N  dapat diselesaikan dengan pengintegralan terpisahkan, yaitu . 1 1 Rt K x t N e     3.2 3.2 Model Umum Pemanenan Persamaan pertumbuhan logistik 3.1 menunjukkan bahwa model perikanan tersebut belum mengalami eksploitasi atau faktor penangkapan belum dimasukkan ke dalam model. Dalam usaha penangkapan ikan dibutuhkan berbagai sarana sebagai faktor masukkan atau input yang biasa disebut sebagai usaha pemanenan. Hubungan antara tingkat pertumbuhan alamiah dengan usaha pemanenan merupakan dinamika populasi persediaan ikan. Laju pertumbuhan persediaan ikan dx dt ditentukan oleh kemampuan reproduksi alamiah dan hasil ikan yang dipanen dari persediaan ikan tersebut. Hasil pemanenan dapat dituliskan sebagai h t yang merupakan fungsi produksi yang diasumsikan menggambarkan dua kuantitas, yaitu ukuran persediaan populasi ikan saat t dan tingkat usaha pemanenan 1 U   sehingga . h t qx t U  3.3 dengan 1 q   adalah konstanta yang menyatakan catchability kemampuan tangkap . Menurut Clark 1979, jika usaha pemanenan dilakukan dengan ukuran h t , maka persamaan 3.1 menjadi dx F x h t dt   1 . Rx t x t K q t U    x 3.4 dengan peubah tak bebas x t  , peubah kontrol U t  yang tergantung pada strategi pemanenan yang dilakukan. Populasi awal 0 x diasumsikan diketahui, sedangkan h t diasumsikan h t h maks   , dengan h maks hasil maksimum ikan yang dipanen setiap waktu.

3.3 Model Usaha Pemanenan

Diasumsikan usaha pemanenan konstan yaitu , . U t x U  Sedangkan usaha pemanenan tak konstan diasumsikan sebagai berikut . 1 , dx U t x t t x dt     3.5 dengan   dan   adalah fungsi kontinu terhadap t , akan tetapi dalam pembahasan selanjutnya dan   diasumsikan konstan. Idels Wang, 2008

3.4 Model Keuntungan Maksimum

Dalam kegiatan penangkapan ikan, perusahaan menjual tingkat output tertentu h t dengan harga pasar p per unit output yang dijual. Maka penerimaan total per unit waktu dapat dituliskan . P t ph t rev  Dalam memproduksi h t total biaya ekonomi per unit usaha yang ditanggung dapat dinyatakan dengan cU dan dituliskan sebagai berikut . B cU c U nwU   dengan B c : biaya overhead untuk pemeliharaan satu perahu per unit waktu t, dengan 0. c  n : rata-rata jumlah pemancing per perahu. p : harga jual per unit ikan, 0. p  w : gaji satu pemancing per unit waktu. Sehingga keuntungan per unit waktu yang dapat berkelanjutan dituliskan . P U pqUx t cU   3.6 Dalam pembahasan ini B c , n , p dan w diasumsikan bernilai konstan. Kondisi yang diperlukan untuk nilai U konstan yang memaksimumkan keuntungan ditentukan dengan 0. P U 

3.5 Teori Modal

Apabila modal awal P diinvestasikan pada suku bunga tahunan  dan dimajemukkan k kali per tahun, maka setelah t t ahun nilainya akan bertambah secara eksponensial seperti berikut . 1 kt B t P k          3.7 Jika suku bunga dimajemukkan secara kontinu bukan tahunan, bulanan, atau harian, tetapi setiap saat dengan kata lain k   , maka rumus 3.7 akan berubah dengan perhitungan sebagai berikut Misalkan k n   maka n   dan k n   sehingga 1 1 1 kt n t P P k n                  . 1 1 t n P n                  karena n   , maka . 1 lim 1 n t t B t P Pe n n             3.8 dengan B t adalah future value, waktu t  dan 2.718 e  . Present value dari penerimaan sebesar B di masa yang akan datang adalah . t P B t e    3.9 Total present value yang kontinu dari deretan pendapatan P  , dengan t T   dapat dirumuskan sebagai berikut . T t P B t e dt     3.10 Untuk kasus T   , persamaan 3.10 menjadi lim T t T P B t e dt      . t P B t e dt      3.11 Hoftmann Bradley, 1989 IV MODEL PEMANENAN PERIKANAN 4.1 Model Pemanenan Ikan 4.1.1 Pemanenan Konstan