16
Teorema 2.11 Aturan Rantai pada Turunan Dale Varberg Edwin J Purcell, 2010
Misalkan dan . Jika g terdiferensiasikan di dan
terdiferensiasikan di , maka fungsi komposit , yang didefinisikan
oleh adalah terdiferensiasikan di dan
yakni
atau
Bukti: Misalkan bahwa
dan , bahwa terdiferensiasikan di dan bahwa
terdiferensiasikan di Ketika diberikan pertambahan , terdapat pertambahan yang berkorespondensi dalam
dan yang diberikan oleh
Jadi,
17
Berdasarkan Teorema 2.9 yang menyatakan bahwa jika punya turunan di ,
maka kontinu di , sehingga . Hal tersebut mengakibatkan ,
mengingat merupakan fungsi atas . Oleh karena itu,
Terbukti. Pada penulisan bab III, aturan rantai digunakan dalam proses pengubahan
persamaan Laplace dari koordinat kartesius ke dalam koordinat polar. Sebagai ilustrasi dari teorema mengenai aturan rantai pada turunan tersebut, perhatikan
contoh berikut ini.
Contoh 2.12 Diberikan fungsi
.
Akan ditentukan turunan pertama dari fungsi sebagai berikut.
Fungsi dapat dinyatakan sebagai dengan
dan . Karena
dan sehingga
18
Apabila menggunakan notasi Leibnitz, maka turunan dapat ditentukan sebagai
berikut. Jika dimisalkan
, dengan , maka
dan . Sehingga
E. Turunan Parsial
Turunan parsial merupakan turunan dari sebuah fungsi dari beberapa variabel terhadap salah satu variabel bebasnya, dengan menganggap semua
variabel bebas yang lainnya konstan Spiegel, 1992.
Definisi 2.13 Turunan Parsial Spiegel, 1992
Misalkan suatu fungsi merupakan fungsi dari dua variabel dan , turunan
parsial dari terhadap dan berturut-turut dinyatakan oleh
dan ,
dengan definisi:
serta
jika limit-limit itu ada.
19
Andaikan bahwa adalah suatu fungsi dua variabel dan , dengan
menganggap konstan, maka
adalah fungsi satu variabel . Turunan fungsi
di disebut turunan parsial
terhadap di dan
dinyatakan oleh . Jadi
Dengan cara yang sama, turunan parsial terhadap di
dinyatakan dengan
dan diberikan oleh
Sebagai ilustrasi dari definisi turunan parsial tersebut, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2.14 Akan ditentukan dan
dari fungsi
Menurut Definisi 2.13 sehingga diperoleh
20
dan
F. Persamaan Diferensial
Dalam bagian ini akan dijelaskan tentang persamaan diferensial.
Definisi 2.15 Persamaan Diferensial Ross, 1984
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.
21
Berdasarkan banyaknya variabel bebas, persamaan diferensial dapat diklasifikasikan menjadi dua yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan
diferensial parsial. Berikut diberikan definisi persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.16 Persamaan Diferensial Biasa Ross, 1984
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
Definisi 2.17 Persamaan Diferensial Parsial Ross, 1984
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel
bebas. Persamaan diferensial biasa PDB dinotasikan dengan notasi Leibniz
atau notasi prima ,
atau bisa juga dinotasikan dengan
. Persamaan diferensial parsial PDP dinotasikan dengan
untuk turunan pertama fungsi atas variabel tak bebas terhadap variabel bebas
. Untuk turunan parsial kedua, ketiga dan seterusnya sampai turunan ke
berturut-turut dinotasikan sebagai .
Persamaan diferensial parsial juga bisa dinotasikan dengan untuk
turunan kedua fungsi atas variabel tak bebas terhadap variabel bebas .
Selanjutnya diberikan definisi order dan derajat persamaan diferensial.
22
Definisi 2.18 Order Persamaan Diferensial Ross, 1984
Order persamaan diferensial adalah order tertinggi dari semua turunan yang terdapat pada persamaan diferensial tersebut.
Definisi 2.19 Derajat Persamaan Diferensial Ross, 1984
Derajat persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari order tertinggi dari semua turunan pada persamaan diferensial.
Sebagai ilustrasi dari definisi order dan derajat persamaan diferensial parsial tersebut, perhatikan contoh berikut ini.
Contoh 2.20 Berikut ini contoh persamaan diferensial
1 , merupakan persamaan diferensial biasa berorder 2 dan
berderajat 1. 2
, merupakan persamaan diferensial parsial berorder 2 dan berderajat 2.
Berdasarkan hubungan antara variabel tak bebas dan turunan-turunannya, persamaan diferensial order
dibagi menjadi dua yaitu persamaan diferensial linear dan persamaan diferensial non linear.
Definisi 2.21 Persamaan Diferensial Linear Ross, 1984
Persamaan diferensial linear order dengan variabel bebas dan variabel tak
bebas dapat dinyatakan sebagai berikut
23
dengan .
Persamaan diferensial dikatakan muncul dalam bentuk linear jika memenuhi syarat-syarat berikut ini:
i derajat dari variabel tak bebas dan turunan-turunannya adalah satu
ii tidak ada perkalian antara variabel tak bebas dengan turunan-turunannya
dan perkalian antara turunan dengan turunannya iii
tidak ada fungsi transenden dari variabel-variabel tak bebas.
Persamaan diferensial yang tidak memenuhi syarat-syarat tersebut disebut persamaan diferensial non linear.
Diberikan persamaan diferensial parsial linear order dengan satu
variabel tak bebas dan dua variabel bebas dan yang terdefinisi pada domain
didefinisikan sebagai berikut:
dengan ,
dan fungsi dan konstanta yang diberikan dalam variabel
dan .
Definisi 2.22 Persamaan Diferensial Homogen Humi, 1992
Persamaan 2.3 disebut persamaan diferensial homogen jika .
