memiliki nilai ..
x a
yang bersifat stabil jika
a
dan bersifat tidak stabil jika
a
. Bukti :
Tuliskan persamaan
2.7 sebagai
dx x adt
, kemudian
kedua sisi
diintegralkan sehingga
diperoleh
at
x t x e
.
Jika
a
, maka solusi akan meningkat secara eksponensial. Jika
a
, maka solusi akan menuju nol. Solusi ekuilibrium adalah
0. x t
Jika
a
maka solusi bersifat tak stabil, karena
lim |
0 | lim |
| .
at t
t
x t x
e
Jika
a
maka solusi bersifat stabil, karena
lim |
0 | lim |
| 0.
at t
t
x t x
e
Tu, 1994
2.7 Diagram Fase
Suatu persamaan diferensial
. x
f x
tidak semuanya dapat diselesaikan secara kuantitatif. Jika hal ini terjadi maka
diperlukan solusi kualitatif dalam bentuk diagram
fase. Diagram
fase akan
menggambarkan perubahan kecepatan
. x
terhadap x Lihat pada Gambar 1.
Jika .
x
maka kurva berada di atas sumbu horizontal, yaitu x
meningkat sepanjang waktu yang ditunjukkan oleh panah
dari arah kiri ke kanan. Jika .
x maka
kurva berada di bawah sumbu horizontal, yaitu
x
menurun sepanjang
waktu ditunjukkan oleh panah dari arah kanan ke
kiri. Pada sumbu horizontal, .
x
yaitu tidak berubah, merupakan titik ekuilibrium
atau titik tetap. Jika
f x
maka f x
adalah fungsi turun, sehingga ekuilibrium stabil. Jika
f x
maka f x
adalah fungsi naik, sehingga ekuilibrium tak stabil.
Tu, 1994
.
x
f x
x t
f x
Gambar 1 Bidang fase
. x
f x
III MODEL - MODEL DASAR
3.1 Model Logistik
Menurut Clark 1976, Murray 1993 dan Kreyszig 1993, jika dimisalkan
x t adalah populasi ikan pada waktu t , maka
tingkat pertumbuhan populasi ikan terhadap waktu t
pada suatu daerah tertentu dapat dituliskan sebagai berikut
dx dt
= kelahiran- kematian + migrasi. Model sederhana tingkat pertumbuhan
populasi tanpa migrasi dapat dituliskan seperti berikut
. dx dt
n m x
Rx
dengan ,
n m adalah konstanta positif yang
masing-masing menyatakan tingkat kelahiran dan kematian populasi ikan dan R
adalah parameter yang menyatakan pertumbuhan
alamiah ikan kelahiran dikurangi kematian dan diasumsikan positif.
Adanya persaingan antar individu, keterbatasan ruang, keterbatasan makanan
dan keterbatasan sumber daya lainnya akan mempengaruhi pertumbuhan populasi ikan.
Untuk itu model yang lebih baik adalah model pertumbuhan logistik yang diperkenalkan oleh
P.F. Velhurst, yaitu
2
dx dt Rx
ax
;
0, 0.
R a
dengan
2
ax
merupakan faktor pengendali yang dimaksudkan untuk mencegah terjadinya
ledakan populasi. Dengan a menyatakan
konstanta rata-rata pertemuan dua individu
dalam populasi per satuan waktu. Misalkan dalam populasi ada x
individu, dan daya dukung lingkungan K
dimasukkan ke dalam model, maka lingkungan masih
dapat mendukung
K x
individu. Jadi masih ada bagian lingkungan yang masih bisa diisi
sebesar
K x
K
.
Bagian inilah yang sebanding dengan pertumbuhan populasi. Oleh karena
itu persamaan pertumbuhan menjadi
.
1 dx
x t F x
Rx t dt
K
3.1 Persamaan 3.1 disebut model pertumbuhan
logistik. Sebagai keterangan
K R a
menyatakan
daya dukung lingkungan atau titik maksimum dimana laju pertumbuhan akan menurun
bahkan berhenti. Dari persamaan matematis 3.1 terlihat
bahwa dalam keadaan seimbang dx
dt
populasi akan sama dengan daya dukung lingkungan,
sedangkan maksimum
pertumbuhan akan terjadi pada kondisi setengah daya dukung lingkungan. Kurva
pertumbuhan logistik dapat dilihat pada gambar di bawah ini
.
x
2 K
K x t
Gambar 2 Kurva pertumbuhan logistik Solusi persamaan 3.1 menggunakan
masalah nilai awal 0 x
K N
, dimana
N
suatu konstanta positif tak nol
1 N
dapat diselesaikan
dengan pengintegralan
terpisahkan, yaitu
.
1 1
Rt
K x t
N e
3.2
3.2 Model Umum Pemanenan Persamaan pertumbuhan logistik 3.1
menunjukkan bahwa model perikanan tersebut belum mengalami eksploitasi atau
faktor penangkapan belum dimasukkan ke dalam model. Dalam usaha penangkapan ikan
dibutuhkan berbagai sarana sebagai faktor masukkan atau input yang biasa disebut
sebagai usaha pemanenan.
Hubungan antara tingkat pertumbuhan alamiah dengan usaha pemanenan merupakan
dinamika populasi persediaan ikan. Laju pertumbuhan persediaan ikan
dx dt ditentukan
oleh kemampuan reproduksi alamiah dan hasil ikan yang dipanen dari
persediaan ikan tersebut. Hasil pemanenan dapat dituliskan sebagai
h t yang merupakan fungsi produksi yang diasumsikan menggambarkan dua kuantitas,
yaitu ukuran persediaan populasi ikan saat t dan tingkat usaha pemanenan
1 U
sehingga .
h t qx t U
3.3
dengan
1 q
adalah konstanta yang menyatakan
catchability kemampuan
tangkap . Menurut Clark 1979, jika usaha
pemanenan dilakukan dengan ukuran h t ,
maka persamaan 3.1 menjadi
dx F x
h t dt
1 .
Rx t x t
K q
t U
x
3.4 dengan peubah tak bebas
x t , peubah
kontrol U t
yang tergantung pada strategi pemanenan yang dilakukan. Populasi
awal 0 x
diasumsikan diketahui, sedangkan
h t
diasumsikan
h t h
maks
, dengan
h maks
hasil maksimum ikan yang dipanen setiap waktu.
3.3 Model Usaha Pemanenan
