optimalisasi panjang kode optimal-N, dan sekaligus memformulasikan masalahnya:
K n, d = maks { k kode [ n, k, d ] ada } N k, d = min { n kode [ n, k, d ] ada }.
Berdasarkan formulasi umum problem di atas, pada penelitian ini didefinisikan kode optimal kuat strongly optimal codes beserta formulasi
problem konstruksinya. Kode linear C dengan parameter [n, k, d] disebut optimal kuat jika kode linear-[n, k, d] ada dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear
[n+1, k+1, d] tidak ada. Sedangkan suatu kode disebut optimal –D jika kode linear [n, k, d] ada dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear [n, k, d+1] tidak ada.
Jika kode linear [n, k, d] ada dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear [n-1, k, d] tidak ada maka disebut optimal-N. Selanjutnya jika kode linear [n, k, d] ada
dan telah berhasil dibuktikan bahwa kode linear [n, k+1, d] tidak ada, maka kode tersebut disebut optimal –K.
2.6 Analisis Teori
Suatu matriks H berukuran
yang semua barisnya merupakan suatu basis untuk
disebut matriks cek paritas dari C. Pengertian matriks cek paritas ini berimplikasi pada pendefinisian kode linear berkaitan dengan cara
konstruksinya, yaitu | H
. Mengkonstruksi suatu kode berarti
mendefinisikan matriks cek paritas H atau matriks generatornya G.
Pada bagian ini akan dikaji beberapa teorema yang paling berperan untuk
melandasi konstruksi H. Teorema 3.2.1
Jika H adalah matriks cek paritas dari suatu kode dengan panjang n, maka kode tersebut mempunyai dimensi n-r jika dan hanya jika ada r kolom dari H yang
bebas linear tetapi tidak ada r + 1 kolom dari H yang bebas linear. Ini artinya r adalah rank dari H.
Bukti Misalkan H adalah matriks cek paritas dari kode linear C dengan panjang n dan
G
adalah matriks generator untuk C. Maka C berdimensi n – r jika dan hanya
jika rank G = n – r. karena G adalah basis dan banyaknya baris di G
menunjukkan dimensi suatu kode. Karena G dan H saling orthogonal, maka rank G = n - r jika dan hanya jika rank H = r.
Teorema 3.2.2 Jika H adalah matriks cek paritas dari suatu kode dengan panjang n, maka kode
tersebut mempunyai jarak minimum d jika dan hanya jika setiap d - 1 kolom dari
H yang bebas linear dan ada d kolom dari H yang tidak bebas linear.
Bukti: Misalkan H adalah matriks cek paritas dari kode C dengan panjang n, maka kode
tersebut berjarak minimum d jika dan hanya jika C berbobot minimum d jika dan
hanya jika ada vektor v dengan wtv = d sehingga Hv
T
= 0
T
dan untuk setiap w
dengan wtw d jika dan hanya jika Hw
T T
jika Hw
T
= 0
T
berarti w , maka akan terjadi kontradiksi karena wtw d jika dan hanya
jika ada d kolom dari H yang tidak bebas linear dan setiap d – 1 kolom dari H
yang bebas linear.
Teorema 3.2.3 The Singleton Bound
Jika C adalah kode dengan parameter [n, k, d], maka n – k d- 1.
Bukti: Jika C kode dengan parameter [n, k, d], maka C mempunyai matriks paritas H
berordo n – k n. Ini berarti rank H n – k, dan berdasarkan teorema 3.2.2,
matriks H memiliki d – 1 kolom yang bebas linear, sehingga rank H = d – 1, maka n – k d- 1.
Teorema 3.2.4 Teorema Gilbert-Varshamov bound
Jika telah diketahui ada kode [ ] yang m
1 , maka ada dapat dikonstruksi kode
dengan parameter [n+1, k+1, d]. n,k,d
emenuhi ketaksamaan
Bukti:
Misalkan diketahui kode C memiliki parameter [n, k, d]. Berdasarkan teorema 3.2.2 ada matriks paritas H berordo n - k n ditulis
H = c
1
c
2
… c
n
yang setiap d - 1 vektor dari { c
1
, c
2
, … c
n
}
adalah bebas linear dalam ruang
. Ide dasar pembuktian adalah jika ada vektor x yang bukan i
kombinasi linear dari vektor-vektor kolom H untuk i = 1, 2,…, d – 2, maka
