menunjukkan dimensi suatu kode. Karena G dan H saling orthogonal, maka rank G = n - r jika dan hanya jika rank H = r.
Teorema 3.2.2 Jika H adalah matriks cek paritas dari suatu kode dengan panjang n, maka kode
tersebut mempunyai jarak minimum d jika dan hanya jika setiap d - 1 kolom dari
H yang bebas linear dan ada d kolom dari H yang tidak bebas linear.
Bukti: Misalkan H adalah matriks cek paritas dari kode C dengan panjang n, maka kode
tersebut berjarak minimum d jika dan hanya jika C berbobot minimum d jika dan
hanya jika ada vektor v dengan wtv = d sehingga Hv
T
= 0
T
dan untuk setiap w
dengan wtw d jika dan hanya jika Hw
T T
jika Hw
T
= 0
T
berarti w , maka akan terjadi kontradiksi karena wtw d jika dan hanya
jika ada d kolom dari H yang tidak bebas linear dan setiap d – 1 kolom dari H
yang bebas linear.
Teorema 3.2.3 The Singleton Bound
Jika C adalah kode dengan parameter [n, k, d], maka n – k d- 1.
Bukti: Jika C kode dengan parameter [n, k, d], maka C mempunyai matriks paritas H
berordo n – k n. Ini berarti rank H n – k, dan berdasarkan teorema 3.2.2,
matriks H memiliki d – 1 kolom yang bebas linear, sehingga rank H = d – 1, maka n – k d- 1.
Teorema 3.2.4 Teorema Gilbert-Varshamov bound
Jika telah diketahui ada kode [ ] yang m
1 , maka ada dapat dikonstruksi kode
dengan parameter [n+1, k+1, d]. n,k,d
emenuhi ketaksamaan
Bukti:
Misalkan diketahui kode C memiliki parameter [n, k, d]. Berdasarkan teorema 3.2.2 ada matriks paritas H berordo n - k n ditulis
H = c
1
c
2
… c
n
yang setiap d - 1 vektor dari { c
1
, c
2
, … c
n
}
adalah bebas linear dalam ruang
. Ide dasar pembuktian adalah jika ada vektor x yang bukan i
kombinasi linear dari vektor-vektor kolom H untuk i = 1, 2,…, d – 2, maka
adalah matriks berordo n - k n + 1 yang setiap d-1 vektor dari{c
1
,c
2
,… c
n
, x }
adalah bebas linear dalam ruang . Dalam hal ini,
merupakan matriks
paritas untuk kode [n + 1, k + 1, d]. Syarat adanya vektor x terjadi ketika dipenuhi
ketaksamaan
= c
1
c
2
… c
n
x
1 1
,
dimana ruas kiri menyatakan banyaknya vektor-vektor sebagai hasil i kombinasi
linear dari vektor-vektor kolom H untuk i = 1, 2, … d - 2, sedangkan ruas kanan
menyatakan banyaknya vektor-vektor dalam .
2.7 Algoritme Konstruksi
Mengkonstruksi kode
linear [k+r, k,d] berarti mengkonstruksi bentuk
standar dari H, yaitu H =
| .
Untuk efisiensi komputasi cukup dikonstruksi
matriks B berukuran k
r. Berdasarkan teorema Gilbert-Vashamov bound diturunkan teorema konstruksi berikut:
Teorema 3.3.1 Jika matriks B berukuran k
r dikonstruksi berdasarkan sifat : 1.
Semua vektor baris dari B berbeda.
2.
Jumlah setiap i vektor baris dari B berbobot paling sedikit d – i untuk i = 1,
2, 3,…s dimana s = min {d – 1, k} dan d – 1 r, maka
H = B
T
| I
r
merupakan matriks paritas untuk kode C dengan parameter [k + r, k, d]. Dalam hal ini matriks generator dari C adalah
G = I
k
| B Bukti:
Misalkan telah dikonstruksi matriks B berukuran k sebagaimana disyaratkan
oleh teorema, akan ditunjukkan bahwa H merupakan matriks paritas untuk kode C [k + r, k, d]. Hal pertama yang mudah dilihat dari struktur H adalah C
mempunyai panjang k + r dan berdimensi k, sehingga tinggal ditunjukkan C
memiliki jarak minimum d. Andaikan ada v C dengan wt v d dan
dituliskan v = v
m,
v
c
dimana v
m
vektor pesan dengan wt v
m
= i dan v
c
vektor
cek dengan wt vc = j, maka berlaku
i + j d j d - i
wt v
c
d – i i dan
Hv
T
= 0
T
B
T
| I
r
= 0
T
B
T
+ I
r
= 0
T
B
T
= ii
Karena wtv
m
= i, dan berdasarkan syarat 2 dari konstruksi B, maka wtB
T
d – i. iii Dari ekspresi i, ii, dan iii menunjukkan suatu kontradiksi sehingga dapat
disimpulkan bahwa C berbobot minimum d atau dengan kata lain C memiliki
jarak minimum d.
Dengan demikian, mengkonstruksi kode C[k+r, k, d] berdasarkan teorema 3.3.1 berarti mengkonstruksi matriks generato y
rn a, G =
|
cukup dengan mengkonstruksi matriks B berukuran k
r yang memenuhi sifat-
sifat: semua vektor baris dari B berbeda dan jumlah setiap i vektor baris dari B
berbobot paling sedikit d – i, untuk i =1, 2, …, s dimana s = min{d – 1, k} dan d – 1
r. Begitu
kode linear
C [ n, k, d ] telah terkonstruksi, langkah berikutnya adalah mendefinisikan himpunan V yang beranggotakan semua vektor baris dari
B dan semua vektor sebagai hasil jumlah i vektor baris dari B untuk i = 2,3,…s
dimana s = min {d-1, k}. Maka jelaslah bahwa V
.
Jika V ≠
,
maka ada vektor
dan x yang bisa ditambahkan ke baris matriks B untuk
mendefinisikan matriks
yang berukuran k+1 r dan matriks cek paritas H’ =
T
| akan mendefinisikan kode dengan parameter [n+1, k+1 , d]. Pada
penelitian ini strategi konstruksi kode [n +1, k + 1, d] memenuhi teorema Gilbert- Varshamov bound.
Proses ekstensi kode dari [n, k , d] ke [ n+1, k+1, d ] dilakukan tahap
demi tahap sampai diperoleh suatu kode C dengan parameter [ n’ , k’ ,d ] yang
sudah tidak bisa diperluas lagi. Ketika diperoleh informasi bahwa telah dibuktikan bahwa kode dengan parameter [ n
+1, k +1, d ] tidak ada, maka C merupakan
kode optimal kuat yang telah berhasil dikonstruksi. Akan tetapi, ketika diperoleh
