Untuk mengatasi kesulitan memperoleh variabel basis tersebut, dapat ditambahkan suatu variabel khayal, yang disebut variable artifical . Variabel artifical
ini mempunyai suatu koefisien fungsi tujuan yang sangat besar. Dimana harga ini dapat positif maupun negatif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimisasi atau
minimisasi. Bila dinyatakan dengan notasi, maka koefisien variabel artifical pada fungsi tujuan
adalah : M
C
a
− =
, untuk maksimisasi M
C
a
+ =
, untuk minimisasi M adalah bilangan positif sangat besar, dan
a
C adalah koefisien fungsi tujuan untuk variabel artifical
b
X .
2.4.4. Metode Simpleks
Metode simpleks adalah suatu prosedur aljabar ietratif yang dikembangkan oleh George B. Dantizg pada tahun 1947 untuk memecahkan persoalan-persoalan program
linier. Dalam menguraikan metode simpleks ini untuk selanjutnya akan dipakai pengertian persoalan maksimasi, karena minimisasi fungsi tujuan adalah sama dengan
maksimisasi negative fungsi tujuan tersebut. Persoalan program linier yang dipecahkan dengan menggunakan metode
simpleks haruslah persoalan yang telah diubah kedalam bentuk standard dan mempunyai variabel basis, baik sebagai variabel slack ataupun variabel artifical .
Dalam bentuk matematis, persolan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut
Fungsi Tujuan :
Maksimisasiminimisasi :
∑
=
=
r j
j j
X C
Z
1
Fungsi Pembatas
: Untuk lebih jelasnya, maka fungsi pembatas akan diuraikandijelaskan dalam
bentuk perkalian matriks. Fungsi pembatas dalam bentuk perkalian matriks adalah :
Universitas Sumatera Utara
=
×
+ +
+ +
+ m
m r
m r
m r
r m
mr m
m r
r
b b
X X
a a
a a
a a
a a
a a
M M
K K
M K
K
1 1
, 1
, 1
1 ,
2 1
1 ,
1 1
12 11
Dimana :
j
C = Koefisien fungsi tujuan untuk variable ke-j
ij
a = Koefisien fungsi tujuan pembatas ke-i untuk variable ke-j
m
= Jumlah fungsi pembatas r = Jumlah variable asli
i
b = Harga ruas kanan fungsi pembatas ke-i dan
satuan matriks
I a
a a
a
m m
r m
r m
m r
r
= =
+ +
+ +
, 1
, ,
1 1
, 1
K M
K
Selanjutnya akan dijelaskan prosedur iterasi metode simpleks untuk memperoleh solusi optimal yang feasible. Untuk memudahkan dalam penjelasan ini,
maka digunakan table iterasi simpleks
Universitas Sumatera Utara
Table 2.1 Iterasi Simpleks
j
C
m r
r r
C C
C C
+ +
L L
1 1
i
N
i
Cb
m r
r r
X X
X X
+ +
L L
1 1
1
b
1
φ
m r
r r
+ ⋅
⋅ ⋅
+ +
2 1
m r
r
C C
+ +1
m r
r r
a a
a a
+ +
, 1
1 ,
1 1
11
L L
m r
m r
mr m
a a
a a
+ +
, 1
, 1
1
L L
1
b
m
b
1
φ
m
φ
j
Z
j j
C Z
−
i
N = Variabel basis untuk fungsi pembatas ke-i
i
Cb
= Koefisien fungsi tujuan variabel ke N
i r
X X K
1
= Variabel-variabel asli
m r
r
X X
+ +
K
1
= Variabel-variabel basis awal
∑
=
× =
m i
ij i
j
a Cb
Z
1
Untuk melakukan iterasi metode simpleks ini, ada 3 langkah yang perlu dilakukan, yaitu :
1. Mencari variabel X
k
yang akan menjadi variabel basis yang baru
Universitas Sumatera Utara
2. Mencari variabel basis yang lama X
q
yang akan diganti 3. Menyusun tabel baru dengan menghitung harga
i ij
b dan
a yang baru.
Ketiga langkah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut : 1. Mencari variabel X
k
yang akan menjadi variabel basis yang baru, dengan cara : a. Menghitung harga
j j
C Z
− untuk j = 1, 2 , … , r + m b. Jika ada satu atau lebih harga
j j
C Z
− ≤ 0, maka variabel dengan harga
j j
C Z
− negatif terbesar adalah sebagai variabel basis yang terbaru. c. Bila semua harga
j j
C Z
− ≥ 0, maka iterasi telah mencapai kondisi optimal dan perhitungan dihentikan sampai disini.
d. Bila Z
k
– C
k
adalah negatif terbesar, dan ≤
ik
a untuk setiap 1 = 1, … , m
maka solusi yang diperoleh adalah unbounded. Apabila
≥
ik
a untuk paling
sedikit harga 1, maka iterasi dilanjutkan dengan terlebih dahulu mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru X
k
. 2. Mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru X
k
a. Hitung harga m
i a
b
ik i
i
, ...
, 2
, 1
, =
= φ
b. Varibel basis lama yang akan digantikan adalah variabel basis dengan harga terkecil
positif
i
φ misalkan
1 =
i
φ .
3. Menyusun tabel simpleks yang baru dengan X
k
adalah variabel basis baru yang menggantikan X
k
. Transformasi yang akan dilakukan adalah : a.
k N
i
= b.
k i
C Cb
= c.
a a
ij
= Ketiga langkah ini diulang terus untuk setiap iterasi sampai diperoleh harga Z
j
- C
j
semuanya positif untuk j = 1,2, … , r + m yang berarti bahwa solusi yang diperoleh telah optimum yaitu fungsi tujuan adalah maksimum.
Universitas Sumatera Utara
Contoh Soal :
1. Minimum Z = 3X
1
+ 5X
2
Kendala :
2X
1
= 8 3X
2
≤ 15 6X
1
+ 5X
2
≥ 30 X
1
0, X
2
≥ 0
Penyelesaian :
Ubah kedalam bentuk Standar : Minimum :
Z = 3X
1
+ 5X
2
+ 0X
3
+ MX
4
+ 0X
5
+ MX
6
Kendala 2X
1
+ X
4
= 8 3X
2
+ X
5
= 15 6X
1
+ 5X
2
– X
3
+ X
6
= 30 X
j
≥ 0, j = 1,2,...6
Iterasi 0
3 5 0 M 0 M
Basis C
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
B X
4
M 2
1 8
X
5
3 0 0 1 0 15 X
6
M 6
5 -1 0 0 1 30 Z
j
- C
j
8M-3 5M-5 -M 0
0 38M
8M-3 merupakan positif terbesar, karena Ө minimal {
6 30
, 15
, 2
8 };sehingga
variabel X
4
keluar basis dan X
1
masuk basis.
Maka didapat nilai-nilai X
1
, X
5
, dan X
6
Yaitu :
Universitas Sumatera Utara
X
1
= 1, 0, 0, 2
1 , 0, 0, 4
X
5
: 0 - 0 1 = 0 3 - 0 0 = 3
0 - 0 0 = 0 0 - 0
2 1
= 0 1 - 0 0 = 1
0 - 0 0 = 0 15
– 0 4 = 15
X
6
: 6 – 61 = 0
5 - 6 0 = 5 -1 – 6 0 = -1
0 – 6 2
1 = -3
0 – 6 0 = 0 1 – 6 0 = 1
30 – 6 4 = 6
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 1
3 5 0 M 0 M
Basis C X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
B X
1
3 1 0
2 1
0 0 4 X
5
0 0 3 0 0 1
15
X
6
M 5
-1 -3
1 6
Z
j
- C
j
M 5M-5
-M 2
3 4
+ − M
0 0 6M+12
5M-5 merupakan positif terbesar,karena Ө minimal {
5 6
, 3
15 ,
4 }sehingga variabel
X
6
keluar basis dan X
2
masuk basis.
X
1
= 3, 1, 0, 0, 2
1 ,0 ,0 ,4
X
5
= 0, 0, 0, 5
3 ,
5 9
, 1, 5
3 − ,
5 57
X = 5, 0, 1, 5
1 − ,
5 3
− , 0, 5
1 ,
5 6
Iterasi 2
3 5 0 M 0 M
Basis C
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
B X
1
3 1 0 0 2
1 0 0 4
X
5
0 0 0 5
3 5
9 1
5 3
− 5
57
X
2
5 0 1 5
1 −
5 3
− 5
1 5
6
Z
j
- C
j
0 0 -1 M
− −
2 3
1 – M
18
Universitas Sumatera Utara
Karena Z
j
– C
j
≤ 0 telah bernilai positif maka telah solusi telah optimal, dan perhitungan telah selesai.
2.5. Formulasi Fungsi Konstribusi Marginal Sebagai Fungsi Tujuan
