Minimalisasi Waktu Dengan Menggunakan Metode Hungari Pada Assignment Problem (Studi Kasus: Tim Renang Tirta Prima-Medan)

MINIMALISASI WAKTU DENGAN MENGGUNAKAN METODE HUNGARI PADA ASSIGNMENT PROBLEM

(Studi Kasus : Tim Renang “TIRTA PRIMA - MEDAN”)

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

JUSYAN S PURBA 040803056

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN 2010

PERSETUJUAN

Judul : MINIMALISASI WAKTU DENGAN

MENGGUNAKAN METODE HUNGARI PADA ASSIGNMENT PROBLEM

(Studi Kasus : Tim Renang “Tirta Prima - Medan”)

Kategori : SKRIPSI

Nama : JUSYAN S PURBA

Nomor Induk Mahasiswa : 040803056

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di Medan, Juni 2010

Komisi Pembimbing :

Pembimbing II Pembimbing I

Dra. Henry Rani Sitepu, M.Si Prof. Dr. Herman Mawengkang NIP. 195303031983031002 NIP. 1946112819744031001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 19640109 198803 1 004

PERNYATAAN

MINIMALISASI WAKTU DENGAN MENGGUNAKAN METODE HUNGARI PADA ASSIGNMENT PROBLEM

(Studi Kasus : Tim Renang “Tirta Prima - Medan”)

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juni 2010

JUSYAN S PURBA 040803056

PENGHARGAAN

Segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas kasih serta segala berkat dan anugrah-Nya yang senantiasa dilimpahkanNya kepada penulis selama proses pengerjaan hingga akhirnya dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Pembimbing I, dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si selaku Pebimbing II atas segala bimbingan, arahan, nasehat dan motivasi yang berharga dalam penyelesaian skripsi ini.

Demikian, penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak yang telah membantu demi terselesaikannya skripsi ini. Oleh karena itu terima kasih penulis ucapkan kepada:

1. Bapak Drs. Djakaria Sebayang dan Drs. Rahmat Sitepu, M.Si selaku komisi penguji atas segala masukan yang telah diberikan untuk skripsi ini. 2. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, selaku

Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU 3. Bapak Dekan dan Pembantu Dekan FMIPA USU

4. Bapak/Ibu staf pengajar di Departemen Matematika, atas segala Ilmu yang telah diberikan selama ini.

5. Saudara-saudara saya, Justan Purba/Kaha L. br. Haloho ( Puteri tersayang, Cassia purba), Julfrida S Purba, Spd , Astri Mustika Purba, Lae Haloho (Pak Hans), Bapak Parlindungan Purba, atas doa dan dukungannya.

6. Bapak Yusrin, Spd, dan teman-teman anggota Club Tirta Prima – Medan (Christian, Romy, Ghazy dan Ernest), yang telah membantu penulis dalam pengumpulan data di Club renang “Tirta Prima - Medan”

7. Teman-teman Matematika st’04 yang peduli atas bantuan dan perhatiannya, terkhusus buat Sahabat-sahabat ( Ronal Purba, Lewin F, Domiatus Simbolon, Halomoan Malau, Justinus Pandiangan, Mangasi Simangunsong) dan yang lainnya yang tidak dapat saya sebutkan satu persatu.

8. Adik-adik junior tersayang, togi makmur siahaan, parningotan sirait, enrico, erbin, dan lain-lain st’05, 06 dan 07.

9. Teman-teman seperjuangan di IMAS-USU (Jhonriaman ”my sanina”, Restu, dika Sinaga, Ferawalden, Randy, Ida, Jansedi, Jhon Michael, Nesri, Ardy, dan yang lainya semua) dan GMKI Cab. Medan, saya ucapkan terima kasih atas segala Doa dan dukungannya.

Teristimewa penulis ucapkan banyak terima kasih buat Ayahanda J.K. Purba dan Ibunda tersayang E. Saragih yang senantiasa memberikan nasehat, dukungan, bimbingan, motivasi dan bantuan moril serta materil yang tak terhingga banyaknya kepada penulis.

Mengingat keterbatasan kemampuan penulis, penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam teori maupun penulisannya, karena itu penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi tulisan ini.

Kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak pembaca. Damai Sejahtera dari Tuhan yang selalu menyertai kita semua senantiasa.

Medan, Juni 2010 Hormat saya, Penulis

ABSTRAK

Masalah penugasan adalah merupakan suatu masalah yang sangat nyata dalam kehidupan keprofesian. Secara umum masalah ini berkisar tentang bagaimana memasangkan orang atau karyawan dengan job yang ada secara tepat. Sehingga biaya atau waktu yang diperlukan adalah minimum. Metode Hungari merupakan pendekatan yang baik dalam mencari solusi ini. Hubungan keseimbangan antara pekerja dan tugas dalam persoalan penugasan mengakibatkan sulitnya menggunakan metode analisis sensitivitas. Dari data Tim Renang “Tirta Prima - Medan”yang diperoleh, maka dapat ditentukan penugasan tim renang pada tiap gaya untuk memperoleh waktu yang minimal (hasil maksimal).

ABSTRACT

Assignment problem is a very real problem in life professions. In general, this

issue revolves on how to pair the person or employee with an existing job properly. So that the cost or time required is minimum. Hungari method is a good approach in finding solutions. The balance relation between workers and jobs in

assignment problem makes it difficult to use sensitivity analysis methods. So the

analysis will be done by QM software helped that it applied on Hungarian methods. This thesis present a sensitivity analysis on the objective function.

DAFTAR ISI

Halaman

Halaman Judul i

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak vi

Absract vii

Daftar Isi viii

Daftar Tabel ix

Bab 1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 4

1.6 Metodologi Penelitian 4

1.7 Tinjauan Pustaka 5

Bab 2 Landasan Teori 7

2.1 Matriks 7

2.1.1 Pengertian Matriks 7

2.1.2 Penjumlahan Matriks 8

2.1.3 Perkalian Matriks 8

2.1.4 Perkalian Matriks dengan bilangan 9

2.2 Persoalan Optimasi dan Program Linier 9

2.3 Model Matematika 13

2.4 Metode Hungari 14

2.5 Analisis Sensivitas pada Metode Hungari 17

Bab 3 Pembahasan 21

3.1 Assigment Problem 21

3.2 Aplikasi Metode Hungari pada Pembagian Tugas Tim Renang Estafet 21

3.3 Pengumpulan dan Pengolahan Data 23

Bab 4 Kesimpulan dan Saran 33

4.1 Kesimpulan 33

4.2 Saran 34

Daftar Pustaka 36 Lampiran A Surat Keterangan Penelitian/Riset

DAFTAR TABEL

Halaman Tabel 3.2.1 Tabel Matriks Penugasan 22

Tabel 3.3.1 Hasil Survei 1 23

Tabel 3.3.2 Hasil Survei 2 24

Tabel 3.3.3 Hasil Survei 3 24

Tabel 3.3.4 Tabulasi rata-rata masalah Penugasan 24

Tabel 3.3.5 Penetapan Standar 25

Tabel 3.3.6 Biaya opportunity Baris 1 26 Tabel 3.3.7 Biaya opportunity Baris 2 26 Tabel 3.3.8 Biaya opportunity Baris 3 27 Tabel 3.3.9 Biaya opportunity Baris 4 27 Tabel 3.3.10 Biaya opportunity Kolom 1 27 Tabel 3.3.11 Biaya opportunity Kolom 2 28 Tabel 3.3.12 Biaya opportunity Kolom 3 28 Tabel 3.3.13 Biaya opportunity Kolom 4 28

ABSTRAK

Masalah penugasan adalah merupakan suatu masalah yang sangat nyata dalam kehidupan keprofesian. Secara umum masalah ini berkisar tentang bagaimana memasangkan orang atau karyawan dengan job yang ada secara tepat. Sehingga biaya atau waktu yang diperlukan adalah minimum. Metode Hungari merupakan pendekatan yang baik dalam mencari solusi ini. Hubungan keseimbangan antara pekerja dan tugas dalam persoalan penugasan mengakibatkan sulitnya menggunakan metode analisis sensitivitas. Dari data Tim Renang “Tirta Prima - Medan”yang diperoleh, maka dapat ditentukan penugasan tim renang pada tiap gaya untuk memperoleh waktu yang minimal (hasil maksimal).

ABSTRACT

Assignment problem is a very real problem in life professions. In general, this

issue revolves on how to pair the person or employee with an existing job properly. So that the cost or time required is minimum. Hungari method is a good approach in finding solutions. The balance relation between workers and jobs in

assignment problem makes it difficult to use sensitivity analysis methods. So the

analysis will be done by QM software helped that it applied on Hungarian methods. This thesis present a sensitivity analysis on the objective function.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam dunia informatika, assignment Problem yang biasa dibentuk dengan matriks berbobot merupakan salah satu masalah terbesar, dimana masalah ini merupakan masalah yang metode penyelesaiannya cukup kompleks. Assignment

Problem adalah suatu masalah mengenai pengaturan pada individu (objek) untuk

melaksanakan tugas atau pekerjaan, sehingga dengan demikian biaya atau waktu yang dipergunakan untuk pelaksanaan tugas atau pekerjaan tersebut dapat diminimalkan.

Masalah penugasan (Assignment Problem), seperti juga masalah transprotasi merupakan salah satu kasus-kasus yang ditemui dalam program linier (linier programming). Dalam masalah penugasan akan didelegasikan sejumlah tugas (assignment) kepada sejumlah penerima tugas (Assignee) dalam basis satu-satu. Jadi masalah penugasan ini diasumsikan bahwa jumlah assignment sama dengan jumlah assignee. Sehingga data pokok yang harus dimiliki untuk menyelesaikan suatu masalah penugasan adalah jumlah assignment dan assignee.

Algoritma Brute Force adalah salah satu algoritma yang disarankan untuk digunakan dalam menyelesaikan persoalan ini, yang mana dalam algoritma ini seluruh kemungkinan solusi diperhitungkan sebagai kandidat solusi. Dan algoritma penyelesaian menggunakan kompleksitas faktorial. Tentu saja hal ini sangat menggunakan resource yang besar dan penyelesaian dengan metode ini menjadi tidak efisien.

Metode lain untuk menyelesaikan masalah assignment problem adalah dengan menggunakan Algoritma Hungari. Algoritma Hungari adalah salah satu algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan assignment. Awalnya dikenal dengan metode Hungarian , yang ditemukan dan dipublikasikan oleh Harold Kuhn pada tahun 1955. Algoritma ini kemudian diperbaiki oleh James Munkres pada tahun 1957. Oleh karena itu, algoritma ini kemudian dikenal juga dengan nama algoritma Kuhn-Munkres. Algoritma yang dikembangkan oleh Kuhn ini didasarkan pada hasil kerja dua orang matematikawan asal Hungaria lainnya, yaitu Denes Konig dan Jeno Egervary.

Keberhasilan Kuhn menggabungkan dua buah penemuan matematis dari Jeno Egervary menjadi satu bagian merupakan hal utama yang menginspirasikan lahirnya Algoritma Hungari. Dengan menggunakan algoritma ini, solusi optimum sudah pasti ditemukan. Namun untuk hal ini kasusnya dibatasi , yaitu apabila ingin menemukan solusi terbaik dengan nilai minimum (least ost search).

Tujuan yang ingin dicapai dalam memecahkan persoalan penugasan adalah berusaha untuk menjadwalkan setiap assignee pada suatu assignment sedemikian rupa sehingga kerugian yang ditimbulkan minimal atau keuntungan yang didapatkan maksimal. Yang dimaksud kerugian dalam hal ini adalah biaya, jarak atau waktu, sedangkan keuntungan adalah pendapatan, laba atau nilai kemenangan. Sehingga jelas dalam persoalan penugasan ada dua jenis masalah yaitu masalah minimalisasi dan masalah maksimalisasi.

Keuntungan terbesar penggunaan algoritma Hungari adalah kompleksitas algoritmanya yang polynomial. Metode yang digunakan dalam algoritma Hungari dalam memecahkan masalah sangat sederhana dan mudah dipahami. Metode ini akan diaplikasikan penulis dalam pemecahan masalah matriks berbobot, dimana masalah yang ingin dipecahkan adalah mencari solusi terbaik minimum waktu pada tim renang estafet “Tirta Prima - Medan” gaya ganti 4 x 100 meter.

1.2 Perumusan Masalah

Sesuai dengan latar belakang yang telah dikemukakan penulis pada pendahuluan, maka yang menjadi pokok permasalahan adalah bagaimana cara menyelesaikan assignment problem pada kasus jumlah baris sama dengan jumlah kolom (m = n). dalam hal ini adalah bagaimana mencari waktu minimal oleh Tim renang estafet “Tirta Prima - Medan”, sehingga diperoleh hasil yang optimal (waktu yang minimal) dengan menggunakan metode Hungari.

1.3 Batasan Masalah

Untuk lebih fokus dan tidak menyimpang dari tujuan, maka penulis mengadakan pembatasan masalah, yaitu :

a. Metode yang digunakan adalah Metode Hungari

b. Masalah yang dibahas dalam assignment problem pada kasus m = n. dalam hal ini adalah bagaimana mencari waktu minimal oleh Tim renang estafet “Tirta Prima - Medan” dalam menghadapi lomba renang estafet gaya ganti 4 x 100 meter.

c. Hasil akhir yang akan ditemukan adalah solusi optimal assignment problem dengan metode Hungari pada minimalisasi waktu tim renang “Tirta Prima - Medan”, dimana waktu yang digunakan tim tersebut dapat lebih minimum.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini terkait dengan pokok permasalahan yang telah diuraikan diatas adalah sebagai berikut :

1. Menjelaskan bagaimana cara menyelesaikan masalah penugasan pada kasus m = n menggunakan metode Hungari

2. Menjelaskan bagaimana cara menyelesaikan masalah penugasan pada kasus-kasus khusus menggunakan metode Hungari.

1.5 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Memberikan tambahan wawasan dan pengetahuan tentang masalah penugasan.

2. Menjelaskan cara penyelesaian masalah penugasan pada kasus m = n dengan metode Hungari

3. Memperoleh waktu minimal yang digunakan tim renang estafet “Tirta Prima - Medan” pada lomba renang estafet.

4. Menjelaskan cara penyelesaian masalah penugasan pada kasus-kasus khusus dengan metode Hungari.

1.6 Metodologi Penelitian

Metode penelitian yang akan digunakan adalah penelitian literature dan studi kasus, dengan prosedur sebagai berikut :

a. Menguraikan teori dasar yang menunjang terhadap pembahasan yang diperoleh dari jurnal, buku, dan internet.

b. Melakukan survei untuk mengumpulkan data kecepatan perenang tiap gaya dari tim renang estafet “Tirta Prima - Medan”.

c. Mengolah data dengan mencari solusi optimal assignment problem dengan menggunakan metode Hungari pada kasus m = n.

d. Menyusun rangkuman e. Penarikan kesimpulan.

1.7 Tinjauan Pustaka

Sebagai pendukung dalam penulisan tugas akhir ini, penulis menggunakan beberapa buku atau jurnal antara lain sebagai berikut :

(J. Supranto, “Linier Programming”, 1983;280). Membahas tentang efisiensi metode Hungari dibandingkan dengan metode yang telah ada. Persoalan penugasan (Assignment Problem) termasuk jenis persoalan transportasi. Dengan demikian persoalan penugasan dapat dipecahkan dengan metode-metode yang dapat dipergunakan untuk memecahkan masalah transportasi. Selain ada metode transportasi untuk memecahkan persoalan transportasi juga ada metode penugasan untuk memecahkan masalah penugasan. Metode ini untuk beberapa hal merupakan metode yang lebih efisien apabila dibandingkan dengan metode simpleks.

(Fien Zulfikarijah, “Operation Research”). Tentang syarat-syarat dalam metode penugasan dan model matematis dalam metode penugasan. Persyaratan Metode Penugasan :

1. Jumlah sumber (m) yang ditugaskan harus sama dengan jumlah tugas (n) yang harus diselesaikan.

2. Setiap sumber hanya mengerjakan satu tugas

3. Apabila jumlah sumber tidak sama dengan jumlah tugas, maka ditambahkan variable dummy

4. Terdapat dua permasalahan yang bisa diselesaikan yaitu memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan kerugian (biaya, waktu atau jarak)

Secara matematis masalah penugasan dapat dinyatakan dalam bentuk linier programming dengan variable keputusannya adalah :

Dengan mengasumsikan Z sebagai biaya total, maka model masalah penugasan menjadi 1 1 minimumkan n ij ij i j

z c x

= =

=

∑∑

Dengan batasan :

∑

₌n = =

i

ij i n

x 1 , , 2 , 1 , 1 

∑

₌n = =

j

ij j n

x 1 , , 2 , 1 ,

1  , x_ij =0 or 1

0, untuk semua i dan j.

( adlah biner untuk semua i dan j)

Dimana : adalah tetapan yang telah ditentukan

(Johnsonbaugh Richard,2001; 265) Graf G adalah pasangan himpunan (V,E) dimana V adalah himpunan dari simpul (vertex) dan E adalah himpunan dari sisi yang menghubungkan sepasang simpul.

(Munir Rinaldi,2003). Algoritma Branch and Bounds merupakan metode pencarian dalam ruang solusi yang ditransformasikan dalam bentuk ruang pohon pencarian.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Matriks

2.1.1 Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks (Anton, 1988: 22). Jika adalah sebuah matriks, maka akan menggunakan untuk menyatakan entri yang terdapat di dalam baris dan kolom dari matriks . Secara umum matriks dituliskan sebagai berikut:

Matriks di atas disebut matriks berukuran kali (ditulis ) karena memiliki baris dan kolom.

Contoh :

2.1.2 Penjumlahan Matriks

Jika dan adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan (Howard Anton, 1988 : 23).

Contoh :

Misalkan A = dan B =

Maka A + B =

2.1.3 Perkalian Matriks

Jika adalah matriks m x r dan adalah matriks r x n maka hasil kali adalah matriks yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris- dan kolom- dari , pilihlah baris- dari matriks dan kolom- dari matriks . Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan.

Contoh :

Diketahui , dan

Tinjaulah perkalian matriks dan . Karena adalah matriks berukuran dan adalah matriks berukuran maka hasil kali adalah matriks .

Jadi, diperoleh .

2.1.4 Perkalian Matriks Dengan Bilangan

Jika adalah suatu matriks dan adalah suatu bilangan, maka hasil kali (product) adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari oleh . Dalam hal ini ditulis . Khususnya dengan yang disebut negatif dari , diartikan matriks yang diperoleh dari dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan atau cukup dengan mengubah tanda semua elemennya.

Contoh :

Diketahui matriks A =

Maka 2A = dan (-1)A =

2.2 Persoalan Optimasi dan Program Linier

Richard Bronson (1996 : 1) menyatakan bahwa masalah optimasi merupakan masalah memaksimumkan atau meminimumkan sebuah besaran tertentu yang disebut tujuan objektif (objective) yang bergantung pada sejumlah berhingga variabel masukan (input variabels). Variabel-variabel ini dapat tidak saling bergantung, atau saling bergantung melalui satu atau lebih kendala (constrains). Persoalan optimasi merupakan persoalan mencari nilai numerik terbesar (maksimasi) atau nilai numerik terkecil (minimasi) yang mungkin dari sebuah fungsi pada sejumlah variabel tertentu.

Dalam sebuah persoalan optimasi, dicari nilai untuk variabel- variabel yang tidak melanggar (bertentangan) dengan kendala-kendala yang menyangkut variabel-variabel tersebut dan yang memberikan nilai optimum (maksimum atau minimum) pada fungsi yang hendak dioptimumkan. Dalam tulisan ini akan diperhatikan cara optimasi yang telah dipergunakan dalam memodel persoalan fisik, ekonomi, tehnik, dan segala macam persoalan bisnis yang sesuai. Cara ini disebut Program Linear.

Program linear yang diterjemahkan dari Linear Programming (LP) adalah suatu cara untuk menyelesaikan persoalan pengalokasian sumber-sumber yang terbatas di antara beberapa aktivitas yang bersaing, dengan cara yang terbaik yang mungkin dilakukan. Persoalan pengalokasian ini akan muncul manakala seseorang harus memilih tingkat aktivitas-aktivitas tertentu yang bersaing dalam hal penggunaan sumber daya langka yang dibutuhkan untuk melaksanakan aktivitas-aktivitas tersebut. Beberapa contoh situasi dari uraian di atas antara lain adalah pengalokasian fasilitas produksi, persoalan pengalokasian sumber daya nasional untuk kebutuhan domestik, penjadwalan produksi, solusi permainan (game), dan pemilihan pola pengiriman (shipping).

Program Linear (PL) atau Linear Programming adalah suatu model dari penelitian operasional untuk memecahkan masalah optimasi. Program linier merupakan salah satu metode Penelitian Operasional yang banyak digunakan di bidang industri, transportasi, perdagangan, perkebunan, perikanan, tehnik, dan lain sebagainya.

Program linear merupakan matematika terapan dari aljabar linear dimana dalam memecahkan persoalan dunia nyata melalui tahap-tahap sebagai berikut: 1. Memahami masalah di bidang yang bersangkutan

2. Menyusun model matematika

Masalah optimasi tidak semuanya dapat diselesaikan dengan metode Program Linear. Prinsip-prinsip utama yang mendasari penggunaan metode Program Linear adalah:

1. Adanya sasaran. Sasaran dalam model matematika masalah program linear berupa fungsi tujuan (fungsi objektif) yang akan dicari nilai optimalnya (maksimum / minimum).

2. Ada tindakan alternatif, artinya nilai fungsi tujuan dapat diperoleh dengan berbagai cara dan diantaranya alternatif itu memberikan nilai

3. Adanya keterbatasan sumber daya. Sumber daya atau input dapat berupa waktu, tenaga, biaya, bahan, dan sebagainya. Pembatasan sumberdaya disebut kendala (constrains ) pembatas

4. Masalah harus dapat dituangkan dalam bahasa matematika yang disebut model matematika. Model matematika dalam program linear memuat fungsi tujuan dan kendala. Fungsi tujuan harus berupa fungsi linear dan kendala berupa pertidaksamaan atau persamaan linear

5. Antar variabel yang membentuk fungsi tujuan dan kendala ada keterikatan, artinya perubahan pada satu peubah akan mempengaruhi nilai peubah yang lain.

N. Soemartojo (1994 : 71) menyatakan bahwa rumusan umum bentuk baku suatu program linear dapat dinyatakan sebagai berikut:

Carilah nilai , , yang dapat menghasilkan berbagai kombinasi optimum (maksimum atau minimum).

Z = + + +

Pembatas

+ + + ≤ atau ≥ … … …

+ + + ≤ atau ≥ … … …

+ + + ≤ atau ≥ … … …

Syarat variable ≥ 0 untuk j = 1, 2, …, n.

Dengan menggunakan notasi sigma :

Fungsi Tujuan Z = , untuk j = 1, 2, ..., n

Syarat ikatan

Untuk i = 1, 2, ..., m

Dan .

Dengan :

= koefisien harga variable pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan atau parameter yang dijadikan criteria optimasi.

= variable pengambilan keputusan yang harus dicari atau variable aktivitas (keluaran atau output).

= Konstanta variable aktivitas ke-j dalam pembatasan (kendala) ke-i. = Sumber daya yang terbatas atau konstanta (nilai sebelah kanan) dari

pembatas ke-i, yang membatasi aktivitas berkaitan dengan usaha

mengoptimalkan fungsi tujuan, juga disebut sebagai masukan (input). Z = Nilai skalar yang berkaitan dengan criteria pengambilan keputusan fungsi

tujuan.

2.3 Model Matematika

Model matematika merupakan ungkapan suatu masalah dalam bahasa matematika (Hardi Suyitno, 1997 : 4). Suatu model matematika menggambarkan masalah melalui cara yang lebih singkat dengan menerjemahkan tiap masalah yang di hadapi ke dalam simbol-simbol yang menunjang proses analisis memudahkan

jembatan bagi pemakaian tehnik-tehnik matematika dan komputer yang canggih untuk menganalisa masalah.

Tahapan dalam penyusunan model matematika suatu program linear adalah:

1. Menentukan tipe dari masalah

a. Masalah maksimum atau minimum.

b. Jika masalahnya menyangkut informasi tentang keuntungan, biasanya masalah memaksimumkan.

c. Jika masalahnya berkaitan dengan biaya, biasanya masalah meminimumkan.

2. Mengidentifikasikan variabel keputusan

3. Merumuskan fungsi tujuan: mengkombinasikan informasi ke rumusan fungsi tujuan.

4. Merumuskan kendala.

Ada dua pendekatan dasar yaitu: a. Pendekatan ruas kanan.

Nilai ruas kanan ( ) dalam daftar informasi merupakan besar maksimum atau minimum dari sumber daya yang tersedia dalam masalah maksimum atau minimum. Arah tanda ketidaksamaan didasarkan pada nilai maksimum atau minimum sumberdaya. b. Pendekatan ruas kiri.

Dengan meletakkan semua nilai sebagai koefisien teknis dan daftarnya dalam baris dan kolom. Baris-baris akan merupakan koefisian teknis dari satu variabel keputusan (Hardi Suyitno, 1997 : 4).

Pada setiap variabel diberikan nilai nonnegatif , sebab variabel keputusan biasanya mewakili banyaknya unit dari beberapa produksi atau sesuatu untuk doproduksi atau sesuatu untuk diproduksi atau suatu pelayanan tertentu.

2.4 Metode Hungari

Masalah penugasan/penetapan tugas (assignment problem) adalah suatu masalah mengenai pengaturan pada individu (objek) untuk melaksanakan tugas (kegiatan), sehingga dengan demikian biaya/waktu/jarak yang digunakan untuk pelaksanaan tugas tersebut dapat diminimalkan (N. Soemartojo, 1994 : 309).

Howard Anton (1988 : 59) menyatakan bahwa masalah penetapan tugas mensyaratkan bahwa fasilitas sama banyaknya dengan tugas, katakanlah sama dengan n. Dalam hal ini maka ada n! cara yang berlainan untuk menetapkan tugas kepada fasilitas berdasarkan penetapan satu-satu (one-to-one basic). Banyaknya penetapan ini adalah n! karena terdapat n cara untuk menetapkan tugas pertama, n-1 cara untuk menetapkan tugas kedua, n-2 cara untuk menetapkan tugas ketiga, dan seterusnya yang jumlah seluruhnya adalah: n.(n-1).(n-2)…3.2.1 = n! penetapan yang mungkin.

Diantara ke n! penetapan-penetapan yang mungkin ini, harus dicari satu penetapan yang optimal. Untuk mendefinisikan penetapan yang optimal secara tepat, maka akan diperkenalkan kuantitas – kuantitas berikut ini misalkan :

cij = biaya untuk menetapkan tugas ke – j kepada fasilitas ke – i, untuk i, j = 1,

2,…, n.

Satuan dari cij dapat berbentuk rupiah, dollar, mil, detik, dan lain-lain,

C =

Pernyataan bahwa sebuah tugas yang unik harus ditetapkan kepada setiap fasilitas berdasarkan satu – satu adalah ekuivalen dengan syarat bahwa tidak ada dua cij yang bersangkutan berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama.

Definisi 1

Jika diketahui sebuah matriks biaya C yang berdimensi n x n maka penetapan (assignment) adalah sebuah himpunan dari n entri dimana tidak ada dua diantara entrinya yang berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama (Howard Anton, 1988 : 60)

Maka sebuah penetapan optimal akan didefenisikan sebagai berikut: Definisi 2

n entri dari sebuah penetapan dinamakan biaya (cost) penetapan tersebut. Penetapan biaya yang paling kecil dinamakan penetapan optimal (optimal assignment) (Howard Anton, 1988 : 60).

Masalah penugasan adalah untuk mencari penetapan optimal dalam sebuah matriks biaya. Misalnya dalam menetapkan n tugas kepada n petugas, maka cij

dapat merupakan waktu digunakan tugas ke-i oleh petugas ke-j. Sebuah penetapan optimal adalah penetapan untuk mana waktu seluruhnya yang ditempuh untuk menyelesaikantugas tersebut supaya minimum (Howard Anton, 1988 : 60).

Secara mendetail model untuk masalah penugasan dapat ditulis dalam suatu bentuk program linear sebagai berikut:

Meminimumkan Z =

Dengan batasan:

Dimana:

Z = fungsi tujuan problema xij = variabel keputusan

cij = nilai kontribusi objek i terhadap tugas j

m = jumlah objek (individu atau sumber daya) n = jumlah tugas yang akan diselesaikan xij = 1, apabila objek i ditugaskan untuk tugas j

xij = 0, apabila objek i tidak ditugaskan untuk tugas j

Langkah – langkah penyelesaian dengan metode Hungari adalah sebagai berikut: 1. Menyusun matriks biaya.

2. Mengurangkan elemen-elemen pada setiap baris dengan elemen terkecil pada baris yang sama.

3. Menggurangkan elemen-elemen pada setiap kolom dengan elemen terkecil pada kolom yang sama. Langkah ini akan menghasilkan Total Opportunity Cost (TOC).

4. Tutup elemen-elemen bernilai nol pada TOC dengan garis-garis mendatar atau tegak. Misalkan n adalah banyaknya baris atau kolom dan banyaknya garis penutup elemen nol sekurang-kurangnya k, maka:

5. Cari bilangan terkecil dari bilangan-bilangan yang tak tertutup garis, misalkan e. Selanjutnya:

 Semua elemen yang tak tertutup garis dikurangi e.

 Semua elemen yang yang tertutup oleh satu garis tidak diubah.

 Semua elemen yang tertutup oleh dua garis ditambah dengan e.

Setelah diperoleh tabel baru kembali ke langkah – 4.

2.5 Analisis Sensitivitas pada Metode Hungari

Dalam persoalan assignment problem tidak semua parameter-parameter di atas dapat diterapkan. Seperti yang diketahui bahwa assignment problem memiliki ciri khusus yaitu:

1. Semua fungsi kendala bertanda ‘=’ 2. Semua nilai aij bernilai 1 atau 0

3. nilai sebelah kanan (NSK) fungsi kendala adalah 1.

Setiap permasalahan yang dapat dibentuk dalam program linier memiliki masalah analisis yang berbeda. Untuk itu, harus diteliti terlebih dahulu jenis analisis sensitivitas yang sesuai dengan Assignment Problem.

Untuk mengetahui bagian mana pada Assignment Problem yang harus dianalisis, harus diteliti dari bentuk umum Assignment Problem itu sendiri. Dari bentuk umum Assignment Problem dapat dilihat bahwa fungsi kendala diformulasikan dalam bentuk sebagai berikut:

1 1

=

∑

₌n

i ij X 1 1 =

∑

n₌

j ij

Ini berarti nilai sebelah kanan untuk persamaan kendala telah ditetapkan adalah 1. Ciri ini yang membedakan antara masalah transportasi dengan

assignment problem. Kalau pada masalah transportasi dikenal adanya permintaan

dan persediaan dengan nilai yang berbeda, pada masalah Assignment Problem persediaan dan permintaan harus bernilai 1. Jadi, sangat tidak mungkin kalau dianalisis nilai sebelah kanan, yang biasa dianalisis pada masalah transportasi.

Pada bagian fungsi objektif, bentuk umumnya adalah:

x

c

ij n i ij Z

∑

= = 1

∑

₌ = n j ij ijX C Z 1

Sebagai contoh 35

X

₁₁ artinya untuk pekerja pertama mengerjakan job pertama dengan biaya 35. Dalam dunia nyata biaya pengerjaan suatu job bisa berubah, baik naik ataupun turun. Selain finansial, biaya dalam hal ini bisa berarti lama waktu pengerjaan dan resiko dalam pengerjaan.

Misalnya suatu perusahan dengan 4 jenis job telah memiliki formula tertentu dalam memilih 4 pekerjanya sehingga semua pekerja dapat bekerja dengan optimal dan tentu saja dengan biaya minimal. Namun seiring berjalannya waktu dan semakin ahlinya suatu pekerja dalam mengerjakan pekerjaannya, bisa saja pekerja meminta kenaikan upah. Akibatnya ada kenaikan biaya disini. Tidak efisien apabila harus merubah formula optimal sebelumnya. Tentu saja perusahaan harus menganalisis hal ini, sampai seberapa jauh perusahaan bisa menaikkan upah pekerja agar hasil tetap optimal dan tidak mengubah formula optimal sebelumnya. Jadi yang memungkinkan untuk melakukan analisis sensitivitas adalah pada parameter perubahan koefisien fungsi tujuan.

pengaruh perubahan keuntungan per unit produk 1 (C1). Pada suatu kasus dimana

produk 1 menguntungkan untuk diproduksi, jika C1 turun di bawah nilai tertentu,

maka dapat menyebabkan produk 1 yang akan diproduksi menjadi berkurang atau bahkan tidak menguntungkan untuk diproduksi. Sebaliknya jika C1 naik di atas

nilai tertentu, dapat menyebabkan kenaikan jumlah produk 1 yang akan diproduksi.

Pada kasus lain bisa jadi produk 1 tidak menguntungkan untuk diproduksi karena keuntungan per unit (C1 nya) rendah. Jika C1 turun dapat dipastikan tidak

akan berpengaruh terhadap solusi optimal yang ada, tetapi jika C1 naik melebihi

nilai tertentu maka produk 1 menjadi menguntungkan untuk diproduksi. Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa terdapat suatu batas atas dan batas bawah (range) perubahan C1 dimana keputusan optimal tidak berpengaruh.

Tabel optimal yang telah didapat dengan metode hungari menunjukkan variabel yang menjadi basis dan variabel non basis. Variabel yang koefisien pada tabel optimal adalah 0 merupakan variabel basis. Sebaliknya variabel yang koefisien pada tabel optimal bukan 0 merupakan variabel non basis.

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Assignment Problem

Pada umumnya assignment problem memiliki karakreistik atau kriteria bahwa jumlah baris sama dengan jumlah kolom pada tabel assignment (m = n), karena

assignment problem mensyaratkan bahwa banyaknya fasilitas sama dengan

banyaknya tugas. Penetapan pekerjaan dilakukan dengan tujuan agar penyelesaian semua pekerjaan minimum atau memaksimumkan profit dari pekerjaan-pekerjaan tersebut.

Telah diketahui bahwa matriks assignment harus berbentuk bujur sangkar yaitu jumlah pekerja sama dengan jumlah pekerjaannya. Adapun bentuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan menggunakan langkah-langkah atau prosedur metode Hungari. Untuk memudahkan pemahaman penyelesaian

assignment problem dibawah ini diberikan contoh kasus pada assignment problem.

3.2 Aplikasi Metode Hungari Pada Pembagian Tugas Tim Renang Estafet

Seorang pelatih renang mengasuh empat perenang yang akan diturunkan di nomor estafet gaya ganti. Karena keempat perenang yang diasuh menguasai

penugasan untuk membantunya membuat keputusan penempatan perenang , berdasarkan pada data waktu terbaik masing-masing perenang disetiap gaya.

Untuk menyelesaikan masalah penugasan, biasanya digunakan metode Hungari. Untuk dapat diselesaikan dengan menggunakan Metode Hungari ini, maka data dari masalah diatas harus dipresentasikan dalam bentuk matriks dalam tabel, seperti tabel 3.2.1 dibawah ini :

Table 3.2.1 Tabel Matriks Penugasan Assignment

Assignee 1 2 n

1 2

n

Pada tabel 1.1, , hingga mempresentasikan data keuntungan yang diperoleh atau kerugian yang ditimbulkan oleh setiap assigne dalam menyelesaikan assignment. Misalnya, adalah data yang mempresentasikan keuntungan yang diperoleh atau kerugian yang ditimbulkan oleh assigne 1 dalam menyelesaikan assignment 1.

Setelah data terpresentase dalam bentuk tabel penugasan, maka dapat langsung menyelesaikan dengan menggunakan metode hungari. Dalam penyelesaiannya, masalah penugasan ini terbagi dua yaitu masalah maksimasi dan masalah minimasi. Pada masalah maksimasi data yang tersaji adalah data keuntungan, dan pada masalah minimasi data yang tersaji adalah data kerugian.

3.3 Pengumpulan dan Pengolahan Data

Beberapa keterangan yang diambil dari hasil survei sebagai batasan-batasan dalam penelitian adalah :

1. survei dilakukan pada empat perenang yang sama dengan empat gaya (punggung, kupu-kupu, dada dan bebas)

2. ke-empat perenang diasumsikan menguasai ke-empat gaya 3. Kecepatan perenang dihitung dengan menggunakan

stopwatch dalam satuan waktu sekon (detik)

4. Survei dilakukan pukul 18.00 Wib setiap harinya sebanyak 3 kali survei (rabu, kamis, jumat/ 26, 27, 28 mei 2010) 5. Survei dilakukan pada Tim renang “Tirta Prima - Medan”

untuk kelas putra Dewasa U17.

6. kondisi perenang diasumsikan sehat selama survei dilakukan

7. survei dilakukan pada jarak 100 meter tiap gaya (4 x 100 meter, untuk estafet gaya ganti)

Untuk memperoleh data tim renang yang akan digunakan pada tabel penugasan, maka penulis mengambil rata-rata nilai kecepatan tim renang dari tiga kali survei pada masing-masing gaya tiap perenang. Adapun sumber data yang diambil adalah dari empat Atlit Tim renang “Tirta Prima - Medan”, yakni : Christian, Romy, Ghazy dan Ernest.

Data perolehan Survei 1 ditunjukan pada tabel 3.3.1 dibawah ini : Tabel 3.3.1 Hasil Survei 1 Dalam Satuan Detik Assignment

Assignee Punggung Kupu-kupu Dada Bebas

Christian 99 86 86 91

Romy 87 91 96 77

Data perolehan Survei 2 ditunjukan pada tabel 3.3.2 dibawah ini : Tabel 3.3.2 Hasil Survei 2 Dalam Satuan Detik Assignment

Assignee Punggung Kupu-kupu Dada Bebas

Christian 98 89 86 92

Romy 86 95 95 75

Ghazy 107 99 109 84

Ernest 96 113 100 81

Sumber : Data Primer 2010

Data perolehan Survei 3 ditunjukan pada tabel 3.3.3 dibawah ini : Tabel 3.3.3 Hasil Survei 3 Dalam Satuan Detik Assignment

Assignee Punggung Kupu-kupu Dada Bebas

Christian 99 92 90 88

Romy 84 98 95 76

Ghazy 108 104 110 84

Ernest 97 117 102 83

Sumber : Data Primer 2010

Sehingga diperoleh rata-rata kecepatan masing-masing perenang pada tiap gaya yang akan digunakan pada tabel penugasan, seperti tabel 3.3.4 dibawah ini :

Tabel 3.3.4 Tabulasi Rata-rata Masalah Penugasan Dalam Satuan Detik Assignment

Assignee Punggung Kupu-kupu Dada Bebas

Christian 98.6 89.0 87.3 90.3

Romy 85.6 94.6 95.3 76.0

Ghazy 108.0 101.3 110.0 84.6

Ernest 96.3 115.0 101.0 81.3

a). Model Matematika Dengan Program Linier

Untuk membuat model matematika program linear masalah ini, disusun dahulu tabel penetapan standar seperti tabel 3.3.5 dibawah ini :

Tabel 3.3.5 Penetapan Standar Assignment

Assignee Punggung Kupu-kupu Dada Bebas

Christian Romy Ghazy Ernest

Dengan demikian, model matematika program linear untuk masalah diatas adalah: Minimalkan Z = 98.6_{X11 + 89.0X12 +} 87.3_{X13 +} 90.3_{X14 +} 85.6_{X21 +}

94.6X22 + 95.3 X23 + 76.0X24 + 108.0X31 + 101.3 X32 +

110.0X33 + 84.6X34 + 96.3 X41 + 115.0X42 + 101.0X43 +

81.3 X44

Kendala:

X11 + X12 + X13 + X14 = 1

X21 + X22 + X23 + X24 = 1

X31 + X32 + X33 + X34 = 1

X41 + X42 + X43 + X44 = 1

X11 + X21 + X31 + X41 = 1

X12 + X22 + X 32 + X42 = 1

X13 + X23 + X33 + X43 = 1

X14 + X24 + X34 + X44 = 1

b). Penyelesaian Optimal Dengan Metode Hungari

Matriks biaya untuk masalah di atas adalah:

(1)

(i). Susunan Biaya Opportunity

Dari matriks (1) dapat diidentifikasikan nilai sel terkecil masing-masing baris. Biaya opportunity masing masing baris adalah:

Biaya opportunity Baris 1, dapat dilihat seperti tabel 3.3.6 dibawah ini : Tabel 3.3.6 Biaya Opportunity Baris 1

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil = Biaya opportunity

(1,1) 98.6 - 87.3 = 11.3

(1,2) 89.0 - 87.3 = 1.7

(1,3) 87.3 - 87.3 = 0

(1,4) 90.3 - 87.3 = 3.0

Biaya opportunity Baris 2, dapat dilihat seperti tabel 3.3.7 dibawah ini : Tabel 3.3.7 Biaya Opportunity Baris 2

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil = Biaya opportunity

(2,1) 85.6 - 76.0 = 9.6

(2,2) 94.6 - 76.0 = 18.6

(2,3) 95.3 - 76.0 = 19.3

Biaya opportunity Baris 3, dapat dilihat seperti tabel 3.3.8 dibawah ini : Tabel 3.3.8 Biaya Opportunity Baris 3

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil = Biaya opportunity

(3,1) 108.0 - 84.6 = 23.4

(3,2) 101.3 - 84.6 = 16.7

(3,3) 110.0 - 84.6 = 25.4

(3,4) 84.6 - 84.6 = 0

Biaya opportunity Baris 4, dapat dilihat seperti tabel 3.3.9 dibawah ini : Tabel 3.3.9 Biaya Opportunity Baris 4

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil = Biaya opportunity

(4,1) 96.3 - 81.3 = 15.0

(4,2) 115.0 - 81.3 = 33.7

(4,3) 101.0 - 81.3 = 19.7

(4,4) 81.3 - 81.3 = 0

Dengan demikian susunan biaya opportunity barisnya adalah:

Biaya opportunity Kolom 1, dapat dilihat seperti tabel 3.3.10 dibawah ini : Tabel 3.3.10 Biaya Opportunity Kolom 1

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil = Biaya opportunity

(1,1) 11.3 - 9.6 = 1.7

Biaya opportunity Kolom 2, dapat dilihat seperti tabel 3.3.11 dibawah ini : Tabel 3.3.11 Biaya Opportunity Kolom 2

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil = Biaya opportunity

(1,2) 1.7 - 1.7 = 0

(2,2) 18.6 - 1.7 = 16.9

(3,2) 16.7 - 1.7 = 15.0

(4,2) 33.7 - 1.7 = 32.0

Biaya opportunity Kolom 3, dapat dilihat seperti tabel 3.3.12 dibawah ini : Tabel 3.3.12 Biaya Opportunity Kolom 3

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil = Biaya opportunity

(1,3) 0 - 0 = 0

(2,3) 19.3 - 0 = 19.3

(3,3) 25.4 - 0 = 25.4

(4,3) 19.7 - 0 = 19.7

Biaya opportunity Kolom 4, dapat dilihat seperti tabel 3.3.13 dibawah ini : Tabel 3.3.13 Biaya Opportunity Kolom 4

Sel Nilai Sel - Nilai baris terkecil = Biaya opportunity

(1,4) 3.0 - 0 = 3.0

(2,4) 0 - 0 = 0

(3,4) 0 - 0 = 0

Dengan demikian susunan biaya opportunity keseluruhannya adalah:

(ii). Analisis Kelayakan Biaya Opportunity Keseluruhan

Dari matriks dapat ditarik garis horizontal pada baris satu dan baris dua, serta garis vertikal pada kolom empat (karena memiliki sel degan biaya opportunity = 0)

Ternyata pada matriks, belum terdapat jumlah garis yang dapat ditarik minimal ada tiga buah. Ini berarti penyelesaian optimal belum tercapai. Dengan demikian, proses selanjutnya adalah mengidentifikasi sel yang terletak pada titik potong kedua garis dan nilai sel terkecil yang terletak di luar garis tersebut.

(iii).Penyusunan Matriks Biaya Opportunity Baru

Berdasarkan matriks diatas tampak bahwa sel (1,4) = 3.0 dan sel (2,4) = 0 merupakan titik potong kedua garis tersebut dan sel (4,1) = 5.4 merupakan nilai sel terkecil yang terletak di luar ketiga garis tersebut. Selanjutnya nilai sel (4,1) = 1 ditambah kedalam sel (1,4) dan (2,4) serta dikurangkan terhadap sel-sel lain yang terletak di luar garis-garis tersebut yaitu sel (3,1), sel (3,2), sel (3,3), sel (4,1), sel (4,2), dan sel (4,3). Ini

Dengan demikian susunan biaya opportunnity yang baru adalah:

(iv).Analisis Kelayakan Biaya Opportunity Keseluruhan

Dari matriks dapat ditarik garis horizontal pada baris satu serta kolom satu dan kolom empat (karena memiliki sel degan biaya opportunity = 0)

Ternyata pada matriks, jumlah garis yang dapat ditarik minimal ada tiga buah. Ini berarti penyelesaian optimal belum tercapai. Dengan demikian, proses selanjutnya adalah mengidentifikasi sel yang terletak pada titik potong kedua garis dan nilai sel terkecil yang terletak di luar garis tersebut.

(v). Penyusunan Matriks Biaya Opportunity Baru

Berdasarkan matriks diatas tampak bahwa sel (1,1) = 1.7dan sel (1,4) = 8.4 merupakan titik potong kedua garis tersebut dan sel (3,2) = 9.6 merupakan nilai sel terkecil yang terletak di luar ketiga garis tersebut. Selanjutnya nilai sel (3,2) = 9.6 ditambah kedalam sel (1,1) dan (1,4) serta dikurangkan terhadap sel-sel lain yang terletak di luar garis-garis tersebut yaitu sel (2,2), sel (2,3), sel (3,2), sel (3,3), sel (4,2), dan sel (4,3). Ini berarti sel (3,2) menjadi nol. Dengan demikian susunan biaya opportunnity yang baru adalah:

(vi).Analisis Kelayakan Biaya Opportunity Keseluruhan

Dari matriks dapat ditarik garis horizontal pada baris satu, baris tiga, dan baris empat serta garis vertikal pada kolom satu (karena memiliki sel dengan biaya opportunity = 0)

Dari matriks tampak bahwa jumlah garis yang dapat ditarik ada empat buah. Dengan demikian penyelesaian optimal telah tercapai. Untuk lebih mudah memasangkan assignment pada assignee, maka diubah nilai sel-sel pada matriks kedalam bentuk tabel, seperti tabel 3.3.14 dibawah ini:

Tabel 3.3.14 Tabel Akhir (Optimal) Assignment

Assignee Punggung Kupu-kupu Dada Bebas

Christian 11.3 0 0 18

Romy 0 7.3 9.7 5.4

Ghazy 8.4 0 10.4 0

Ernest 0 17 4.7 0

Dengan telah diperolehnya matriks biaya opportunity yang optimal, maka kita tinggal melakukan penugasan assignee kepada assignment. Penugasan ini diberikan kepada pasangan assigne-assignment pada kotak yang bernilai nol pada tabel optimal.

Penentuan penugasan sebaiknya dimulai dari baris yang hanya mengandung satu nilai nol. Pada tabel akhir (optimal) baris yang dimaksud adalah baris ke-2. Hal ini berarti bahwa gaya Punggung ditugaskan kepada Romy. Kemudian pada baris ke-4, yang kita gunakan adalah nilai nol pada kolom 4 karena tidak mungkin 1 assignee ditugaskan kepada 2 assignment. Sehingga gaya bebas ditugaskan kepada Ernest. Selanjutnya pada baris ketiga nilai nol yang kita gunakan adalah nilai nol pada kolom ke-2, yang berarti gaya kupu-kupu ditugaskan kepada Ghazy. Dan yang terakhir gaya Dada ditugaskan kepada Christian.

Berdasarkan penugasan tersebut, maka perolehan waktu minimal yang diperkirakan pada nomor estafet 4 x 100 meter gaya ganti adalah :

Punggung + Kupu-kupu + Dada + Bebas = 85.6 + 101.3 + 87.3 + 81.3 = 255.5 detik.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan dari hasil pembahasan yang dilakukan maka dapat diambil kesimpulan yaitu:

1. Untuk menyelesaikan masalah assignment problem dengan menggunakan prosedur metode Hungari terdiri dari tiga tahap, yaitu penyusunan matriks biaya opportunity, analisis kelayakan assignment problem, dan penyusunan ulang matriks biaya opportunity.

2. Dengan menggunakan metode Hungari diperoleh hasil optimal dalam menentukan waktu yang digunakan Tim Renang ”Tirta Prima - Medan” dalam menghadapi lomba renang estafet 4 x 100 meter gaya ganti adalah 225,5 detik.

3. Dengan menggunakan metode Hungari pada masalah Assignment Problem maka telah diperoleh penugasan yang tepat dari Assignee kepada Assignment untuk memperoleh waktu yang optimal.

4. Jika lomba diadakan pada Siang hari atau pagi hari, mungkin hasil perolehan waktu optimalnya akan berbeda dikarenakan stamina perenang pasti akan berbeda pada suhu yang berbeda.

4.2 Saran

Penulis menyarankan agar pelatih Tim Renang ”Tirta Prima - Medan” dalam menghadapi lomba renang estafet, menugaskan keempat perenang pada keempat gaya tersebut sesuai dengan hasil tulisan ini. Walaupun lomba dilakukan pada waktu yang berbeda dari hasil survei ini, namun masalah penugasan tiap perenang pada tiap gaya akan tetap dengan hasil pada tulisan ini, hanya saja waktu yang ditempuh mungkian akan berbeda dikarenakan alasan seperti pada kesimpulan yang telah penulis sampaikan sebelumnya.

Dan kepada pembaca tulisan ini lebih baik memperdalam lagi tentang metode Hungarian karena dalam menyelesaikan masalah penugasan, metode ini dapat menyelesaikan masalah dalam bentuk matriks m x n, dimana m tidak sama dengan n. yakni dengan menambahkan elemen dummy.

DAFTAR PUSTAKA

Thie, Paul R.1983. An Introduction to Linear Programming and Game Theory. Canada : Department of Mathematics Boston College.

Zulfikarijah, Fien. 2008. Pemodelan dalam Riset Operasi. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Anton, Howard. 1987. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.

Rao, S.S. 1987. Optimization Theory and Application. San Diego, USA: Dept. of Mechanical Engg.

Richard, Johnsonbaugh. 2001. Optimization Theory. 2nd Edition. New York : Wiley Eastern Limited.

W. Trio Sungkowo Andi. 2004. Metode Hungarian dan Aplikasinya pada Kasus

Minimasi. Diakses pada http//:www.docstoc.com pada tanggal 28 Januari 2010.

Supranto, J. 1983. Riset Operasi. Edisi Revisi. Jakarta : Bina Rupa Aksara

Dengan demikian susunan biaya opportunnity yang baru adalah:

(iv).Analisis Kelayakan Biaya Opportunity Keseluruhan

Dari matriks dapat ditarik garis horizontal pada baris satu serta kolom satu dan kolom empat (karena memiliki sel degan biaya opportunity = 0)

Ternyata pada matriks, jumlah garis yang dapat ditarik minimal ada tiga buah. Ini berarti penyelesaian optimal belum tercapai. Dengan demikian, proses selanjutnya adalah mengidentifikasi sel yang terletak pada titik potong kedua garis dan nilai sel terkecil yang terletak di luar garis tersebut.

(v). Penyusunan Matriks Biaya Opportunity Baru

Berdasarkan matriks diatas tampak bahwa sel (1,1) = 1.7dan sel (1,4) = 8.4 merupakan titik potong kedua garis tersebut dan sel (3,2) = 9.6 merupakan nilai sel terkecil yang terletak di luar ketiga garis tersebut. Selanjutnya nilai sel (3,2) = 9.6 ditambah kedalam sel (1,1) dan (1,4) serta dikurangkan terhadap sel-sel lain yang terletak di luar garis-garis tersebut yaitu sel (2,2), sel (2,3), sel (3,2), sel (3,3), sel (4,2), dan sel (4,3). Ini berarti sel (3,2) menjadi nol. Dengan demikian susunan biaya opportunnity yang baru adalah:

(vi).Analisis Kelayakan Biaya Opportunity Keseluruhan

Dari matriks dapat ditarik garis horizontal pada baris satu, baris tiga, dan baris empat serta garis vertikal pada kolom satu (karena memiliki sel dengan biaya opportunity = 0)

Dari matriks tampak bahwa jumlah garis yang dapat ditarik ada empat buah. Dengan demikian penyelesaian optimal telah tercapai. Untuk lebih mudah memasangkan assignment pada assignee, maka diubah nilai sel-sel pada matriks kedalam bentuk tabel, seperti tabel 3.3.14 dibawah ini:

Tabel 3.3.14 Tabel Akhir (Optimal) Assignment

Assignee Punggung Kupu-kupu Dada Bebas

Christian 11.3 0 0 18

Romy 0 7.3 9.7 5.4

Ghazy 8.4 0 10.4 0

Ernest 0 17 4.7 0

Dengan telah diperolehnya matriks biaya opportunity yang optimal, maka kita tinggal melakukan penugasan assignee kepada assignment. Penugasan ini diberikan kepada pasangan assigne-assignment pada kotak yang bernilai nol pada tabel optimal.

Penentuan penugasan sebaiknya dimulai dari baris yang hanya mengandung satu nilai nol. Pada tabel akhir (optimal) baris yang dimaksud adalah baris ke-2. Hal ini berarti bahwa gaya Punggung ditugaskan kepada Romy. Kemudian pada baris ke-4, yang kita gunakan adalah nilai nol pada kolom 4 karena tidak mungkin 1 assignee ditugaskan kepada 2 assignment. Sehingga gaya bebas ditugaskan kepada Ernest. Selanjutnya pada baris ketiga nilai nol yang kita gunakan adalah nilai nol pada kolom ke-2, yang berarti gaya kupu-kupu ditugaskan kepada Ghazy. Dan yang terakhir gaya Dada ditugaskan kepada Christian.

Berdasarkan penugasan tersebut, maka perolehan waktu minimal yang diperkirakan pada nomor estafet 4 x 100 meter gaya ganti adalah :

Punggung + Kupu-kupu + Dada + Bebas = 85.6 + 101.3 + 87.3 + 81.3 = 255.5 detik.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan dari hasil pembahasan yang dilakukan maka dapat diambil kesimpulan yaitu:

1. Untuk menyelesaikan masalah assignment problem dengan menggunakan prosedur metode Hungari terdiri dari tiga tahap, yaitu penyusunan matriks biaya opportunity, analisis kelayakan assignment problem, dan penyusunan ulang matriks biaya opportunity.

2. Dengan menggunakan metode Hungari diperoleh hasil optimal dalam menentukan waktu yang digunakan Tim Renang ”Tirta Prima - Medan” dalam menghadapi lomba renang estafet 4 x 100 meter gaya ganti adalah 225,5 detik.

3. Dengan menggunakan metode Hungari pada masalah Assignment Problem maka telah diperoleh penugasan yang tepat dari Assignee kepada Assignment untuk memperoleh waktu yang optimal.

4. Jika lomba diadakan pada Siang hari atau pagi hari, mungkin hasil perolehan waktu optimalnya akan berbeda dikarenakan stamina perenang pasti akan berbeda pada suhu yang berbeda.

4.2 Saran

Penulis menyarankan agar pelatih Tim Renang ”Tirta Prima - Medan” dalam menghadapi lomba renang estafet, menugaskan keempat perenang pada keempat gaya tersebut sesuai dengan hasil tulisan ini. Walaupun lomba dilakukan pada waktu yang berbeda dari hasil survei ini, namun masalah penugasan tiap perenang pada tiap gaya akan tetap dengan hasil pada tulisan ini, hanya saja waktu yang ditempuh mungkian akan berbeda dikarenakan alasan seperti pada kesimpulan yang telah penulis sampaikan sebelumnya.

Dan kepada pembaca tulisan ini lebih baik memperdalam lagi tentang metode Hungarian karena dalam menyelesaikan masalah penugasan, metode ini dapat menyelesaikan masalah dalam bentuk matriks m x n, dimana m tidak sama dengan n. yakni dengan menambahkan elemen dummy.

DAFTAR PUSTAKA

Thie, Paul R.1983. An Introduction to Linear Programming and Game Theory. Canada : Department of Mathematics Boston College.

Zulfikarijah, Fien. 2008. Pemodelan dalam Riset Operasi. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Anton, Howard. 1987. Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga.

Rao, S.S. 1987. Optimization Theory and Application. San Diego, USA: Dept. of Mechanical Engg.

Richard, Johnsonbaugh. 2001. Optimization Theory. 2nd Edition. New York : Wiley Eastern Limited.

W. Trio Sungkowo Andi. 2004. Metode Hungarian dan Aplikasinya pada Kasus Minimasi. Diakses pada http//:www.docstoc.com pada tanggal 28 Januari 2010.

Supranto, J. 1983. Riset Operasi. Edisi Revisi. Jakarta : Bina Rupa Aksara