inilah yang menentukan jumlah barang yang akan diproduksikan suatu perusahaan dimana jenis dan jumlah sumber daya tersebut sangat terbatas.
Dalam kondisi yang demikian pimpinan perusahaan perlu dan harus mengambil sikap dalam menentukan jenis dan jumlah produk yang akan diproduksi
dengan sumber daya yang sangat terbatas agar laba yang diperoleh maksimal. Lebih lanjut faktor-faktor yang menentukan luas produksi suatu perusahaan
antara lain adalah sebagai berikut : 1. Tersedianya bahan dasar
2. Tersedianya kapasitas mesin yang dimiliki 3. Tersedianya tenaga kerja
4. Batasan permintaan 5. Tersedianya faktor-faktor produksi yang lain
Dengan tersedianya kelima factor produksi diatas maka luas produksi dapat ditentukan dengan menggunakan pendekatan program linier.
2.3 Diagram aliran untuk pengolahan teh
X
1
Mesin 1 X
2
Mesin 2 X
4
Mesin 3 X
5
Mesin 4
X
6
Grade 1 Air X
3
X
7
Grade 2
X
8
Grade 3
Universitas Sumatera Utara
Keterangan :
Mesin 1 X
9
: Pelayuan Mesin 2 X
10
: Penggulungan + Fermentase Mesin 3 X
11
: pengeringan Mesin 4 X
12
: Sortase X
6
: Jenis Teh Grade 1 X
7
: Jenis Teh Grade 2 X
8
: Jenis Teh Grade 3 X
1
: Jumlah input bahan yang diolah X
2
: Jumlah recovery yang masuk ke mesin 2 X
3
: Jumlah air yang digunakan untuk proses pada mesin 2 X
4
: Jumlah recovery yang masuk ke mesin 3 X
5
: Jumlah recovery yang masuk ke mesin 4
Dalam gambar 2.3 dapat dilihat urutan proses pengolahan Teh. Daun teh basah merupakan bahan baku ditunjukkan oleh X
1
, selama proses sebagai bahan pembantu dibutuhkan sejumlah air yang digunakan pada mesin 2.
Input X
1
yaitu bahan mentah yang dimodifikasi oleh recovery rate tiap mesin,
jadi sejumlah input X
1
diproses pada mesin 1. Kemudian masuk mesin 2, yang masuk ke mesin 2 dinyatakan persen dari X
1
, sisanya yang tidak masuk mesin 2 dibuang, demikian seterusnya sampai diperoleh produk akhir. Masing-masing mesin
mempunyai kapasitas tertentu dan diukur dalam satuan kg.
2.4. Program linier secara umum
Program linier merupakan bagian dari program matematik, yang dimaksud dengan program linier adalah teknik-teknik yang meliputi suatu klasifikasi persoalan-
persoalan optimisasi dalam hal dimana terdapat interaksi antara banyak variable- variabel, tetapi terbatas dalam kondisi-kondisi pembatasnya. Kondisi pembatas ini
dapat timbul dari berbagai sumber, misalnya keadaan pasar, kapasitas mesin, persediaan bahan baku, penyimpanan dan sebagainya.
Universitas Sumatera Utara
Dalam program linier, fungsi-fungsi yang digunakan adalah fungsi linier, sedangkan fungsi-fungsi pembatas digunakan persamaan dan atau ketidaksamaan
linier. Variable-variabel yang digunakan juga harus variabel non-negatif. Pada umumnya program linier dapat digunakan untuk mengoptimisasikan
persoalan-persoalan yang memenuhi persyaratan sebagai berikut: 1. Fungsi tujuan dapat didefenisikan dengan jelas
2. Adanya alternative tindakan 3. Fungsi tujuan dan fungsi-fungsi pembatas harus dapat dinyatakan dalam
bentuk matematis dan bersifat linier. 4. Variabel-variabel harus saling berhubungan
5. Sumber-sumber harus dalam kondisi terbatas, misalnya kapasitas mesin, jam kerja yang tersedia dan sebagainya.
Tipe-tipe masalah yang dapat dipecahkan dengan mempergunakan program linier adalah sangat banyak, diantaranya dapat disebutkan sebagai berikut :
1. Masalah alokasi produk pada mesin-mesin 2. Masalah distribusi dan pengiriman
3. Masalah penentuan lokasi gudang 4. Masalah perencanaan produksi
5. Masalah pencampuran bahan baku untuk memperoleh pencampuran yang optimal.
Ada dua buah program linier yang banyak dipergunakan, yaitu : 1. Model program linier dengan metode simpleks
2. Model transportasi Dalam bab ini hanya diuraikan teori program linier dengan metode simpleks,
sedangkan model transportasi tidak akan diuraikan lebih lanjut.
2.4.1. Formulasi Matematika Program Linier
Secara umum persoalan program linier dapat diuraikan sebagai berikut : ” Terdapat m buah persamaan dari masing-masing r buah variable, diinginkan untuk menentukan
kombinasi r buah variabel non-negatif yang memenuhi batasan-batasan yang
Universitas Sumatera Utara
ditentukan oleh m buah persamaan atau ketidaksamaan linier tersebut, dan memaksimumkan atau meminimumkan sebuah fungsi tujuan yang linier pula”.
Secara matematik, persoalan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut 1. Memaksimumkanmeminimumkan fungsi tujuan :
r r
X C
X C
X C
Z +
+ +
= ...
2 2
1 1
2. Dengan fungsi-fungsi pembatas linier :
m i
untuk b
X a
X a
X a
i r
r i
i i
, ...
, 3
, 2
, 1
...
2 2
1 1
= ≥
= ≤
+ +
+
3. Dengan pembatas non-negatif
m i
B r
j X
i j
, ...
, 3
, 2
, 1
, ,
... ,
3 ,
2 ,
1 ,
= ≥
= ≥
4.
j i
ij
C dan
b a ,
adalah konstanta yang diketahui harganya.
Dapat pula persamaan atau ketidaksamaan linier ini dinyatakan sebagai perkalian matriks
r m
A ×
dengan matriks kolom
l r
X ×
yang hasilnya adalah suatu kolom
l m
B ×
.
≥ =
≤
×
m r
mr m
m r
r
b b
b
X X
X
a a
a a
a a
a a
a M
M M
M K
K
2 1
2 1
2 1
2 22
21 1
12 11
Sebelum model program linier ini digunakan, maka satu hal yang perlu diperhatikan adalah masalah kelinieran fungsi-fungsi tujuan dan fungsi pembatas yang
digunakan. Secara umum, kelinieran dapat digolongkan kedalam dua sifat, yaitu :
1. Sifat menambahkan Bila untuk membuat produk 1 pada mesin A diperlukan waktu t
1
jam dan untuk membuat produk 2 pada mesin A diperlukan waktu t
2
jam, maka untuk membuat produk 1 dan 2 pada mesin A diperlukan waktu t
1
+ t
2
jam.
Universitas Sumatera Utara
2. Sifat Mengalikan Bila untuk membuat 1 buah produk pada mesin A diperlukan waktu 1 jam,
maka untuk membuat 10 buah produk diperlukan waktu 10 jam.
Karena model program linier disajikan dalam berbagai variasi, yaitu fungsi tujuan yang dapat berupa maksimisasi atau minimimasi, dan fungsi-fungsi pembatas
yang dapat berbentuk = atau ≥ , maka perlu diadakan pengenalan terhadap sifat-sifat
dari bentuk-bentuk tersebut untuk memudahkan dalam penyelesaian selanjutnya.
Untuk tujuan ini akan dikemukakan 2 bentuk, yaitu : 1. Bentuk Kanonik
Bentuk ini khususnya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier dengan teori dualitas. Karakteristik bentuk ini adalah :
a. Semua variable adalah non-negatif b. Semua fungsi pembatas bertanda ≤
c. Fungsi tujuan adalah maksimasi Secara umum model program linier dalam bentuk kanonik dapat dinyatakan
sebagai berikut :
r j
X m
I X
a Pembatas
Fungsi X
C Z
Maksimasi
j j
ij r
j j
j
, ...
, 2
, 1
, ,
... ,
2 ,
1 ,
: :
1
= ≥
= ≤
=
∑
=
2. Bentuk Standard Bentuk ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier
secara langsung. Karakteristik bentuk ini adalah : a. Semua variable adalah non-negatif
b. Semua fungsi pembatas berbentuk persamaan, kecuali pembatas non- negatif bertanda
≥ 0 c. Ruas kanan setiap fungsi pembatas adalah non-negatif
d. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau minimisasi
Universitas Sumatera Utara
Setiap variasi bentuk persoalan program linier dapat diubah kedalam bentuk kanonik dengan mempergunakan satu atau beberapa transformasi dasar dari 5 buah
transformasi dasar yang akan diuraikan dibawah ini : 1. Minimasi suatu
x f
fungsi
secara sistematis adalah ekivalen dengan maksimisasi daripada negative fungsi tersebut
x f
−
.
r r
r r
X C
X C
Z Y
i Maksimisas
dengan ekivalen
adalah X
C X
C Z
Minimasi Contoh
− −
− =
− =
+ +
=
... ...
:
1 1
1 1
2. Suatu bentuk ketidaksamaan ≤ atau ≥ dapat diubah kedalam bentuk ketidaksamaan dengan arah berlawanan c dengan mengalikan -1
b X
a X
a dengan
ekivalen b
X a
X a
Contoh −
≥ −
− =
+
2 2
1 1
2 2
1 1
, :
3. Suatu bentuk persamaan dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan dengan arah yang berlawanan.
b X
a X
a dan
b X
a X
a atau
b X
a X
a dan
b X
a X
a dengan
ekivalen b
X a
X a
Contoh
− ≤
− −
≤ +
− ≤
+ ≤
+ =
+
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
, ,
:
4. Suatu bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri adalah absolut, dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan.
q X
p X
p dan
q X
p X
p dengan
ekivalen q
q X
p X
p dan
b X
a X
a dan
b X
a X
a dengan
ekivalen b
b X
a X
a Contoh
i i
− ≤
+ ≥
+ ≥
≥ +
≤ +
− ≥
+ ≥
≤ +
2 2
1 2
2 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
, ,
, ,
, :
Universitas Sumatera Utara
5. Suatu variable yang tidak diketahui tandanya bias positif, nol atau negative adalah ekivalent dengan selisih antara 2 variabel non-negatif.
X Contoh :
tidak diketahui tandanya, maka X dapat dinyatakan sebagai
, .
− +
X X
dimana 0 ≥
− +
adalah X
dan X
. Didalam penyelesaian persoalan program linier dengan mempergunakan metode
simpleks, bentuk dasar yang dipergunakan adalah bentuk standard. Karena itu setiap persoalan program linier yang akan dipecahkan dengan menggunakan metode
simpleks harus terlebih dahulu ke dalam bentuk standard. Untuk melakukan perubahan ke dalam bentuk standard, disamping kelima bentuk transformasi dasar
yang telah diuraikan terlebih dahulu diperlukan pula pengertian variable ” Slack dan Surplus ”, dimana variabel-variabel ini berfungsi untuk merubah ketidaksamaan
dengan fungsi pembatas menjadi bentuk persamaan bentuk standart tanpa mempengaruhi fungsi tujuannya.
2.4.2. Variabel Slack dan Surplus
Constrain dalam bentuk ≤ dapat dirubah ke dalam persamaan dengan menambahkan
variable baru non-negatif di ruas kiri pertidaksamaan sedemikian hingga variable baru tersebut secara numerik sama dengan selisih diantara ruas kanan dan ruas kiri
pertidaksamaan. Misalnya diketahui pada persoalan program linier bahwa salah satu fungsi pembatas
ke
∑
=
≤
r j
h j
hj
b X
a adalah
h
1
. Selanjutnya akan ditentukan suatu variabel ≥
+ h r
X ,
dimana memenuhi hubungan
h r
r j
j hj
h h
r
X X
a b
X
+ =
+
∑
≥ −
= .
1
ini disebut variable slack karena
h
b dapat dianggap sebagai batas maksimum daripada sumber yang tersedia, sedangkan
∑
= r
j j
hj
X a
1
adalah pemakaian yang sebenarnya daripada sumber tersebut. Perbedaan antara sumber yang tersedia dan yang dipakai ini adalah slack
misalnya slack jam operasi mesin , persamaan tersebut dapat ditulis :
Universitas Sumatera Utara
.
1 h
h r
r j
j hj
b X
X a
= +
+ =
∑
Jadi dengan menambahkan variable slack
h r
X
+
, maka bentuk ketidaksamaan pada fungsi pembatas ke h dapat dirubah menjadi bentuk persamaan.
Selanjutnya akan dilihat suatu bentuk ketidaksamaan dengan tanda ≥ .
Misalnya diketahui pada suatu persoalan program linier, bahwa salah satu fungsi pembatas ke k adalah
∑
=
≥
r j
k j
kj
b X
a
1
. Kemudian tentukan suatu variabel tertentu ≥
+ h r
X , dimana memenuhi hubungan
=
+ h r
X
∑
=
−
r j
k j
kj
b X
a
1
.
h r
X
+
ini disebut variable surplus, karena
k
b dapat dianggap sebagai salah satu jumlah minimum produk yang harus dibuat dan
∑
= r
j j
kj
X a
1
adalah jumlah produk yang sebenarnya dibuat. Perbedaan antara jumlah produk yang sebenarnya dibuat dengan yang
seharusnya dibuat adalah surplus, persamaan tersebut dapat ditulis :
∑
= +
= −
r j
k h
r j
kj
b X
X a
1
.
2.4.3. Variabel Artificial
Untuk dapat memecahkan persoalan program linier dengan menggunakan metode simpleks harus ada 1variable-variabel basis dalam fungsi-fungsi pembatas untuk
memperoleh solusi basis awal yang feasible. Untuk fungsi-fungsi pembatas dengan tanda
≤ , maka variabel basis dapat diperoleh dengan menambah variable slack . Tetapi bila fungsi pembatas mempunyai bentuk ketidaksamaan dengan tanda
≥ , maka variabel slack yang bersangkutan bertanda “ negatif ”.
Misalnya :
b x
a x
a ≥
+
2 2
1 1
diubah menjadi bentuk persamaan :
b S
x a
x a
= −
+
1 2
2 1
1
. Demikian pula bila fungsi pembatas berbentuk persamaan, maka tidak selalu dapat
diperoleh variable basis.
Universitas Sumatera Utara
Untuk mengatasi kesulitan memperoleh variabel basis tersebut, dapat ditambahkan suatu variabel khayal, yang disebut variable artifical . Variabel artifical
ini mempunyai suatu koefisien fungsi tujuan yang sangat besar. Dimana harga ini dapat positif maupun negatif, tergantung pada sifat fungsi tujuannya maksimisasi atau
minimisasi. Bila dinyatakan dengan notasi, maka koefisien variabel artifical pada fungsi tujuan
adalah : M
C
a
− =
, untuk maksimisasi M
C
a
+ =
, untuk minimisasi M adalah bilangan positif sangat besar, dan
a
C adalah koefisien fungsi tujuan untuk variabel artifical
b
X .
2.4.4. Metode Simpleks
Metode simpleks adalah suatu prosedur aljabar ietratif yang dikembangkan oleh George B. Dantizg pada tahun 1947 untuk memecahkan persoalan-persoalan program
linier. Dalam menguraikan metode simpleks ini untuk selanjutnya akan dipakai pengertian persoalan maksimasi, karena minimisasi fungsi tujuan adalah sama dengan
maksimisasi negative fungsi tujuan tersebut. Persoalan program linier yang dipecahkan dengan menggunakan metode
simpleks haruslah persoalan yang telah diubah kedalam bentuk standard dan mempunyai variabel basis, baik sebagai variabel slack ataupun variabel artifical .
Dalam bentuk matematis, persolan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut
Fungsi Tujuan :
Maksimisasiminimisasi :
∑
=
=
r j
j j
X C
Z
1
Fungsi Pembatas
: Untuk lebih jelasnya, maka fungsi pembatas akan diuraikandijelaskan dalam
bentuk perkalian matriks. Fungsi pembatas dalam bentuk perkalian matriks adalah :
Universitas Sumatera Utara
=
×
+ +
+ +
+ m
m r
m r
m r
r m
mr m
m r
r
b b
X X
a a
a a
a a
a a
a a
M M
K K
M K
K
1 1
, 1
, 1
1 ,
2 1
1 ,
1 1
12 11
Dimana :
j
C = Koefisien fungsi tujuan untuk variable ke-j
ij
a = Koefisien fungsi tujuan pembatas ke-i untuk variable ke-j
m
= Jumlah fungsi pembatas r = Jumlah variable asli
i
b = Harga ruas kanan fungsi pembatas ke-i dan
satuan matriks
I a
a a
a
m m
r m
r m
m r
r
= =
+ +
+ +
, 1
, ,
1 1
, 1
K M
K
Selanjutnya akan dijelaskan prosedur iterasi metode simpleks untuk memperoleh solusi optimal yang feasible. Untuk memudahkan dalam penjelasan ini,
maka digunakan table iterasi simpleks
Universitas Sumatera Utara
Table 2.1 Iterasi Simpleks
j
C
m r
r r
C C
C C
+ +
L L
1 1
i
N
i
Cb
m r
r r
X X
X X
+ +
L L
1 1
1
b
1
φ
m r
r r
+ ⋅
⋅ ⋅
+ +
2 1
m r
r
C C
+ +1
m r
r r
a a
a a
+ +
, 1
1 ,
1 1
11
L L
m r
m r
mr m
a a
a a
+ +
, 1
, 1
1
L L
1
b
m
b
1
φ
m
φ
j
Z
j j
C Z
−
i
N = Variabel basis untuk fungsi pembatas ke-i
i
Cb
= Koefisien fungsi tujuan variabel ke N
i r
X X K
1
= Variabel-variabel asli
m r
r
X X
+ +
K
1
= Variabel-variabel basis awal
∑
=
× =
m i
ij i
j
a Cb
Z
1
Untuk melakukan iterasi metode simpleks ini, ada 3 langkah yang perlu dilakukan, yaitu :
1. Mencari variabel X
k
yang akan menjadi variabel basis yang baru
Universitas Sumatera Utara
2. Mencari variabel basis yang lama X
q
yang akan diganti 3. Menyusun tabel baru dengan menghitung harga
i ij
b dan
a yang baru.
Ketiga langkah tersebut akan dijelaskan sebagai berikut : 1. Mencari variabel X
k
yang akan menjadi variabel basis yang baru, dengan cara : a. Menghitung harga
j j
C Z
− untuk j = 1, 2 , … , r + m b. Jika ada satu atau lebih harga
j j
C Z
− ≤ 0, maka variabel dengan harga
j j
C Z
− negatif terbesar adalah sebagai variabel basis yang terbaru. c. Bila semua harga
j j
C Z
− ≥ 0, maka iterasi telah mencapai kondisi optimal dan perhitungan dihentikan sampai disini.
d. Bila Z
k
– C
k
adalah negatif terbesar, dan ≤
ik
a untuk setiap 1 = 1, … , m
maka solusi yang diperoleh adalah unbounded. Apabila
≥
ik
a untuk paling
sedikit harga 1, maka iterasi dilanjutkan dengan terlebih dahulu mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru X
k
. 2. Mencari variabel basis lama yang akan digantikan oleh variabel basis baru X
k
a. Hitung harga m
i a
b
ik i
i
, ...
, 2
, 1
, =
= φ
b. Varibel basis lama yang akan digantikan adalah variabel basis dengan harga terkecil
positif
i
φ misalkan
1 =
i
φ .
3. Menyusun tabel simpleks yang baru dengan X
k
adalah variabel basis baru yang menggantikan X
k
. Transformasi yang akan dilakukan adalah : a.
k N
i
= b.
k i
C Cb
= c.
a a
ij
= Ketiga langkah ini diulang terus untuk setiap iterasi sampai diperoleh harga Z
j
- C
j
semuanya positif untuk j = 1,2, … , r + m yang berarti bahwa solusi yang diperoleh telah optimum yaitu fungsi tujuan adalah maksimum.
Universitas Sumatera Utara
Contoh Soal :
1. Minimum Z = 3X
1
+ 5X
2
Kendala :
2X
1
= 8 3X
2
≤ 15 6X
1
+ 5X
2
≥ 30 X
1
0, X
2
≥ 0
Penyelesaian :
Ubah kedalam bentuk Standar : Minimum :
Z = 3X
1
+ 5X
2
+ 0X
3
+ MX
4
+ 0X
5
+ MX
6
Kendala 2X
1
+ X
4
= 8 3X
2
+ X
5
= 15 6X
1
+ 5X
2
– X
3
+ X
6
= 30 X
j
≥ 0, j = 1,2,...6
Iterasi 0
3 5 0 M 0 M
Basis C
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
B X
4
M 2
1 8
X
5
3 0 0 1 0 15 X
6
M 6
5 -1 0 0 1 30 Z
j
- C
j
8M-3 5M-5 -M 0
0 38M
8M-3 merupakan positif terbesar, karena Ө minimal {
6 30
, 15
, 2
8 };sehingga
variabel X
4
keluar basis dan X
1
masuk basis.
Maka didapat nilai-nilai X
1
, X
5
, dan X
6
Yaitu :
Universitas Sumatera Utara
X
1
= 1, 0, 0, 2
1 , 0, 0, 4
X
5
: 0 - 0 1 = 0 3 - 0 0 = 3
0 - 0 0 = 0 0 - 0
2 1
= 0 1 - 0 0 = 1
0 - 0 0 = 0 15
– 0 4 = 15
X
6
: 6 – 61 = 0
5 - 6 0 = 5 -1 – 6 0 = -1
0 – 6 2
1 = -3
0 – 6 0 = 0 1 – 6 0 = 1
30 – 6 4 = 6
Universitas Sumatera Utara
Iterasi 1
3 5 0 M 0 M
Basis C X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
B X
1
3 1 0
2 1
0 0 4 X
5
0 0 3 0 0 1
15
X
6
M 5
-1 -3
1 6
Z
j
- C
j
M 5M-5
-M 2
3 4
+ − M
0 0 6M+12
5M-5 merupakan positif terbesar,karena Ө minimal {
5 6
, 3
15 ,
4 }sehingga variabel
X
6
keluar basis dan X
2
masuk basis.
X
1
= 3, 1, 0, 0, 2
1 ,0 ,0 ,4
X
5
= 0, 0, 0, 5
3 ,
5 9
, 1, 5
3 − ,
5 57
X = 5, 0, 1, 5
1 − ,
5 3
− , 0, 5
1 ,
5 6
Iterasi 2
3 5 0 M 0 M
Basis C
X
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
B X
1
3 1 0 0 2
1 0 0 4
X
5
0 0 0 5
3 5
9 1
5 3
− 5
57
X
2
5 0 1 5
1 −
5 3
− 5
1 5
6
Z
j
- C
j
0 0 -1 M
− −
2 3
1 – M
18
Universitas Sumatera Utara
Karena Z
j
– C
j
≤ 0 telah bernilai positif maka telah solusi telah optimal, dan perhitungan telah selesai.
2.5. Formulasi Fungsi Konstribusi Marginal Sebagai Fungsi Tujuan
Tujuan yang diharapkan dalam memecahkan masalah mesin ini adalah memaksimumkan keuntungan. Dengan adanya analisis metode simpleks maka
terdapat kemungkinan kapasitas mesin yang tidak dipergunakan dalam hal ini slack bernilai positif . Ditinjau dari segi ongkos, maka hal ini adalah termasuk ongkos yang
menganggur, dimana sulit untuk menentukan besarnya ongkos ini karena alokasi sendiri belum dilakukan. Kesulitan lain yang timbul adalah dalam menentukan ongkos
persatuan produk apabila dikerjakan pada mesin tertentu. Kesulitan ini juga disebabkan oleh belum ditentukannya jumlah produk yang dibebankan pada mesin
tersebut. Kesulitan-kesulitan tersebut mengakibatkan fungsi ongkos tidaklah merupakan cara
pendekatan yang baik. Karena itu diperlukanpendekatan yang lain yang lebih cepat, sehingga dapat menyatakan persoalan yang sebenarnya.
Dengan adanya kemungkinan bahwa jam operasi mesin yang tersedia tidak digunakan seluruhnya, maka tujuan yang diharapkan untuk dicapai, juga dapat
diartikan sebagai meminimumkan kerugian yang disebabkan oleh mesin yang menganggur.
Besarnya kerugian yang disebabkan oleh mesin yang menganggur ini dapat juga dinyatakan sebagai pendapatan yang diperoleh dari penjualan suatu produk
dikurangi dengan ongkos variabelnya konstribusi marginal . Karena ongkos tetap mesin, besarnya tidak dipengaruhi oleh bentuk alokasi produk pembebanan mesin
yang dilakukan, maka pemakai fungsi konstribusi marginal sebagai fungsi tujuan adalah setara dengan fungsi. Sebelum mencari fungsi tujuan dalam bentuk fungsi
konstribusi marginal, terlebih dahulu akan di defenisikan beberapa notasi sebagai berikut :
Universitas Sumatera Utara
PX
n
: Keuntungan yang dihasilkan bila dilakukan n buah alokasi produk PX
j
: Keuntungan yang dihasilkan oleh satu satuan produk pada alokasi ke j C
j
: Ongkos produksi satu satuan produk pada alokasi ke j S
j
: Harga jual satu satuan produk pada alokasi ke j F
j
: Ongkos tetap pada alokasi ke j V
j
: Ongkos variabel satu satuan produk pada alokasi ke j
Bila keuntungan dipakai sebagai fungsi tujuan maka dapat diformulasikan Maksimasi
∑
−
=
n j
j j
n
X X
P X
P
1
.
Dengan diketahui persamaan-persamaan sebagai berikut : C
j
= F
j
+ V
j
PX
j
= S
j
- C
j
Maka :
∑
−
=
n j
j j
n
X X
P X
P
1
.
=
∑
−
−
n j
j j
j
X C
S
1
.
=
∑ ∑
= −
− −
n j
n j
j j
j j
j
X F
X V
S
1 1
. .
Sehingga :
∑ ∑
= −
− =
+
n j
j j
j n
j j
j n
X V
S X
F X
P
1 1
. .
Bila Z = K X
n
adalah fungsi konstribusi marginal, maka : Z =
∑
−
+
n j
j j
n
X F
X P
1
.
=
∑ ∑
= −
= −
n j
n j
j j
j j
j
K K
X V
S
1 1
. .
Jadi fungsi konstribusi marginal sebagai fungsi tujuan adalah :
Maksimasi :
∑
−
+ =
n j
j j
n
X K
X K
Z
1
.
Dimana : K X
n
: Konstribusi marginal bila dilakukan n buah alokasi produk K
j
: Konstribusi marginal satuan pada alokasi ke j X
j
: Jumlah produk yang dialokasikan pada alokasi ke j
Karena fungsi konstribusi marginal ini linier maka dapat memenuhi persyaratan fungsi tujuan linier.
Universitas Sumatera Utara
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1. Pengumpulan data
Pada dasarnya untuk menyelesaikan suatu masalah perlu adanya data angka yang berhubungan dengan masalah tersebut, baik data primer maupun data skunder. Data
primer yaitu data yang diperoleh langsung dari objek penelitian, sedangkan data skunder adalah data yang diperoleh dari dokumen-dokumen yang telah dilakukan
orang lain. Adapun data yang dibutuhkan untuk menyelesaikan masalah penelitian ini adalah sebagai berikut :
3.1.1. Data Kapasitas dan Recovery Rate Mesin Pabrik Teh
Kapasitas dan recovery rate mesin pabrik Teh yang dilaporkan PTPN IV Sidamanik pada saat ini adalah seperti pada table 3.1. dibawah ini.
Table 3.1. Kapasitas dan recovery rate mesin pabrik teh Proses produksi
Kapasitas tonjam Recovery
1. Pelayuan 40
53 2.Penggulungan + fermentase
30 62
3.Pengeringan 25 35
4.Sortase 30
37, 35, 28
Sumber PTPN IV Sidamanik Keterangan :
= Recovery untuk jenis teh pada Grade 1 = Recovery untuk jenis teh pada Grade 2
= Recovery untuk jenis teh pada Grade 3
Universitas Sumatera Utara