60
Penyelesaian untuk komponen fluks sebagai berikut
Berdasarkan hukum konservasi yang menyatakan bahwa fluks yang masuk berbanding lurus dengan fluks yang keluar Vemuri, 1981, maka
Substitusi Persamaan 3.5a sampai dengan Persamaan 3.5d ke Persamaan 3.6 diperoleh
61
Apabila Persamaan 3.7 dikalikan dengan sehingga diperoleh
atau dapat ditulis
Karena dan , sehingga Persamaan 3.8 menjadi
karena
maka Persamaan 3.9 menjadi
Kasus di atas dilakukan pada bidang persegi panjang dengan sumber potensial
. Jika sumber potensial terletak pada posisi
untuk
62
, maka diperoleh syarat batas . Karena bidang persegi
panjang ketiga sisinya terbatas pada dan , sedangkan
potensial pada ketiga sisi tersebut dipertahankan sebesar nol sehingga diperoleh syarat batas
. Dari Persamaan 3.13 dan syarat batas yang telah diketahui, didapatkan Masalah Syarat Batas sebagai berikut:
Persamaan 3.10 merupakan Persamaan Laplace dimensi dua, dengan menunjukkan potensial secara umum. Sedangkan potensial secara khususnya
bergantung pada area fisika yang akan dikaji, dalam Vemuri, 1981 beberapa area fisika yang dimaksud dapat dilihat pada tabel berikut
Tabel 1: Potensial dan Fluks dalam Beberapa Area Fisika
No Area Fisika
Variabel p Potensial Variabel f Fluks 1
Elektrodinamika Tegangan
Arus Listrik 2
Elektrostatis Potensial Listrik
Fluks 3
Mekanika Fluida Tekanan
Laju Aliran 4
Perambatan Panas Suhu
Aliran Suhu
63
B. Penyelesaian Masalah Syarat Batas Persamaan Laplace pada Koordinat
Kartesius dan Koordinat Polar 1.
Permasalahan Syarat Batas Dirichlet pada Bidang Persegi Panjang
Syarat batas pada bidang persegi panjang berdasarkan Persamaan 3.12 sampai dengan Persamaan 3.15 dapat diilustrasikan dalam bentuk koordinat
kartesius seperti gambar berikut
Gambar 3.3 Syarat Batas Dirichlet pada Bidang Persegi Panjang
Masalah persamaan Laplace pada bidang persegi panjang dengan panjang dan lebar , kemudian diasumsikan bahwa sumber potensial
.
Masalah tersebut dapat disajikan secara matematis sebagai berikut:
dengan syarat batas
64
Akan ditentukan
penyelesaian dari
Persamaan 3.16
dengan menggunakan metode separasi variabel. Misalkan
sehingga
Apabila Persamaan 3.18 dan 3.19 disubstitusikan ke Persamaan 3.16, maka diperoleh
Persamaan 3.20 dibagi dengan sehingga diperoleh
dengan mengambil variabel pemisah negatif , sehingga Persamaan 3.21
menjadi
Berdasarkan Persamaan 3.22 diperoleh dua persamaan diferensial biasa yaitu
65
dan
Dalam kasus ini digunakan syarat batas , dengan
pada persamaan maka diperoleh
dan
Berdasarkan Persamaan 3.21 disyaratkan , sehingga
, dan diperoleh Masalah Nilai Eigen Sturm-Liouville sebagai berikut
Selanjutnya ditentukan penyelesaian non trivial dari Persamaan 3.25 dan 3.26 yang dapat ditinjau menjadi tiga kemungkinan yaitu
dan .
Kemungkinan 1: untuk nilai
, sehingga Persamaan 3.25 menjadi
66
dengan syarat batas . Penyelesaian umum dari Persamaan 3.27
adalah
syarat batas
syarat batas
karena nilai dan , sehingga nilai dari , hal tersebut akan
berakibat nilai . Jadi, untuk nilai
diperoleh penyelesaian trivial.
Kemungkinan 2: untuk nilai
, sehingga Persamaan 3.25 menjadi
dengan syarat batas . Penyelesaian umum dari Persamaan 3.28
dapat dicari dengan mengintegralkan kedua ruas, sehingga diperoleh
syarat batas
67
syarat batas
karena nilai tidak sama dengan nol, hal tersebut akan berakibat nilai
. Jadi, untuk nilai
diperoleh penyelesaian trivial.
Kemungkinan 3: untuk nilai
, sehingga Persamaan 3.25 menjadi
dengan syarat batas . Penyelesaian umum dari Persamaan 3.29
adalah
syarat batas
syarat batas
Agar diperoleh solusi nontrivial, maka nilai . Tetapi nilai dari
68
karena nilai bergantung dengan , sehingga
. Oleh karena itu Persamaan 3.30 dapat dituliskan
Jadi untuk Masalah Nilai Eigen Sturm-Liouville 3.25 dan 3.26
mempunyai penyelesaian non trivial sebagai berikut
dengan Nilai Eigen dan
konstanta sebarang. Selanjutnya akan ditentukan penyelesaian dari Persamaan
yaitu Mengingat nilai yang memenuhi adalah
dan nilai
bergantung pada . Hal tersebut berakibat nilai dari juga bergantung pada
, sehingga Persamaan 3.24 dapat
dituliskan menjadi
dengan syarat batas . Penyelesaian umum dari Persamaan 3.32 adalah
syarat batas
