25
dengan untuk
adalah konstanta, juga penyelesaian dalam interval I.
Bukti: Misalkan
didefinisikan sebagai
operator diferensial
dan adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
homogen, sehingga Jika didefinisikan
, maka linearitas dari adalah
karena nilai dari maka
Terbukti. Persamaan diferensial parsial linear order dua dengan variabel tak bebas
dan variabel bebas dan , yang terdefinisi pada domain mempunyai bentuk
umum sebagai berikut
26
Definisi 2.25 Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Humi, 1992
Persamaan diferensial 2.4 disebut i
elliptik jika untuk semua
ii parabolik
jika untuk semua
iii hiperbolik jika
untuk semua
Sebagai ilustrasi dari definisi klasifikasi persamaan diferensial parsial linear order dua tersebut, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2.26 Persamaan diferensial
1 Laplace
merupakan persamaan diferensial elliptik, karena
2 Panas
merupakan persamaan diferensial parabolik, karena
3 Gelombang
merupakan persamaan diferensial hiperbolik, karena
27
G. Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas
Pada bagian ini akan dibahas mengenai pengertian Nilai Awal, Syarat Batas serta Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas yang menyertai suatu persamaan
diferensial parsial. Mengingat apabila persamaan diferensial diselesaikan, maka akan diperoleh suatu penyelesaian umum. Namun untuk memperoleh
penyelesaian khusus diperlukan adanya nilai awal dan syarat batas. Menurut Humi, 1992 yang dimaksud dengan nilai awal adalah kondisi
yang harus dipenuhi pada awal waktu tertentu . Dalam hal ini persamaan
Laplace merupakan persamaan yang tidak disertai dengan nilai awal, karena persamaan Laplace tidak bergantung pada waktu. Sebagai contoh dari pengertian
nilai awal tersebut, diberikan suatu persamaan panas dengan nilai awal . Nilai awal
menyatakan bahwa suhu pada posisi saat waktu
adalah
Syarat Batas adalah suatu syarat atau kondisi yang harus dipenuhi pada batas-batas domain terkait dengan ruang Humi, 1992. Sebagai ilustrasi,
diberikan suatu persamaan panas dengan syarat batas dan
. Syarat batas
menunjukkan bahwa suhu pada posisi saat waktu dipertahankan sebesar nol derajat, sedangkan
menunjukkan bahwa perubahan suhu terhadap posisi
saat waktu dipertahankan nol derajat.
Selanjutnya akan diuraikan mengenai jenis-jenis syarat batas untuk persamaan diferensial parsial order dua. Diberikan domain
dengan dan merupakan titik-titik batas . Bentuk umum syarat batas adalah
28
dan dengan
sebarang konstanta. Dalam Humi, 1992 syarat batas dikatakan i
Dirichlet jika syarat batasnya memberikan nilai dari sebarang fungsi pada atau dapat ditulis
dan dengan dan fungsi dalam variabel .
ii Neumann jika syarat batasnya memberikan nilai turunan
terhadap pada atau dapat ditulis
dan dengan
dan fungsi dalam variabel . iii
Robin jika syarat batasnya memberikan relasi linear antara dengan pada
atau dapat ditulis dan
dengan sebarang konstanta serta dan fungsi dalam variabel .
Sebagai ilustrasi mengenai jenis-jenis syarat batas tersebut, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2.27 Diberikan persamaan diferensial
. Syarat batas
1 merupakan Syarat Batas Dirichlet.
2 merupakan Syarat Batas Neumann.
3 merupakan Syarat Batas Robin.
29
Selanjutnya akan diuraikan mengenai Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas atau disingkat MNASB. Masalah yang bersesuaian dengan persamaan
diferensial parsial akan rumit jika jumlah penyelesaian independen untuk persamaan tersebut adalah tak terbatas Humi, 1992. Sehingga formulasi lengkap
dari sistem fisik dalam hal persamaan diferensial parsial membutuhkan perhatian tidak hanya untuk persamaan yang mengatur sistem tetapi juga untuk perumusan
yang benar dari kondisi batas maupun kondisi awal. Masalah nilai awal dan syarat batas adalah masalah yang terdiri dari suatu persamaan diferensial yang
dilengkapi dengan nilai awal dan syarat batas. Kemudian jika masalah nilai awal dan syarat batas tersebut diselesaikan maka akan diperoleh penyelesaian khusus.
Sebagai ilustrasi mengenai pengertian masalah nilai awal dan syarat batas tersebut, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2.28 Diberikan sebuah senar dengan panjang
yang diikat pada kedua ujungnya. Kemudian senar tersebut dipetik. Pergerakan senar pertama kali saat
mempunyai fungsi posisi untuk , sehingga diperoleh nilai awal
. Setelah dipetik, pergerakan di kedua ujung senar yang terikat pada
dan dipertahankan nol untuk . Sehingga diperoleh syarat batas
dan
Jadi diperoleh Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas sebagai berikut
dengan nilai awal
30
dan syarat batas
H. Masalah Sturm-Liouville dan Fungsi Eigen
Definisi 2.29 Masalah Sturm-Liouville Dean G. Duffy, 2003
Diberikan persamaan diferensial linear berorde 2 berikut ini
dengan syarat batas
Dalam hal ini nilai dari dan merupakan fungsi bilangan real
atas sedangkan adalah suatu parameter. Nilai dari merupakan
suatu konstanta real, sedangkan nilai dari dan merupakan suatu fungsi
yang kontinu dan positif yang terletak pada interval Persamaan 2.5
disebut sebagai persamaan Sturm-Liouville dan bersama-sama dengan syarat batas pada Persamaan 2.6 dan 2.7, membentuk suatu Masalah Sturm-
Liouville. Jika diperhatikan pada Persamaan 2.5, masalah tersebut mempunyai
penyelesaian untuk setiap nilai yaitu , . Penyelesaian
tersebut dinamakan dengan penyelesaian trivial. Tetapi akan diperoleh penyelesaian lain yang tak nol jika mengambil nilai
tertentu, maka penyelesaian
31
tersebut dinamakan penyelesaian non trivial. Nilai yang bersesuaian dinamakan
nilai eigen dan fungsinya disebut sebagai fungsi eigen.
I. Persamaan Karakteristik
Diberikan persamaan diferensial homogen berorder dua dengan variabel tak bebas
dan variabel bebas yang terdefinisi pada domain sebagai berikut
dengan dan merupakan suatu konstanta. Untuk memudahkan mencari
penyelesaian Persamaan 2.8 diperlukan suatu persamaan karakteristik yang sepadan dengan persamaan tersebut. Persamaan karakteristik dapat diperoleh
dengan melakukan subtitusi dan
berturut-turut oleh dan
. Sehingga dalam hal ini persamaan karakteristik yang sepadan dengan Persamaan
2.8 adalah
Persamaan karakteristik yang diperoleh berupa persamaan pangkat biasa yang dapat diselesaikan dengan melakukan pemfaktoran sehingga diperoleh akar-
akar karakteristik. Secara umum, akar-akar karakteristik dari suatu persamaan diferensial linear homogen orde 2 menurut Ross, 1984 dibedakan menjadi tiga,
yaitu 1.
Akar-akar karakteristik riil berbeda. Misalkan akar dari persamaan karakteristik pada Persamaan 2.9 adalah
dan dengan
, maka penyelesaian umum dari Persamaan 2.9 adalah
32
2. Akar-akar karakteristik riil kembar.
Misalkan akar dari persamaan karakteristik pada Persamaan 2.9 suatu akar riil kembar yaitu
, maka penyelesaian umum dari Persamaan 2.9 adalah
3. Akar-akar karakteristik bilangan kompleks.
Misalkan akar dari persamaan karakteristik pada Persamaan 2.9 adalah dan
, maka penyelesaian umum dari Persamaan 2.9 adalah
Sebagai ilustrasi dari definisi persamaan karakteristik dan akar-akar karakteristik tersebut, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2.30
1. Akan ditentukan penyelesaian umum dari
Persamaan karakteristik yang sepadan dengan Persamaan 2.13 adalah
dan Karena diperoleh akar-akar karakteristik riil berbeda, sehingga berdasarkan
Persamaan 2.10 diperoleh penyelesaian umum Persamaan 2.13 sebagai berikut
