Nilai harapan dari nilai tengah posterior dapat diuraikan sebagai berikut:
[ ]
ˆ
1 1
β β
β M
X X
M X
X E
E +
+ =
−
[ ]
ˆ
1 1
β β
β E
M XE
X M
X X
E +
+ =
−
5.19 Pada penduga parameter menggunakan Metode Kuadrat terkecil
ˆ β
E =
β, dan β adalah konstanta dengan E
β =
β, sehingga β
β
1 1
M X
X M
X X
E +
+ =
−
= β
Oleh karena itu β
1
merupakan penduga tak berbias bagi β. Sedangkan pada
pendekatan Bayes besarnya bias pada pendugaan parameter β, sangat dipengaruhi
oleh simpangan antara besaran β
terhadap β.
C. Model Linier Umum Pendekatan Bayes Berhirarki
Smith 1973 menguraikan model linier umum pendekatan Bayes sebagai berikut:
Jika y ∼ NA
1
θ
1
, C
1
, 5.20 θ
1
∼ NA
2
θ
2
, C
2
, 5.21 θ
2
∼ NA
3
θ
3
, C
3
, 5.22 maka :
a Sebaran marjinal θ
1
akan mengikuti sebaran Normal A
2
A
3
θ
3,
C
2
+ A
2
C
3
A
2 ′
Bukti: Penggabungan 5.20 dan 5.21 dapat dituliskan dalam bentuk persamaan
berikut: θ
1
= A
2
θ
2
+u, u ∼ N0, C
2
5.23 θ
2
= A
3
θ
3
+v, v ∼ N0, C
3
5.24 Berdasarkan 5.23 dan 5.24 y dapat dirumuskan sebagai berikut:
θ
1
= A
2
A
3
θ
3
+ A
2
v + u, u dan v saling bebas E
θ
1
= EA
2
A
3
θ
3
+ A
2
v + u = EA
2
A
3
θ
3
+ EA
2
v + Eu = A
2
A
3
θ
3
5.25 Var
θ
1
= Var A
2
A
3
θ
3
+ A
2
v + u = VarA
2
A
3
θ
3
+ VarA
2
v + u = VarA
2
v + u = Var A
2
v + Varu = A
2
C
3
A
2 ′
+ C
2
5.26
Berdasarkan 5.25 dan 5.26 terbukti bahwa Sebaran marjinal θ
1
mengikuti sebaran Normal A
2
A
3
θ
3,
C
2
+ A
2
C
3
A
2 ′
b
θ
1
|Ai, Ci, θ
3
, y ∼ N
1
θ , D
1
; 5.27
[ ]
1 2
3 2
2 1
1 1
1 1
1 −
− −
+ +
= A
C A
C A
C A
D 5.28
[ ]
3 3
2 1
2 3
2 2
1 1
1
θ A
A A
C A
C y
C A
d
− −
+ +
= 5.29
1
θ = D
1
d 5.30
1
ˆ D
adalah sampling dispersion matriks. Jika
1
ˆ θ adalah penduga kuadrat terkecil dari θ
1
maka diperoleh persamaan y
C A
D
1 1
1 1
1 1
ˆ
− −
= θ
5.31
1 1
1 1
1 1
ˆ A
C A
D
− −
= 5.32
Sehingga persamaan 5.28 dan 5.29 dapat dituliskan sebagai berikut:
[ ]
1 2
3 2
2 1
1 1
1
ˆ
− −
−
+ +
= A
C A
C D
D 5.33
[ ]
3 3
2 1
2 3
2 2
1 1
1 1
1 1
ˆ ˆ
θ θ
θ A
A A
C A
C D
D
− −
−
+ +
= 5.34
Jika
1 3
=
−
C , persamaan 5.33 dan 5.34 dapat dituliskan sebagai berikut:
1 2
2 1
2 1
2 1
2 2
1 2
1 2
1 1
1 1
1 1
− −
− −
− −
−
− +
= C
A A
C A
A C
C A
C A
D 5.35
1 1
1 1
1 1
ˆ ˆ
θ θ
− −
= D D
5.36 Berdasarkan 5.36 dapat diperoleh
1
θ dengan langkah-langkah penguraian sebagai berikut:
Jika persamaan 5.35 dirumuskan dalam persamaan
1 1
−
D = D - EFE
’
1 2
1 1
1 1
− −
+ =
C A
C A
D ;
2 1
2
A C
E
−
= ;
1 2
1 2
1 2
− −
− =
A C
A F
Menggunakan konsep matriks kebalikan D + EFE
’ -1
= D
-1
- D
-1
EE
’
D
-1
E + F
-1 -1
E
’
D
-1
, diperoleh
{ [
1 2
1 2
2 1
2 1
2 2
1 2
1 1
2 1
1 1
1 1
− −
− −
− −
− +
+ =
C A
A C
A A
C I
C A
C A
D
}
]
1 1
2 1
1 1
1 1
2 1
2 1
2 1
2 1
2 1
1 2
1 2
− −
− −
− −
− −
+ +
C A
C A
C A
A C
C A
C A
x
5.37 Menggunakan operasi matriks D+B
-1
=D
-1
- D
-1
D
-1
+B
-1 -1
D
-1
persamaan dalam kurung kurawal dapat dituliskan sebagai berikut:
{ }
2 1
2 1
1 1
1 1
2
A C
A C
A A
− −
−
+ 5.38
dan
{ }
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
2 −
− −
− −
− −
− −
+ =
+ A
C A
C A
C A
C A
C A
C 5.39
Berdasarkan persamaan 5.36, 5.37, 5.38 dan 5.39 dapat diperoleh persamaan bagi
1
θ sebagai berikut:
[ [ {
}
]
1 2
1 2
1 1
1 1
1 2
2 1
2 1
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
ˆ
− −
− −
− −
− −
−
+ +
+ =
A C
A C
A A
A C
A C
A C
A C
A θ
θ
{
}
]
1 1
2 1
1 1
1 1
2
ˆ θ
− −
−
+ C A
C A
xA ˆ
ˆ
2 1
2 2
2 1
2 1
1 1
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
θ θ
θ
− −
− −
− −
+ +
= D
D A
C A
C A
C A
C A
ˆ ˆ
2 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
1
θ θ
θ A
C A
C A
C A
C A
− −
− −
−
+ +
= 5.40
Kondisi
1 3
=
−
C merupakan model Bayes non hirarki, sehingga persamaan
5.40 identik dengan persamaan 5.9.
D. Kuadrat Tengah Galat Penduga Bayes
