Jika y ∼ NA
1
θ
1
, C
1
, dan θ
1
∼ NA
2
θ
2
, C
2
maka persamaan 5.10 dapat dituliskan sebagai berikut:
P θ
1
|y ∼ e
-½Q
2 2
1 1
2 2
2 1
1 1
1 1
1 1
θ θ
θ θ
θ θ
A C
A A
y C
A y
Q −
− +
− −
=
− −
Bila
1 2
1 1
1 1
1 −
− −
+ =
C A
C A
B , dan
2 2
1 2
1 1
1
θ A
C y
C A
b
− −
+ =
maka 2
2 2
1 2
2 2
1 1
1 1
1 1
θ θ
θ θ
θ A
C A
y C
y b
B Q
− −
−
+ +
− =
2 2
1 2
2 2
1 1
1 1
1
b B
b A
C A
y C
y b
B B
b B
− +
+ −
− =
− −
−
θ θ
θ θ
ta Kons
b B
B b
B tan
1 1
1
+ −
− =
−
θ θ
5.11 Persamaan 5.11 membuktikan bahwa
θ
1
|y ∼ NBb, B
C. Model Kalibrasi dengan Model Normal Pendekatan Bayes
Pada pendekatan Bayes seringkali diasumsikan sebaran prior β mengikuti
sebaran normal. Jika diasumsikan pengamatan y
i
saling bebas dan berasal dari populasi normal dengan rataan X
β dan ragam σ
2
I, y
i
∼ NXβ, σ
2
I, i = 1, 2, ... , n Fungsi kepekatan peluang dari y
i
adalah
−
− =
− 2
2 2
1 2
2
2 1
exp 2
, β
σ πσ
σ β
X y
y f
i i
5.12 Fungsi kemungkinan dari n data diperoleh sebagai berikut :
− −
− =
−
2 1
exp 2
,
2 2
2 2
β β
σ πσ
σ β
X y
X y
y f
n
, Jika
β β
β β
ˆ ˆ
X X
X y
X y
i i
− +
− =
− , maka :
+ −
− +
− −
− =
−
tan ˆ
ˆ ˆ
ˆ 2
1 exp
2 ,
2 2
2 2
ta kons
X X
X y
X y
y f
n
β β
β β
β β
σ πσ
σ β
5.13
Bila digunakan metode prior sekawan, L
βy = fyβ akan diperoleh
−
− +
− −
− =
−
ˆ ˆ
ˆ ˆ
2 1
exp 2
,
2 2
2 2
β β
β β
β β
σ πσ
σ β
X X
X y
X y
y L
n
∝
−
− −
− −
−
− −
− −
−
β β
β β
σ σ
β β
σ σ
ˆ ˆ
2 1
exp ˆ
ˆ 2
1 exp
2 2
2 2
1 2
2 2
X X
x X
y X
y
k k
n
5.14 L
β,σ
2
y mengikuti sebaran normal gamma, dimana sebaran dari β|σ
2
adalah Normal
β,X’X
-1
σ
2
dan sebaran marginal dari σ
2
adalah kebalikan gamma dengan derajat bebas n-k-2. Jika prior sekawan gabungan
β dan σ
2
adalah πβ,σ
2
maka πβ,σ
2
= πβ|σ
2
. πσ
2
, dimana πβ|σ
2
= N β
, σ
2
M
-1
dan πσ
2
= iGS , v
, sehingga sebaran posterior dapat diperoleh sebagai berikut
π β,σ
2
y = L β,σ
2
y. πβ|σ
2
. πσ
2
∝
− −
−
−
−
ˆ ˆ
2 1
exp 2
exp
2 2
2 2
β β
β β
σ σ
σ
X X
S
n
x
−
− −
−
− −
− 2
1 2
2 2
2 2
2 exp
2 1
exp σ
σ β
β β
β σ
σ S
M
v k
∝
−
− −
−
− −
+ −
2 1
exp 2
exp
1 1
1 2
2 2
2 1
1 2
2
β β
β β
σ σ
σ σ
M S
k n
v
5.15 M
1
= X
’
X + M
[ ]
β β
β ˆ
1 1
1
X X
M M
+ =
−
ˆ ˆ
β β
X y
X y
S −
− =
S
1
= S + S + S
â
[ ]
ˆ ˆ
1 1
1
β β
β β
β
− +
− =
− −
−
X X
M S
Nilai tengah dari sebaran posterior β diperoleh melalui penurunan log dari
fungsi posterior sebagai berikut:
[ ]
ˆ ˆ
,
2
β β
β β
β β
β β
β β
σ β
π −
− +
− −
∂ ∂
= ∂
∂ M
X X
y Log
5.16
= ∂
∂ β
σ β
π ,
2
y Log
0, 2
2 ˆ
2 2
= −
+ −
β β
β β
M M
X X
X X
ˆ β
β β
M X
X M
X X
+ =
+ ˆ
1
β β
β M
X X
M X
X +
+ =
−
5.17 Sedangkan besaran ragam dari
β|y,σ
2
diperoleh sebagai berikut:
[ ]
ˆ ,
1 2
β β
σ β
M X
X M
X X
V y
V +
+ =
−
[ ]
ˆ
1
β β M
X X
V M
X X
+ +
=
−
[ ]
ˆ
1
β β
V M
XV X
M X
X +
+ =
−
[ ]
2 1
2 1
1
σ σ
− −
−
+ +
= M
M X
X X
X M
X X
2 1
σ
−
+ =
M X
X 5.18
Persamaan 5.17 dan 5.18 setara dengan 5.4 untuk
1 −
+ =
M X
X B
dan ˆ
β β M
X X
b +
= Berdasarkan hasil diatas dapat diringkaskan bahwa sebaran data, sebaran prior dan
sebaran posterior adalah sebagai berikut: Sebaran data : y|X,
β ∼ Normal Xβ, σ
2
I Sebaran prior :
β|σ
2
∼ Normal β ,
σ
2
M
-1
σ
2
∼ IG
2
S , v
Sebaran posterior : β|y,σ
2
∼ Normal β
1
, σ
2
M
1 -1
σ
2
∼ IG
2
S
1
, v
1
, v
1
= v +n
Nilai harapan dari nilai tengah posterior dapat diuraikan sebagai berikut:
[ ]
ˆ
1 1
β β
β M
X X
M X
X E
E +
+ =
−
[ ]
ˆ
1 1
β β
β E
M XE
X M
X X
E +
+ =
−
5.19 Pada penduga parameter menggunakan Metode Kuadrat terkecil
ˆ β
E =
β, dan β adalah konstanta dengan E
β =
β, sehingga β
β
1 1
M X
X M
X X
E +
+ =
−
= β
Oleh karena itu β
1
merupakan penduga tak berbias bagi β. Sedangkan pada
pendekatan Bayes besarnya bias pada pendugaan parameter β, sangat dipengaruhi
oleh simpangan antara besaran β
terhadap β.
C. Model Linier Umum Pendekatan Bayes Berhirarki
