12
Terbukti. Aturan-aturan atau teorema pencarian turunan fungsi hiperbolik adalah
sebagai berikut.
Bentuk lain dari , sementara
.
Teorema 2.7 Turunan Fungsi Sinh Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010
Jika , maka
. Bukti:
Karena bentuk lain dari adalah
, sehingga
13
Terbukti.
Teorema 2.8 Turunan Fungsi Cosh Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010
Jika , maka
Bukti: Karena bentuk lain dari
adalah , sehingga
Terbukti.
D. Aturan Rantai pada Turunan
Sebelum membahas teorema aturan rantai pada turunan, perlu diketahui sifat dasar dari suatu turunan. Dalam hal ini akan ditunjukkan hubungan antara
keberadaan turunan suatu fungsi pada titik terhadap kekontinuan suatu fungsi
tersebut pada titik .
Teorema 2.9 Kekontinuan Fungsi Bartle, 2000
Jika mempunyai turunan pada maka kontinu pada .
14
Bukti: Diberikan interval
, dan berlaku . Akan dibuktikan bahwa kontinu pada
dengan menunjukkan bahwa mendekati ketika . Untuk setiap , sedangkan , sedemikian sehingga
Karena ada, maka nilai limitnya ada. Sehingga diperoleh
Karena selisih mendekati 0 ketika , dapat disumpulkan bahwa
. Sehingga kontinu pada .
Terbukti. Pernyataan-pernyataan berikut merupakan ringkasan dari hubungan antara
kekontinuan dan turunan. i
Jika suatu fungsi memiliki turunan pada , maka fungsi tersebut
kontinu pada . Sehingga, turunan mengakibatkan kekontinuan.
15
ii Ada kemungkinan suatu fungsi kontinu pada
, tetapi tidak memiliki turunan pada
. Sehingga, kekontinuan tidak menjamin adanya turunan.
Sebagai ilustrasi dari teorema kekontinuan tersebut, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2.10 Diberikan fungsi
1. untuk
Merupakan fungsi yang memiliki turunan pada , sehingga fungsi
tersebut kontinu pada . Karena jika diambil diperoleh
. 2.
untuk . Merupakan fungsi yang kontinu, tetapi tidak punya turunan pada
. Karena untuk
diperoleh, untuk dan
untuk . Namun untuk nilai limitnya tidak terdefinisi. Sehingga fungsi
tersebut tidak punya turunan pada .
Aturan rantai dapat digunakan untuk mempermudah penurunan suatu fungsi komposit. Fungsi komposit merupakan suatu fungsi yang variabel
bebasnya adalah suatu fungsi juga.
16
Teorema 2.11 Aturan Rantai pada Turunan Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010
Misalkan dan . Jika g terdiferensiasikan di dan
terdiferensiasikan di , maka fungsi komposit , yang didefinisikan
oleh adalah terdiferensiasikan di dan
yakni
atau
Bukti: Misalkan bahwa
dan , bahwa terdiferensiasikan di dan bahwa
terdiferensiasikan di Ketika diberikan pertambahan , terdapat pertambahan yang berkorespondensi dalam
dan yang diberikan oleh
Jadi,
