ABSTRACT
ASRIZA RAHMA. Construction of Strongly Optimal Linear Binary Codes with Minimum Distance of 5 and 7. Under supervision of SUGI GURITMAN and
NUR ALIATININGTYAS.
A code which is also a subspace of
is called linear binary code. If C has length n, dimension k and minimum distance d, then C is an [n, k, d]
code. The main problem in coding theory is optimizing one of the parameters n, k, and d for given values of the others. In this research, the strongly optimal linear
binary codes are constructed by using Gilbert-Varshamov bound and implemented using MAPLE software. In this case, the constructed basic code C[n, k, d] is then
extended to obtain the code
[ , , ], which can not be extended anymore and
which is known from the previus research that [ +1,
+1,d] does not exist. As a result,
[ , , ] is strongly optimal code. The strongly optimal codes that
has been successfully constructed are the codes with parameters [8,2,5], [11,4,5], [17,9,5], [23,14,5], [31,21,5], [33,23,5], [11,2,7], [15,5,7], [23,12,7], [27,14,7],
[30,16,7] and [31,17,7].
Keywords: linear binary codes, strongly optimal, and minimum distance.
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori koding berasal dari suatu problem di teori informasi yang ditulis oleh C.E. Shanon pada tahun 1948 dalam artikelnya yang berjudul
A Mathematical Theory of Communication. Problem itu dapat digambarkan sebagai berikut. Apabila suatu pesan informasi dikirim melalui saluran
terganggu noisy channel, sering kali terjadi bahwa pesan yang diterima tidak sama dengan yang dikirim. Di dalam komunikasi , pesan direpresentasikan dalam
bentuk digital sebagai blok barisan simbol, sering kali digunakan simbol biner yang dikenal dengan bitstring. Saluran biasanya berupa jaringan telepon, jaringan
radio berfrekuensi tinggi atau jaringan komunikasi satelit. Saluran yang terganggu menyebabkan berubahnya beberapa simbol yang dikirim, sehingga
mengurangi kualitas informasi yang diterima Guritman Aliatiningtyas 2004. Suatu kode diciptakan untuk mendeteksi atau mengoreksi galat error
akibat saluran terganggu. Dalam hal ini sebelum dikirim , semua pesan akan diubah menjadi kata kode codeword dengan cara menambahkan beberapa
simbol ekstra pada simbol pesan. Proses pengubahan pesan menjadi kata kode disebut enkoding. Perangkat yang mengubah pesan menjadi kata kode disebut
enkoder. Kode merupakan himpunan kata kode. Pendefinisian kode ini dilakukan sedemikian sehingga apabila terjadi perubahan beberapa simbol pada kata kode,
maka galat itu bisa dipulihkan oleh dekoder. Dekoder merupakan perangkat yang mengubah barisan simbol yang diterima menjadi katakode. Kata kode tersebut
dipulihkan menjadi pesan asli. Proses tersebut diringkas dalam bagan berikut ini:
Ada noisy
1001 1001
110110 100110
100110 1
Pesan encoder kata kode kirim kirim galat 1 bit dekod katakode pesan
Gambar 1 skema pengiriman pesan melalui saluran yang terganggu. Ada bermacam jenis kode yang telah diciptakan orang, diantaranya yang
diberi nama dengan nama penemunya seperti: kode BCH Bose Chaudhuri Hocquenghem, kode Hamming, kode Reed- Muller dan lainnya. Masing-masing
mempunyai metode konstruksi yang berbeda. Eksistensi suatu kode dapat dilihat berdasarkan tabel Brouwer dan bisa diakses secara on-line.
Dalam penelitian ini akan dikonstruksi kode-kode optimal kuat atas dasar teorema Gilbert-Varshamov bounds. Konstruksi kode dilakukan perkasus atas
dasar jarak minimum d, yaitu untuk d = 5 dan d = 7. Pemilihan kasus dimulai dari d = 5 karena untuk d = 3 telah tuntas dikonstruksi sebagai keluarga kode
Hamming.
1.2 Tujuan Penelitian
a. Mengkaji secara teoritik metode konstruksi.
b. Membangun metode komputasi untuk konstruksi dengan bantuan
software MAPLE c.
mengeksplorasi kode-kode optimal kuat yang berjarak minimum 5 dan 7.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dituliskan beberapa aspek teoritis berupa definisi, teorema dan sifat-sifat yang berhubungan dengan aljabar linear, struktur aljabar dan
teori koding yang digunakan sebagai landasan teori untuk penulisan tesis ini.
2.1 Struktur Aljabar Definisi 2.1.1 Operasi Biner
Operasi biner pada suatu himpunan S adalah suatu fungsi dari S
S yang membawa setiap a,b S
S ke a b S yang unik. Jadi a,b a b. Karena a b juga berada dalam S maka dikatakan S tertutup di bawah operasi .
Aliatiningtyas 2002
Definisi 2.1.2 Grup
Struktur aljabar G dengan operasi biner disebut grup jika memenuhi aksioma- aksioma berikut ini:
1. operasi bersifat assosiatif x z = x y
, , ,
. 2. ada unsur iden t
e , sehingga berlaku e
, .
ti as 3. untuk setiap x
ada unsur x
-1
sehingga x x
-1
= x
-1
x = e. Aliatiningtyas 2002
Definisi 2.1.3 Subgrup
Misalkan G grup dan H . Maka H disebut subgrup dari G jika H grup di bawah
operasi biner yang sama dengan G. notasi: H .
Aliatiningtyas 2002
Teorema 2.1.4 teorema Langrange
Jika G grup hingga dan H adalah subgrup G, maka order dari H membagi order dari G.
Aliatiningtyas 2002
Definisi 2.1.4 Field
Suatu himpunan yang padanya didefinisikan operasi jumlah + dan operasi kali . disebut eld, notasi , +, . , jika memenuhi sifat-sifat berikut:
fi 1.
, + merupakan grup komutatif terhadap +, yaitu memenuhi sifat-sifat:
