Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Tegangan Simpul

9.1.2. Kasus-Kasus Dalam Mencari Persamaan Tegangan Simpul

Persamaan tegangan simpul untuk suatu simpul diperoleh melalui aplikasi HAK untuk simpul tersebut. Jika terdapat suatu cabang yang mengandung sumber tegangan bebas (yang merupakan elemen dengan arus dan resistansi tak diketahui), kita akan menemui sedikit kesulitan dalam penurunan persamaan tegangan simpul. Berikut ini kita akan mempelajari penurunan persamaan tegangan untuk suatu simpul dengan melihat beberapa kasus jenis elemen yang berada pada cabang-cabang rangkaian yang terhubung ke simpul tersebut.

Kasus-1: Cabang-Cabang Berisi Resistor. Dalam kasus ini persamaan (9.4) dapat kita aplikasikan tanpa kesulitan. Perhatikan hubungan simpul-simpul seperti terlihat pada Gb.9.1.

A v C tidak semuanya

Walaupun referensi arah arus

B G 1 G 2 C meninggalkan simpul A

i 3 namun hal ini tidak akan G 3

menggangu aplikasi v D D persamaan (9.2) untuk

simpul A. Gb.9.1. Cabang berisi resistor. Persamaan untuk simpul A:

v A ( G 1 + G 2 + G 3 ) − G 1 v B − G 2 v C − G 3 v D = 0 (9.3)

Sekiranya kita menuruti referensi arus pada Gb.9.1. kita akan memperoleh persamaan arus untuk simpul A sebagai i 1 − i 2 − i 3 = 0, yang akan memberikan persamaan tegangan simpul

G 1 ( v B − v A ) − G 2 ( v A − v C ) − G 3 ( v A − v D ) = 0 atau − v A ( G 1 + G 2 + G 3 ) + v B G 1 + v C G 2 + v D G 3 = 0

yang tidak lain adalah persamaan (9.4) yang diperoleh sebelumnya. Kasus-2: Cabang Berisi Sumber Arus. Perhatikan Gb.9.2. Dalam

kasus ini kita tidak mengetahui konduktansi yang ada antara simpul

A dan D yang berisi v A sumber arus bebas. Tetapi

v B A v C hal ini tidak memberikan kesulitan dalam aplikasi

B G 1 G 2 C (9.2) untuk simpul A, karena sesungguhnya

I s persamaan (9.2) itu

berangkat dari persamaan v D D arus untuk suatu simpul.

Gb.9.2. Cabang berisi sumber arus. Dengan demikian maka

nilai arus yang ditunjukkan oleh sumber arus itu dapat kita masukkan dalam persamaan tanpa mengubahnya menjadi hasil kali antara konduktansi dengan beda tegangan simpul.

Yang perlu diperhatikan adalah arah referensi arusnya, yang harus bertanda positif apabila ia meninggalkan simpul yang sedang ditinjau, sesuai dengan persyaratan persamaan (9.2). Untuk simpul

A pada Gb.9.2. persamaan yang diperoleh adalah:

v A ( G 1 + G 2 ) − I s − v B G 1 − v C G 2 = 0 (9.4)

160 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1

Kasus-3: Cabang Berisi Sumber Tegangan. Dalam kasus ini terdapat dua

v A kemungkinan.

v B A v C Kemungkinan pertama :

salah satu simpul

B G 1 G 2 C sumber tegangan

V s + menjadi simpul referensi

− seperti terlihat pada

Gb.9.3. Simpul A menjadi

Gb.9.3. Cabang berisi sumber tegangan. simpul terikat, artinya tegangannya ditentukan oleh tegangan sumber; jadi tegangan simpul

A tidak perlu lagi dihitung, v A =V s .

Kemungkinan yang kedua: simpul-simpul v A

v B A v yang mengapit sumber C

B C tegangan bukan

G 1 G 2 merupakan simpul

V s + − pada Gb.9.4. Dalam hal

referensi seperti terlihat

terakhir ini, sumber

E F tegangan beserta kedua

v E G 3 D G 4 v F simpul yang v D

mengapitnya kita Gb.9.4. Sumber tegangan antara dua jadikan sebuah simpul-

simpul yang bukan simpul referensi. super (super-node). Jadi

simpul A, D, dan sumber tegangan pada Gb.9.4. kita pandang sebagai satu simpul-super.

Hukum Arus Kirchhoff berlaku juga untuk simpul-super ini. Persamaan tegangan untuk simpul-super ini tidak hanya satu melainkan dua persamaan, karena ada dua simpul yang di-satu-kan, yaitu:

• persamaan tegangan simpul yang diturunkan dari persamaan arus seperti halnya persamaan (9.4), ditambah dengan

• persamaan tegangan internal simpul-super yang memberikan hubungan tegangan antara simpul-simpul yang digabungkan menjadi simpul-super tersebut.

Perhatikan Gb.9.4: Simpul-super terdiri dari simpul A, D dan sumber tegangan V s. Simpul-super ini terhubung ke simpul-simpul

B dan C melalui A dengan konduktansi G 1 dan G 2 ; ia juga terhubung ke simpul-simpul E dan F melalui D dengan kunduktansi

G 3 dan G 4 . Persamaan tegangan untuk simpul-super ini adalah :

dan (9.5) v A − v D = V s

Demikianlah tiga kasus yang mungkin kita hadapi dalam mencari persamaan tegangan pada suatu simpul. Dalam peninjauan kasus- kasus tersebut di atas, kita hanya melihat rangkaian resistor. Walaupun demikian metoda ini dapat kita gunakan untuk rangkaian dengan elemen dinamis yang akan kita lihat kemudian.

Berikut ini kita akan melihat aplikasi metoda tegangan simpul untuk rangkaian resistor. Rangkaian yang akan kita lihat masih termasuk sederhana, yang juga dapat dipecahkan dengan menggunakan metoda analisis dasar. Akan tetapi yang kita tekankan di sini adalah melihat bagaimana metoda tegangan simpul ini diaplikasikan.

CONTOH-9.1: Carilah tegangan simpul A, B, C, dan D pada rangkaian di bawah ini. R 1 R 3 R 5

Rangkaian ini berbentuk tangga dan perhatikan bahwa di sini kita mempunyai sumber arus, bukan sumber tegangan.

Langkah pertama adalah menentukan simpul referensi umum, yang dalam hal ini kita tetapkan simpul E. Dengan demikian kita mempunyai empat simpul yang bukan simpul referensi yaitu A,

B, C dan D.

162 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1

Langkah kedua adalah mencari persamaan tegangan simpul dengan mengaplikasikan persamaan (2.30) pada ke-empat simpul non-referensi tersebut di atas. Persamaan tegangan simpul yang kita peroleh adalah :

v A () G 1 − 0 . 4 − v B () G 1 = 0

v B ( G 1 + G 2 + G 3 ) − v A () G 1 − v C () G 3 = 0

B () G 3 − v D () G 5 = 0

v D ( G 5 + G 6 ) − v C () G 5 = 0

dengan G 1 , G 2 ….G 6 adalah konduktansi elemen-elemen yang besarnya adalah G i = 1/R i . Dalam bentuk matriks, dengan memasukkan nilai-nilai G, persamaan ini menjadi

    v D    0   10 10 10   Nilai elemen matriks ini kita perbaiki agar perhitungan

selanjutnya menjadi lebih mudah. Jika baris pertama sampai ke- tiga kita kalikan 20 sedangkan baris ke-empat kita kalikan 10, akan kita peroleh

      0 0 − 1 2   v D   0  Eliminasi Gauss memberikan:

0 0 11 v

  C     0 0 0 16   v D   16 

Dengan demikian maka kita dapat menghitung tegangan- tegangan simpul mulai dari simpul D sebagai berikut :

16 + 6 → v D =

16 16 + 6 × v

v A = 8 + v B = 12 V

Dengan diperolehnya nilai tegangan simpul, arus-arus cabang dapat dihitung.

CONTOH-9.2: Carilah tegangan pada simpul A, B, C, dan D pada rangkaian berikut. R 1 R 3 R 5

Simpul A terhubung ke simpul referensi melalui sumber tegangan. Dengan demikian simpul A merupakan simpul terikat yang nilai tegangannya ditentukan oleh sumber tegangan, yaitu

30 V. Persamaan tegangan simpul yang dapat kita peroleh adalah: v A = 30

v B ( G 1 + G 2 + G 3 ) − v A G 1 − v C () G 3 = 0 v C ( G 3 + G 4 + G 5 ) − v B () G 3 − v D () G 5 = 0

v D ( G 5 + G 6 ) − v C () G 5 = 0

Dengan memasukkan nilai-nilai konduktansi dan menuliskannya dalam bentuk matriks, kita memperoleh

164 Sudaryatno Sudirham, Analisis Rangkaian Listrik Jilid 1

Kita ubah nilai elemen matriks untuk mempermudah perhitungan seperti yang kita lakukan pada contoh sebelumnya dengan mengalikan baris ke-2 dan ke-3 dengan 20 dan mengalikan baris ke-4 dengan 10.

 1 0 0 0   v A   30  

Eliminasi Gauss memberikan :  1 0 0 0   v A   30 

       0 4 − 2 0  B  v  =  30 

0 0 8 − 4   v C   30  

      0 0 0 16   v D   30 

Maka :

= 5 V;

30 + 10 v B =

= 10 V; v A = 30 V