Dalam program linier, fungsi-fungsi yang digunakan adalah fungsi linier, sedangkan fungsi-fungsi pembatas digunakan persamaan dan atau ketidaksamaan
linier. Variable-variabel yang digunakan juga harus variabel non-negatif. Pada umumnya program linier dapat digunakan untuk mengoptimisasikan
persoalan-persoalan yang memenuhi persyaratan sebagai berikut: 1. Fungsi tujuan dapat didefenisikan dengan jelas
2. Adanya alternative tindakan 3. Fungsi tujuan dan fungsi-fungsi pembatas harus dapat dinyatakan dalam
bentuk matematis dan bersifat linier. 4. Variabel-variabel harus saling berhubungan
5. Sumber-sumber harus dalam kondisi terbatas, misalnya kapasitas mesin, jam kerja yang tersedia dan sebagainya.
Tipe-tipe masalah yang dapat dipecahkan dengan mempergunakan program linier adalah sangat banyak, diantaranya dapat disebutkan sebagai berikut :
1. Masalah alokasi produk pada mesin-mesin 2. Masalah distribusi dan pengiriman
3. Masalah penentuan lokasi gudang 4. Masalah perencanaan produksi
5. Masalah pencampuran bahan baku untuk memperoleh pencampuran yang optimal.
Ada dua buah program linier yang banyak dipergunakan, yaitu : 1. Model program linier dengan metode simpleks
2. Model transportasi Dalam bab ini hanya diuraikan teori program linier dengan metode simpleks,
sedangkan model transportasi tidak akan diuraikan lebih lanjut.
2.4.1. Formulasi Matematika Program Linier
Secara umum persoalan program linier dapat diuraikan sebagai berikut : ” Terdapat m buah persamaan dari masing-masing r buah variable, diinginkan untuk menentukan
kombinasi r buah variabel non-negatif yang memenuhi batasan-batasan yang
Universitas Sumatera Utara
ditentukan oleh m buah persamaan atau ketidaksamaan linier tersebut, dan memaksimumkan atau meminimumkan sebuah fungsi tujuan yang linier pula”.
Secara matematik, persoalan program linier ini dapat dinyatakan sebagai berikut 1. Memaksimumkanmeminimumkan fungsi tujuan :
r r
X C
X C
X C
Z +
+ +
= ...
2 2
1 1
2. Dengan fungsi-fungsi pembatas linier :
m i
untuk b
X a
X a
X a
i r
r i
i i
, ...
, 3
, 2
, 1
...
2 2
1 1
= ≥
= ≤
+ +
+
3. Dengan pembatas non-negatif
m i
B r
j X
i j
, ...
, 3
, 2
, 1
, ,
... ,
3 ,
2 ,
1 ,
= ≥
= ≥
4.
j i
ij
C dan
b a ,
adalah konstanta yang diketahui harganya.
Dapat pula persamaan atau ketidaksamaan linier ini dinyatakan sebagai perkalian matriks
r m
A ×
dengan matriks kolom
l r
X ×
yang hasilnya adalah suatu kolom
l m
B ×
.
≥ =
≤
×
m r
mr m
m r
r
b b
b
X X
X
a a
a a
a a
a a
a M
M M
M K
K
2 1
2 1
2 1
2 22
21 1
12 11
Sebelum model program linier ini digunakan, maka satu hal yang perlu diperhatikan adalah masalah kelinieran fungsi-fungsi tujuan dan fungsi pembatas yang
digunakan. Secara umum, kelinieran dapat digolongkan kedalam dua sifat, yaitu :
1. Sifat menambahkan Bila untuk membuat produk 1 pada mesin A diperlukan waktu t
1
jam dan untuk membuat produk 2 pada mesin A diperlukan waktu t
2
jam, maka untuk membuat produk 1 dan 2 pada mesin A diperlukan waktu t
1
+ t
2
jam.
Universitas Sumatera Utara
2. Sifat Mengalikan Bila untuk membuat 1 buah produk pada mesin A diperlukan waktu 1 jam,
maka untuk membuat 10 buah produk diperlukan waktu 10 jam.
Karena model program linier disajikan dalam berbagai variasi, yaitu fungsi tujuan yang dapat berupa maksimisasi atau minimimasi, dan fungsi-fungsi pembatas
yang dapat berbentuk = atau ≥ , maka perlu diadakan pengenalan terhadap sifat-sifat
dari bentuk-bentuk tersebut untuk memudahkan dalam penyelesaian selanjutnya.
Untuk tujuan ini akan dikemukakan 2 bentuk, yaitu : 1. Bentuk Kanonik
Bentuk ini khususnya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier dengan teori dualitas. Karakteristik bentuk ini adalah :
a. Semua variable adalah non-negatif b. Semua fungsi pembatas bertanda ≤
c. Fungsi tujuan adalah maksimasi Secara umum model program linier dalam bentuk kanonik dapat dinyatakan
sebagai berikut :
r j
X m
I X
a Pembatas
Fungsi X
C Z
Maksimasi
j j
ij r
j j
j
, ...
, 2
, 1
, ,
... ,
2 ,
1 ,
: :
1
= ≥
= ≤
=
∑
=
2. Bentuk Standard Bentuk ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier
secara langsung. Karakteristik bentuk ini adalah : a. Semua variable adalah non-negatif
b. Semua fungsi pembatas berbentuk persamaan, kecuali pembatas non- negatif bertanda
≥ 0 c. Ruas kanan setiap fungsi pembatas adalah non-negatif
d. Fungsi tujuan dapat berupa maksimisasi atau minimisasi
Universitas Sumatera Utara
Setiap variasi bentuk persoalan program linier dapat diubah kedalam bentuk kanonik dengan mempergunakan satu atau beberapa transformasi dasar dari 5 buah
transformasi dasar yang akan diuraikan dibawah ini : 1. Minimasi suatu
x f
fungsi
secara sistematis adalah ekivalen dengan maksimisasi daripada negative fungsi tersebut
x f
−
.
r r
r r
X C
X C
Z Y
i Maksimisas
dengan ekivalen
adalah X
C X
C Z
Minimasi Contoh
− −
− =
− =
+ +
=
... ...
:
1 1
1 1
2. Suatu bentuk ketidaksamaan ≤ atau ≥ dapat diubah kedalam bentuk ketidaksamaan dengan arah berlawanan c dengan mengalikan -1
b X
a X
a dengan
ekivalen b
X a
X a
Contoh −
≥ −
− =
+
2 2
1 1
2 2
1 1
, :
3. Suatu bentuk persamaan dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan dengan arah yang berlawanan.
b X
a X
a dan
b X
a X
a atau
b X
a X
a dan
b X
a X
a dengan
ekivalen b
X a
X a
Contoh
− ≤
− −
≤ +
− ≤
+ ≤
+ =
+
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
, ,
:
4. Suatu bentuk ketidaksamaan dengan ruas kiri adalah absolut, dapat diubah menjadi 2 buah ketidaksamaan.
q X
p X
p dan
q X
p X
p dengan
ekivalen q
q X
p X
p dan
b X
a X
a dan
b X
a X
a dengan
ekivalen b
b X
a X
a Contoh
i i
− ≤
+ ≥
+ ≥
≥ +
≤ +
− ≥
+ ≥
≤ +
2 2
1 2
2 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
, ,
, ,
, :
Universitas Sumatera Utara
5. Suatu variable yang tidak diketahui tandanya bias positif, nol atau negative adalah ekivalent dengan selisih antara 2 variabel non-negatif.
X Contoh :
tidak diketahui tandanya, maka X dapat dinyatakan sebagai
, .
− +
X X
dimana 0 ≥
− +
adalah X
dan X
. Didalam penyelesaian persoalan program linier dengan mempergunakan metode
simpleks, bentuk dasar yang dipergunakan adalah bentuk standard. Karena itu setiap persoalan program linier yang akan dipecahkan dengan menggunakan metode
simpleks harus terlebih dahulu ke dalam bentuk standard. Untuk melakukan perubahan ke dalam bentuk standard, disamping kelima bentuk transformasi dasar
yang telah diuraikan terlebih dahulu diperlukan pula pengertian variable ” Slack dan Surplus ”, dimana variabel-variabel ini berfungsi untuk merubah ketidaksamaan
dengan fungsi pembatas menjadi bentuk persamaan bentuk standart tanpa mempengaruhi fungsi tujuannya.
2.4.2. Variabel Slack dan Surplus
