35
Jadi, Deret Fourier dari adalah
Mayer Humi William B. Miller, 1992. Kemudian diberikan definisi fungsi genap dan fungsi ganjil.
Definisi 2.35 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Humi, 1992
Diberikan fungsi terdefinisi pada interval . Fungsi
dikatakan sebagai fungsi genap jika pada interval dan
dikatakan sebagai fungsi ganjil jika pada interval .
36
Contoh 2.36
1. Fungsi merupakan fungsi ganjil, karena
untuk setiap pada interval .
2. Fungsi merupakan fungsi genap, karena
untuk setiap pada interval .
3. Fungsi
bukan merupakan fungsi genap maupun fungsi ganjil karena
Kemudian dibahas mengenai Deret Fourier sinus dan Deret Fourier cosinus.
Teorema 2.37 Deret Fourier Sinus Humi, 1992
Diberikan fungsi terdefinisi pada interval dan dapat diperluas
sebagai fungsi ganjil pada interval
Jika Deret Fourier dari ada, maka Deret Fourier tersebut berbentuk
dengan
37
Bukti: Diketahui fungsi
terdefinisi pada interval dan dapat diperluas sebagai fungsi ganjil
pada interval Deret Fourier dari ada,
sehingga Deret Fourier tersebut adalah
dengan
Dimisalkan , sehingga diperoleh
38
Karena merupakan fungsi ganjil dan
merupakan fungsi genap, sehingga diperoleh
dan
39
Karena merupakan fungsi ganjil dan
merupakan fungsi ganjil, diperoleh
Jadi terbukti bahwa Deret Fourier untuk adalah
dengan
Deret Fourier ini disebut Deret Fourier sinus fungsi .
Contoh 2.38 Diberikan fungsi
40
Akan ditentukan Deret Fourier sinus untuk fungsi tersebut. Berdasarkan Teorema 2.37 maka Deret Fourier sinus dari fungsi
adalah
dengan
Jadi, Deret Fourier dari adalah
41
Teorema 2.39 Deret Fourier Cosinus Humi, 1992
Diberikan fungsi terdefinisi pada interval dan dapat diperluas
sebagai fungsi genap pada interval
Jika Deret Fourier dari ada, maka Deret Fourier tersebut berbentuk
dengan
Bukti : Diketahui fungsi
terdefinisi pada interval dan dapat diperluas sebagai fungsi genap
pada interval Deret Fourier dari ada, sehingga Deret
Fourier tersebut adalah
dengan
42
Dimisalkan , sehingga diperoleh
karena merupakan fungsi genap, maka
43
Karena dan
merupakan fungsi genap, sehingga diperoleh
Jadi terbukti bahwa Deret Fourier untuk adalah
dengan
Torema 2.39 disebut juga deret Fourier cosinus. Deret Fourier ini disebut Deret Fourier cosinus fungsi
.
44
Contoh 2.40 Diberikan fungsi
Akan ditentukan Deret Fourier cosinus untuk fungsi tersebut. Berdasarkan Teorema 2.39 maka Deret Fourier cosinus dari fungsi
adalah
dengan
dan
45
Jadi Deret Fourier cosinus dari fungsi adalah
K. Metode Separasi Variabel
Metode Separasi Variabel adalah metode untuk mencari penyelesaian persamaan diferensial dengan cara mengasumsikan penyelesaian tersebut
merupakan perkalian dari fungsi-fungsi variabel bebas yang ada pada persamaan diferensial tersebut. Metode separasi variabel bertujuan untuk mereduksi
persamaan diferensial parsial yang diberikan menjadi bentuk persamaan diferensial biasa. Dengan demikian persamaan diferensial parsial tersebut lebih
mudah untuk dicari penyelesaiannya.
46
Diberikan persamaan diferensial linear homogen dengan variabel bebas dan
, serta variabel tak bebas yang dilengkapi dengan syarat batas tertentu. Diasumsikan penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut adalah
Langkah-langkah penyelesaian persamaan diferensial tersebut dengan metode separasi variabel yaitu sebagai berikut Humi, 1992:
1. Persamaan disubstitusi ke persamaan diferensial.
2. Hasil dari langkah 1 dibagi dengan .
3. Jika hasil dari langkah 2 dapat dinyatakan sebagai jumlahan suku-suku
yang hanya tergantung dari dan suku-suku yang hanya tergantung dari ,
maka dengan konstanta pemisah atau akan didapat sistem dua
persamaan diferensial biasa. 4.
Gunakan syarat batas yang diberikan untuk menentukan syarat batas untuk persamaan diferensial biasa dari langkah 3.
5. Selesaikan persamaan diferensial Masalah syarat Batas hasil dari langkah
3 dan langkah 4. 6.
Diperoleh , yang merupakan penyelesaian dari persamaan diferensial di atas. Kemudian dengan prinsip superposisi
ditentukan penyelesaian umumnya. 7.
Gunakan nilai awal yang diberikan, kemudian ditentukan penyelesaian Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas.
Contoh 2.41 Diberikan persamaan diferensial parsial
47
dengan syarat batas
dan nilai awal
Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas 2.15 sampai 2.17 akan diselesaikan dengan menggunakan metode Separasi Variabel. Jika diasumsikan
adalah penyelesaian dari MNASB di atas maka langkah-langkah penyelesaiannya sebagai berikut:
1. Persamaan disubstitusikan ke Persamaan 2.15
sehingga diperoleh
2. Persamaan 2.18 dibagi dengan sehingga diperoleh
atau
3. Untuk mendapatkan dua persamaan diferensial biasa dari Persamaan 2.19,
digunakan konstanta pemisah – sehingga
Dari Persamaan 2.20 diperoleh dua persamaan diferensial biasa yaitu
48
dan
4. Jika digunakan syarat batas 2.16 yaitu dengan
pada persamaan maka diperoleh
dan
Berdasarkan Persamaan 2.20 disyaratkan , sehingga
. 5.
Diperoleh Masalah Sturm-Liouville sebagai berikut
Selanjutnya dicari penyelesaian non trivial dari Masalah Sturm- Liouville 2.22a dan 2.22b yang dapat ditinjau menjadi tiga
kemungkinan yaitu untuk dan .
Kemungkinan 1 : Dari persamaan 2.22a didapat
, penyelesaiannya adalah
, dengan A dan B konstanta sebarang. Jika digunakan syarat batas 2.22b yaitu
, maka diperoleh . Jadi untuk Masalah Syarat Batas 2.22a dan 2.22b
mempunyai penyelesaian trivial.
49
Kemungkinan 2 : Persamaan 2.22a mempunyai persamaan karakteristik
Karena diketahui , persamaan karakteristiknya
menjadi , dan akar-akar karakteristiknya adalah dan – yang
bernilai real. Penyelesaian Persamaan 2.22a adalah dengan
dan konstanta sebarang. Jika digunakan syarat batas 2.22b yaitu
, maka diperoleh
dan
Karena , sehingga . Penyelesaian Masalah Sturm-
Liouville 2.22a dan 2.22b adalah penyelesaian trivial .
Jadi untuk Masalah Syarat Batas 2.22a dan 2.22b
mempunyai penyelesaian trivial. Kemungkinan 3 :
50
Persamaan 2.22a mempunyai persamaan karakteristik . Karena diketahui
, persamaan karakteristiknya menjadi , dan akar-akar karakteristiknya adalah bilangan kompleks
dan – . Penyelesaian Persamaan 2.22a adalah
dengan dan konstanta sebarang. Jika digunakan syarat batas 2.16b yaitu
, maka diperoleh
dan
Agar mempunyai penyelesaian non trivial diambil sehingga
diperoleh
Jadi untuk Masalah Sturm-Liouville 2.22a dan 2.22b mempunyai
penyelesaian non trivial dengan Nilai Eigen
dan konstanta sebarang,
Jadi penyelesaian Masalah Sturm-Liouville 2.22a dan 2.22b adalah
