Pendahuluan Model Linier Umum Pendekatan Bayes

BAB V SIFAT-SIFAT STATISTIK DARI DUGAAN MODEL KALIBRASI DENGAN PENDEKATAN BAYES

A. Pendahuluan

Model kalibrasi menggambarkan hubungan antara berbagai respons dari instrumen analitik dengan satu atau lebih karakteristik dari suatu bahan aktif. Model ini mengandung parameter yang nilainya harus diduga dari referensi agar dapat digunakan untuk menduga karakteristik dari bahan aktif baru yang belum diketahui. Pada penelitian ini model kalibrasi dirumuskan dalam persamaan y = X β, y adalah vektor berukuran nx1 dengan unsur-unsurnya merupakan nilai konsentrasi senyawa aktif hasil pengukuran dengan High Performance Liquid Chromatography HPLC. Matriks X berukuran nxp merupakan matriks data hasil pengukuran menggunakan Fourier Transform Infrared FTIR. Perilaku umum X yaitu, antar kolom mariks X terdapat multikolinear dan besaran n jauh lebih kecil dari p np. Vektor β adalah vektor parameter yang akan diduga berukuran px1. Pada Bab ini akan dilakukan kajian teoritik sifat-sifat statistik dugaan model kalibrasi dengan pendekatan Bayes. Pendekatan Bayes yang digunakan adalah pendekatan Bayes hirarki dan non hirarki. Pada BAB IV secara empirik diperoleh hasil bahwa pendekatan Bayes hirarki relatif tidak dipengaruhi oleh penentuan prior. Berdasarkan hasil tersebut penurunan secara teori pada bab ini dilakukan hanya untuk model pendekatan Bayes normal.

B. Model Linier Umum Pendekatan Bayes

Lindley dan Smith 1972 menguraikan, jika y adalah vektor pengamatan berukuran nx1, θ 1 adalah vektor parameter yang berukuran px1 dan diketahui sebaran masing-masing sebagai berikut: y ∼ NA 1 θ 1 , C 1 5.1 θ 1 ∼ NA 2 θ 2 , C 2 5.2 θ 2 adalah vektor parameter yang berukuran px1, A 1 dan A 2 adalah matriks nonsingular berukuran nxp yang berpangkat p, serta C 1 dan C 2 adalah matriks berukuran nxn yang diketahui besarannya, maka : a Sebaran marjinal y akan mengikuti sebaran NA 1 A 2 θ 2, C 1 + A 1 C 2 A 1 ′ 5.3 b θ 1 |y ∼ NBb, B; 5.4 1 2 1 1 1 1 1 − − − + = C A C A B 2 2 1 2 1 1 1 θ A C y C A b − − + = Pembuktian kedua hal diatas diuraikan sebagai berikut: a Sebaran marjinal y akan mengikuti sebaran Normal A 1 A 2 θ 2, C 1 + A 1 C 2 A 1 ′ Bukti: Penggabungan 5.1 dan 5.2 dapat dituliskan dalam bentuk persamaan berikut: y = A 1 θ 1 +u, u ∼ N0, C 1 5.5 θ 1 = A 2 θ 2 +v, v ∼ N0, C 2 5.6 Berdasarkan 5.5 dan 5.6 y dapat dirumuskan sebagai berikut: y = A 1 A 2 θ 2 + A 1 v + u, u dan v saling bebas Ey = EA 1 A 2 θ 2 + A 1 v + u = EA 1 A 2 θ 2 + EA 1 v + Eu = A 1 A 2 θ 2 5.7 Var y = Var A 1 A 2 θ 2 + A 1 v + u = VarA 1 A 2 θ 2 + VarA 1 v + u = VarA 1 v + u = Var A 1 v + Varu = A 1 C 2 A 1 ′ + C 1 5.8 Berdasarkan 5.7 dan 5.8 terbukti bahwa Sebaran marjinal y mengikuti sebaran Normal A 1 A 2 θ 2, C 1 + A 1 C 2 A 1 ′ b θ 1 |y ∼ NBb, B; 5.9 1 2 1 1 1 1 1 − − − + = C A C A B 2 2 1 2 1 1 1 θ A C y C A b − − + = Bukti : P θ 1 |y = | 1 1 y P P y P θ θ , karena Py bukan fungsi dari θ 1 maka dapat dituliskan P θ 1 |y ∼ Py|θ 1 P θ 1 5.10 Jika y ∼ NA 1 θ 1 , C 1 , dan θ 1 ∼ NA 2 θ 2 , C 2 maka persamaan 5.10 dapat dituliskan sebagai berikut: P θ 1 |y ∼ e -½Q 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ θ A C A A y C A y Q − − + − − = − − Bila 1 2 1 1 1 1 1 − − − + = C A C A B , dan 2 2 1 2 1 1 1 θ A C y C A b − − + = maka 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 θ θ θ θ θ A C A y C y b B Q − − − + + − = 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 b B b A C A y C y b B B b B − + + − − = − − − θ θ θ θ ta Kons b B B b B tan 1 1 1 + − − = − θ θ 5.11 Persamaan 5.11 membuktikan bahwa θ 1 |y ∼ NBb, B

C. Model Kalibrasi dengan Model Normal Pendekatan Bayes