Aljabar linear Definisi 1: Ruang Vektor

7. u v u v λ λ λ ⋅ + = ⋅ + ⋅ 8. u u u λ μ λ + ⋅ = + μ 9. u u λμ λ μ ⋅ = ⋅ 10. Jika 1 merupakan unsur identitas untuk perkalian di F q maka 1u =u. Ling Xing 2004 Definisi 2.2.2: Penjumlahan Vektor dan Perkalian Skalar di n q F Misalkan n q F merupakan himpunan dari vektor-vektor dengan panjang yang unsur-unsurnya merupakan elemen dari , yaitu: n q F { } 1 2 3 , , , , n q n ; i q F u u u u F u = ∈ K . Misalkan pula 1 2 , , , n n q v v v v F = ∈ K { } 1 2 , ,K, r v v v , 1 2 , , , n w w w w = ∈ K n q F , dan q F λ ∈ . maka penjumlahan vektor di n q F didefinisikan sebagai , sedangkan perkalian skalar didefinisikan sebagai 1 1 2 2 , , , n n u w v w v w v w F + = + + + ∈ K 1 2 , , , . n n q v v v v F λ λ λ λ ⋅ = ∈ K q q Ling Xing 2004 Definisi 2.2.3: Subruang Subspace Suatu himpunan tak kosong dari ruang vektor V merupakan subruang ruang bagian dari V jika merupakan ruang vektor dan memiliki sifat penjumlahan vektor dan perkalian vektor yang sama dengan V . C C Ling Xing 2004 Definisi 2.2.4: Kombinasi Linear Misalkan merupakan ruang vektor atas , V q F i F λ ∈ sembarang, maka 1 1 2 2 r r u u u λ λ + +K λ + merupakan kombinasi linear dari .elemen V. 1 2 , , u u K, r u Ling Xing 2004 Definisi 2.2.5: Bebas Linear Misalkan V merupakan ruang vektor terhadap , himpunan vektor { q F } 1 2 , , , r v v v K dalam V dikatakan saling bebas linear jika 1 1 1 2 r r r v 2 v v 2 λ λ λ λ λ + = → = = = K λ = K + + , tak bebas linear jika, 1 1 2 2 r r i v v v λ λ λ λ + + + = ∧ ∃ ≠ K . Ling Xing 2004 Definisi 2.2.6: Rentang Linear Misalkan merupakan ruang vektor atas dan V q F { } 1 2 , , , k S v v v = K S merupakan himpunan tak kosong dari V . Rentang linear dari didefinisikan sebagai { } 1 1 λ λ = + 2 2 ; k k q S v v v F λ + + ∈ K i λ . Jika S = ∅ maka didefinisikan { } S = . Ling Xing 2004 Definisi 2.2.7: Basis Misalkan merupakan ruang vektor dari . Himpunan tak kosong V q F { } 1 2 , , k B v v v = , K dari V dikatakan basis untuk V jika V B = dan B bebas linear Misalkan { } 1 2 , , , k B v v v = K basis untuk V , maka sembarang vektor v dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor secara unik. V ∈ B Teorema 2.2.1 Misalkan V merupakan ruang vektor atas . Jika q F dim V k = , maka: i. memiliki elemen V k q ii. memiliki V 1 1 k k i i q q k − = − ∏ basis yang berbeda Ling Xing 2004 Definisi 2.2.8: Hasil Kali Skalar Misalkan 1 2 1 2 , , , , , , , n n q n V v v v F W w w w F = ∈ = K K dan V W 1 1 V W v w n q ∈ . Hasil kali skalar dot product dari didefinisikan sebagai 2 2 n n q v w v w F ⋅ = + + + ∈ K . Definisi 2.2.9: Komplemen Orthogonal Misalkan 1 2 1 2 , , , , , , , n n n q n V v v v F W w w w F = ∈ = K K q ∈ W . i. Vektor dikatakan saling tegak lurus orthogonal jika dan V V W ⋅ = ii. Misalkan merupakan himpunan bagian dari S n q F . Komplemen orthogonal dari , yaitu didefinisikan sebagai S S ⊥ { } | 0, v s s S ⊥ = ∈ ⋅ = ∀ ∈ n q F S v . Jika , maka didefinisikan . Jika merupakan subruang dari ruang vektor S = ∅ n q n q S F ⊥ = S F , maka merupakan subruang dari ruang vektor S ⊥ n q F dan S S ⊥ ⊥ = Ling Xing 2004 Teorema 2.2.2 Diberikan ruang vektor n q F . Misalkan himpunan bagian dari S n q F . Maka dim dim S S ⊥ + = n Ling S, Xing C. 2004

2.3 Model Aljabar Kode Linear

Misalkan menotasikan vektor berdimensi n atas field biner 2= {0,1}. Kode linear biner dengan panjang n didefinisikan sebagai sub ruang C dari . Anggota suatu kode disebut dengan kata kode codeword. Kode linear C dengan panjang n dan dimensi k dinamakan kode linear dengan parameter [n, k]. Jika jarak minimum d diketahui maka C dinyatakan sebagai kode linear dengan parameter [n,k.d ]. Setiap kata kode dalam kode linear C memiliki panjang tetap n disebut blok yang terbagi menjadi dua bagian yaitu: simbol pesan dan simbol cek. Dimensi k merupakan panjang dari simbol pesan. Menurut Mac Williams dan Sloane 1981 setiap kode akan memiliki kata kode sebanyak 2 k. . Definisi 2.3.1 Jarak Hamming distance antara dua vektor x,y , dinotasikan dx,y, adalah banyaknya posisi digit dari x dan y dimana simbol mereka berbeda. Jarak minimum minimum hamming distance dari suatu kode linear C didefinisikan: dC = min { dx,y | x,y C, x ≠ y }. Definisi 2.3.2 Bobot Hamming weight dari suatu vektor x , dinotasikan , adalah banyaknya simbol taknol dalam x. Bobot minimum minimum hamming weight dari suatu kode C didefinisikan: min { | x , ≠ 0 }. Berdasarkan definisi 2.3.1 dan 2.3.2 maka diperoleh dx,y= . ebagai ilustrasi, di dalam ruang , jika x =10011 dan y =11010, maka dx,y = 1 11 11 1 1 1 2. Proposisi 2.3.1 Jarak minimum dari suatu kode linear C adalah bobot minimum dari sembarang kata kode tak nol. Bukti. Perhatikan bahwa karena C linear, maka dC = mi | x C, x ≠ y } | x,y C, x ≠ y } n { dx,y ,y = min { = min | z C, z ≠ 0 } = . terbukti . Definisi 2.3.3 O ogonal dibaca : kode dual dari C , notasi , didefinisikan rt dari C = {y | x . y = 0 untuk setiap x C }. Dimana “.” adalah produk dalam standa a r pad yang didefinisikan sebagai : x . y = ∑ . , = , , ….. , y = , . ,…. Dengan demikian , jika C berdimensi k , maka berdimensi r = n- k. 2.4 Matriks Cek Paritas Suatu matriks H berukuran r x n yang semua barisnya merupakan suatu basis untuk disebut matriks cek paritas parity check matrix dari C. Pengertian matrik paritas ini berimplikasi pada pendefinisian kode linear yang berkaitan dengan cara konstruksinya, yaitu C = { x | H = 0 }. Dengan kata lain, C adalah ker H. Mengkonstruksi membuat kode linear dengan panjang n dan k sama artinya dengan mendefinisikan matriks cek paritas seperti yang dimaksud diatas. Di samping itu matriks cek paritas berfungsi mengubah pesan menjadi katakode, dengan kata lain ia merupakan parameter didalam enkoding. 2.5 Enkoding Kode Linear Enkoding kode linear dengan menggunakan matriks cek paritas H, diilustrasikan sebagai berikut. Diberikan blok simbol pesan dengan panjang k misalnya akan dienkode menjadi kata kode 1 2 ... , k u u u u = 1 2 ... n x x x x = dimana dengan menggunakan matriks cek paritas H yang telah didefinisikan sebelumnya. Maka, pertam kali id inis an n k ≥ a d ef ik = , = , … = dan diikuti dengan pendefinisian r n k = − simbol cek 1 1 ... k k n x x x + + yang