BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Formulasi masalah
Misalkan C
[ n ,k ,d ] adalah kode linear biner yang mempunyai panjang
n , berdimensi k dan jarak minimum d. kode C dikatakan baik jika n kecil, k besar
dan d besar. Makna fisiknya, n harus kecil terkait dengan proses enkoding dan dekoding, juga terkait dengan memori yang digunakan dalam proses tersebut.
Selanjutnya k harus besar terkait dengan banyaknya pesan yang dapat diubah menjadi kata kode dan d harus besar terkait dengan banyaknya galat yang dapat
dikoreksi. Diberikan sembarang dua parameter, misalnya n dan k, problemnya:
“Adakah suatu kode [n,k,d] untuk nilai d yang sebesar besarnya.?”. Pertanyaan itu mengarah pada pendefinisian fungsi
D n, k = maks { d kode [ n, k, d ] ada }
Dalam hal ini, suatu kode C dengan parameter [ n, k, d ] disebut optimal-D optimal jarak minimum, jika C ada telah berhasil dikonstruksi dan telah pula
dibuktikan bahwa tidak ada kode dengan parameter [ n, k, d + 1]. Batas bawah lower bound dan batas atas upper bound dari fungsi Dn, k diartikan sebagai
berikut. Misalnya, l
≤ D n, k ≤ u artinya telah berhasil dikonstruksi kode dengan parameter [ n, k, d
≤ l ], dan telah berhasil pula dibuktikan bahwa tidak ada kode dengan parameter [n, k, d u],
sedangkan adatidaknya kode dengan parameter [ n, k, d], dengan l d ≤ u,
merupakan open problem. Untuk memperbaiki satu langkah batas bawah dari fungsi D n, k berarti harus mampu mengkonstruksi kode dengan parameter [ n,
k, l + 1]. Perbaikan satu langkah batas atas dari fungsi Dn, k berarti dibuktikan bahwa tidak ada kode dengan parameter [ n, k, u ]. Penelitian ini hanya untuk
memperbaiki satu langkah batas bawah saja. Informasi terkini updated basis data untuk batas fungsi Dn, k dapat dilihat di dalam Tabel Brouwer Brouwer 1998
dan bisa diakses secara on-line. Secara analog ekivalen, didefinisikan fungsi Kn,d untuk optimalisasi dimensi optimal-K atau fungsi Nk,d untuk
optimalisasi panjang kode optimal-N, dan sekaligus memformulasikan masalahnya:
K n, d = maks { k kode [ n, k, d ] ada } N k, d = min { n kode [ n, k, d ] ada }.
Berdasarkan formulasi umum problem di atas, pada penelitian ini didefinisikan kode optimal kuat strongly optimal codes beserta formulasi
problem konstruksinya. Kode linear C dengan parameter [n, k, d] disebut optimal kuat jika kode linear-[n, k, d] ada dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear
[n+1, k+1, d] tidak ada. Sedangkan suatu kode disebut optimal –D jika kode linear [n, k, d] ada dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear [n, k, d+1] tidak ada.
Jika kode linear [n, k, d] ada dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear [n-1, k, d] tidak ada maka disebut optimal-N. Selanjutnya jika kode linear [n, k, d] ada
dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear [n, k+1, d] tidak ada, maka kode tersebut disebut optimal –K.
2.6 Analisis Teori
Suatu matriks H berukuran
yang semua barisnya merupakan suatu basis untuk
disebut matriks cek paritas dari C. Pengertian matriks cek paritas ini berimplikasi pada pendefinisian kode linear berkaitan dengan cara
konstruksinya, yaitu | H
. Mengkonstruksi suatu kode berarti
mendefinisikan matriks cek paritas H atau matriks generatornya G.
Pada bagian ini akan dikaji beberapa teorema yang paling berperan untuk
melandasi konstruksi H. Teorema 3.2.1
Jika H adalah matriks cek paritas dari suatu kode dengan panjang n, maka kode tersebut mempunyai dimensi n-r jika dan hanya jika ada r kolom dari H yang
bebas linear tetapi tidak ada r + 1 kolom dari H yang bebas linear. Ini artinya r adalah rank dari H.
Bukti Misalkan H adalah matriks cek paritas dari kode linear C dengan panjang n dan
G
adalah matriks generator untuk C. Maka C berdimensi n – r jika dan hanya
jika rank G = n – r. karena G adalah basis dan banyaknya baris di G
Kategori