Turunan Parsial TINJAUAN PERSAMAAN LAPLACE DIMENSI DUA DENGAN SYARAT BATAS DIRICHLET DAN ROBIN.
23
dengan .
Persamaan diferensial dikatakan muncul dalam bentuk linear jika memenuhi syarat-syarat berikut ini:
i derajat dari variabel tak bebas dan turunan-turunannya adalah satu
ii tidak ada perkalian antara variabel tak bebas dengan turunan-turunannya
dan perkalian antara turunan dengan turunannya iii
tidak ada fungsi transenden dari variabel-variabel tak bebas.
Persamaan diferensial yang tidak memenuhi syarat-syarat tersebut disebut persamaan diferensial non linear.
Diberikan persamaan diferensial parsial linear order dengan satu
variabel tak bebas dan dua variabel bebas dan yang terdefinisi pada domain
didefinisikan sebagai berikut:
dengan ,
dan fungsi dan konstanta yang diberikan dalam variabel
dan .
Definisi 2.22 Persamaan Diferensial Homogen Humi, 1992
Persamaan 2.3 disebut persamaan diferensial homogen jika .
24
Contoh 2.23 Berikut ini contoh-contoh persamaan diferensial
1 2
3 4
Contoh 2.23 1 merupakan persamaan diferensial biasa, berorder enam, berderajat satu, linear, dan homogen.
Contoh 2.23 2 merupakan persamaan diferensial biasa, berorder tiga, berderajat dua, non linear, dan non homogen
Contoh 2.23 3 merupakan persamaan diferensial parsial, berorder tiga, berderajat satu, linear, dan homogen,
Contoh 2.23 4 merupakan persamaan diferensial biasa, berorder dua dan berderajat satu, non linear, dan homogen,
Selanjutnya akan diberikan teorema mengenai prinsip superposisi yang berlaku untuk persamaan diferensial homogen berorder
.
Teorema 2.24 Prinsip Superposisi Dennis G Zill, 2005
Jika adalah penyelesaian dari persamaan diferensial homogen
berorde dari Persamaan 2.3 pada interval I, maka kombinasi linearnya
adalah
25
dengan untuk
adalah konstanta, juga penyelesaian dalam interval I.
Bukti: Misalkan
didefinisikan sebagai
operator diferensial
dan adalah penyelesaian dari persamaan diferensial
homogen, sehingga Jika didefinisikan
, maka linearitas dari adalah
karena nilai dari maka
Terbukti. Persamaan diferensial parsial linear order dua dengan variabel tak bebas
dan variabel bebas dan , yang terdefinisi pada domain mempunyai bentuk
umum sebagai berikut