Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Arus Mesh

9.2.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Arus Mesh

Berikut ini kita akan melihat beberapa kasus yang mungkin kita jumpai dalam mencari persamaan arus mesh untuk satu mesh tertentu. Kasus-kasus ini sejajar dengan kasus-kasus yang kita jumpai pada pembahasan mengenai metoda tegangan simpul.

Kasus-1: Mesh Mengandung Hanya Resistor. Pada Gb.9.6. mesh BCEFB dan CDEC, terdiri

A B C D hanya dari elemen

R 1 R 3 R 6 resistor saja. Aplikasi persamaan

I X I Z (9.7) untuk kedua

R 2 R R R 5 4 7 mesh ini tidak

menimbulkan

F E kesulitan, dan kita

Gb.9.6. Kasus 1. akan memperoleh persamaan:

Mesh BCEFB :

Mesh CDEC : (9.9)

Kasus-2: Mesh Mengandung Sumber Tegangan. Mesh ABFA dan BCEFB pada

Gb.9.7. v 2

A B C D mengandung

+ − sumber

R 1 R 6 tegangan. Hal

+ ini tidak akan

R 5 R menimbulkan 4 kesulitan karena

F E metoda arus

Gb.9.7. Kasus 2 : mesh dengan sumber tegangan. mesh berbasis

pada Hukum Tegangan Kirchhoff. Nilai tegangan sumber dapat langsung dimasukkan dalam persamaan, dengan memperhatikan tandanya. Untuk mesh ABFA dan BCEFB persamaan arus mesh yang dapat kita peroleh adalah :

Mesh ABFA :

Mesh BCEFB :

170 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1

Kasus-3: Mesh Mengandung Sumber Arus . Pada Gb.9.8. di cabang BF terdapat sumber arus yang menjadi anggota mesh ABFA dan BCEFB. Tegangan suatu

mesh super sumber arus tidak

A B C D tertentu sehingga

R 1 R 3 R 6 tidak mungkin

I X I Z diperoleh

v 1 i 1 R 5 R 4 persamaan arus mesh untuk ABFA

F E dan BCEFB. Untuk

Gb.9.8. Kasus 3 : mesh mengandung sumber mengatasi kesulitan

arus. ini maka kedua mesh itu digabung menjadi satu yang kita sebut mesh- super.

Pernyataan dari mesh-super ini harus terdiri dari dua persamaan yaitu persamaan untuk loop gabungan dari dua mesh, ABCEFA, dan persamaan yang memberikan hubungan antara arus-arus di

kedua mesh, yaitu I X dan I Y . Persamaan yang dimaksud adalah: loop ABCEFA :

cabang BF : I X − I Y = i 1

Jadi rangkaian tiga mesh itu kita pandang sebagai terdiri dari dua mesh saja, yaitu satu mesh biasa CDEC dan satu mesh-super ABCEFA.

CONTOH-9.4:

A 20 Ω B 10 Ω C 10 Ω D Gunakan metoda arus

20 20 Ω mesh untuk

I A I B I C 10 Ω

30 V analisis

rangkaian di samping ini.

Solusi :

Langkah pertama adalah menentukan referensi arus mesh, I A ,

I B ,I C .. Langkah kedua adalah menuliskan persamaan arus mesh untuk

setiap mesh. Perlu kita perhatikan bahwa mesh ABEA mengandung sumber tegangan. Persamaan yang kita peroleh adalah:

I A ( 20 + 20 ) − I B 20 − 30 = 0 Mesh BCEB : I B ( 20 + 10 + 20 ) − I A 20 − I C 20 = 0 Mesh CDEC : I C ( 20 + 10 + 10 ) − I B 20 = 0

Mesh ABEA :

Dalam bentuk matriks persamaan menjadi:  40 − 20 0   I A   30 

       − 20 50 − 20   I B  =  0    0 − 20 40     I C     0  

Eliminasi Gauss memberikan :  4 − 2 0   I A   3 

       0 8 − 4   I B  =  3    0 0 12     I C     3  

sehingga diperoleh I C = 0,25 A; I B = 0,5 A; I A = 1 A. Selanjutnya tegangan-tegangan simpul dan arus-arus cabang dapat ditentukan

CONTOH-9.5: Tentukan arus-arus mesh pada rangkaian di

samping ini. Perhatikanlah bahwa pada rangkaian ini terdapat sumber arus.

A 20 Ω B 10 Ω C 10 Ω D Dalam

Solusi :

kasus ini arus mesh I A

I A ditentukan oleh I 1A B 20 I Ω 20 Ω C 10 Ω sumber, yaitu

sebesar 1 A.

E Persamaan

yang dapat kita peroleh adalah :

Mesh ABEA : I A = 1

I B ( 20 + 10 + 20 ) − I A () 20 − I C () 20 = 0 Mesh CDEC : I C ( 20 + 10 + 10 ) − I B () 20 = 0

Mesh BCEB :

yang dalam bentuk matriks dapat ditulis

172 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1

      − 20 50 − 20 I B 2 2 I  0   5 =  0   − −   B  =  

  0 − 20 40     I C     0  

Eliminasi Gauss memberikan :  1 0 0   I A   1 

Dengan demikian maka nilai arus-arus mesh adalah :

I C = 0,25 A; I B = 0,5 A; I A = 1 A.

Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung. CONTOH-9.6: Tentukan arus mesh pada rangkaian di samping ini.

Perhatikan mesh super bahwa ada

A 20 Ω B 10 Ω C 10 Ω sumber arus D yang

20 Ω I A I B I C

menjadi

anggota dari 1A 20 Ω 10 Ω

E dua mesh

yang berdampingan.

Solusi:

Kedua mesh berdampingan yang sama-sama mengandung sumber arus itu kita jadikan satu mesh-super. Persamaan arus mesh yang dapat kita peroleh adalah :

I A ( 20 + 20 ) + I B ( 10 + 20 ) − I C () 20 = 0

mesh super { I A − I B = − 1

I C ( 20 + 10 + 10 ) − I B () 20 = 0

Dalam bentuk matriks persamaan arus mesh tersebut menjadi

 40 30 − 20   I A   0 

            1 − 1 0   I B  =  − 1  atau  1 − 1 0   I B  =  − 1 

  0 − 1 2     I C     0   yang memberikan  4 3 − 2   I A   0 

  0 − 20 40     I C     0  

       0 − 7 2   I B  =  − 4    0 0 12     I C     4  

Jadi I C = 1/3 A, I B = 2/3 A, dan I A = − 1/3 A.

Selanjutnya arus cabang dan tegangan simpul dapat dihitung. Dengan uraian dan contoh-contoh di atas dapat kita katakan secara

singkat bahwa : • Untuk suatu mesh X dengan arus mesh I x yang terdiri dari m cabang dan n dari m cabang ini menjadi anggota dari mesh lain

yang masing-masing mempunyai arus mesh I y , berlaku

I X ∑ R x + ∑ R y ( I X − I y ) = 0 atau

Aplikasi formula ini untuk seluruh mesh menghasilkan persamaan arus mesh rangkaian.

• Mesh X yang mengandung sumber arus yang tidak menjadi anggota dari mesh lain, arus mesh I x

ditentukan oleh sumber arus tersebut.

• Sumber arus dan mesh-mesh yang mengapitnya dapat menjadi mesh-super dengan suatu hubungan internal yaitu beda arus mesh dari kedua mesh sama dengan arus sumber.