Syarat variable ≥ 0 untuk j = 1, 2, …, n.
Dengan menggunakan notasi sigma : Fungsi Tujuan
Z = , untuk j = 1, 2, ..., n
Syarat ikatan Untuk i = 1, 2, ..., m
Dan .
Dengan : = koefisien harga variable pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan atau
parameter yang dijadikan criteria optimasi. = variable pengambilan keputusan yang harus dicari atau variable aktivitas
keluaran atau output. = Konstanta variable aktivitas ke-j dalam pembatasan kendala ke-i.
= Sumber daya yang terbatas atau konstanta nilai sebelah kanan dari pembatas ke-i, yang membatasi aktivitas berkaitan dengan usaha
mengoptimalkan fungsi tujuan, juga disebut sebagai masukan input. Z = Nilai skalar yang berkaitan dengan criteria pengambilan keputusan fungsi
tujuan.
2.3 Model Matematika
Model matematika merupakan ungkapan suatu masalah dalam bahasa matematika Hardi Suyitno, 1997 : 4. Suatu model matematika menggambarkan masalah
melalui cara yang lebih singkat dengan menerjemahkan tiap masalah yang di hadapi ke dalam simbol-simbol yang menunjang proses analisis memudahkan
menghadapi masalah secara keseluruhan dan mempertimbangkan semua hubungan yang saling terkait secara simultan. Model matematika merupakan
Universitas Sumatera Utara
jembatan bagi pemakaian tehnik-tehnik matematika dan komputer yang canggih untuk menganalisa masalah.
Tahapan dalam penyusunan model matematika suatu program linear adalah:
1. Menentukan tipe dari masalah
a. Masalah maksimum atau minimum.
b. Jika masalahnya menyangkut informasi tentang keuntungan,
biasanya masalah memaksimumkan. c.
Jika masalahnya berkaitan dengan biaya, biasanya masalah meminimumkan.
2. Mengidentifikasikan variabel keputusan
3. Merumuskan fungsi tujuan: mengkombinasikan informasi ke rumusan
fungsi tujuan. 4.
Merumuskan kendala. Ada dua pendekatan dasar yaitu:
a. Pendekatan ruas kanan.
Nilai ruas kanan dalam daftar informasi merupakan besar maksimum atau minimum dari sumber daya yang tersedia dalam
masalah maksimum atau minimum. Arah tanda ketidaksamaan didasarkan pada nilai
maksimum atau minimum sumberdaya. b.
Pendekatan ruas kiri. Dengan meletakkan semua nilai sebagai koefisien teknis dan
daftarnya dalam baris dan kolom. Baris-baris akan merupakan koefisian teknis dari satu variabel keputusan Hardi Suyitno, 1997 :
4. 5.
Persyaratan nonnegatif
Universitas Sumatera Utara
Pada setiap variabel diberikan nilai nonnegatif , sebab variabel keputusan biasanya mewakili banyaknya unit dari beberapa produksi atau sesuatu
untuk doproduksi atau sesuatu untuk diproduksi atau suatu pelayanan tertentu.
2.4 Metode Hungari
Masalah penugasanpenetapan tugas assignment problem adalah suatu masalah mengenai pengaturan pada individu objek untuk melaksanakan tugas kegiatan,
sehingga dengan demikian biayawaktujarak yang digunakan untuk pelaksanaan
tugas tersebut dapat diminimalkan N. Soemartojo, 1994 : 309.
Howard Anton 1988 : 59 menyatakan bahwa masalah penetapan tugas mensyaratkan bahwa fasilitas sama banyaknya dengan tugas, katakanlah sama
dengan n. Dalam hal ini maka ada n cara yang berlainan untuk menetapkan tugas kepada fasilitas berdasarkan penetapan satu-satu one-to-one basic. Banyaknya
penetapan ini adalah n karena terdapat n cara untuk menetapkan tugas pertama, n-1 cara untuk menetapkan tugas kedua, n-2 cara untuk menetapkan tugas ketiga,
dan seterusnya yang jumlah seluruhnya adalah: n.n-1.n-2…3.2.1 = n penetapan yang mungkin.
Diantara ke n penetapan-penetapan yang mungkin ini, harus dicari satu penetapan yang optimal. Untuk mendefinisikan penetapan yang optimal secara
tepat, maka akan diperkenalkan kuantitas – kuantitas berikut ini misalkan : c
ij
= biaya untuk menetapkan tugas ke – j kepada fasilitas ke – i, untuk i, j = 1, 2,…, n.
Satuan dari c
ij
dapat berbentuk rupiah, dollar, mil, detik, dan lain-lain, satuan apapun yang sesuai dengan masalahnya. Didefinisikan matriks biaya cost
matrix sebagai matriks n x n :
Universitas Sumatera Utara
C =
Pernyataan bahwa sebuah tugas yang unik harus ditetapkan kepada setiap fasilitas berdasarkan satu – satu adalah ekuivalen dengan syarat bahwa tidak ada
dua c
ij
yang bersangkutan berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama.
Definisi 1
Jika diketahui sebuah matriks biaya C yang berdimensi n x n maka penetapan assignment adalah sebuah himpunan dari n entri dimana tidak
ada dua diantara entrinya yang berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama Howard Anton, 1988 : 60
Maka sebuah penetapan optimal akan didefenisikan sebagai berikut:
Definisi 2
n entri dari sebuah penetapan dinamakan biaya cost penetapan tersebut. Penetapan biaya yang paling kecil dinamakan penetapan optimal optimal
assignment Howard Anton, 1988 : 60.
Masalah penugasan adalah untuk mencari penetapan optimal dalam sebuah matriks biaya. Misalnya dalam menetapkan n tugas kepada n petugas, maka c
ij
dapat merupakan waktu digunakan tugas ke-i oleh petugas ke-j. Sebuah penetapan optimal adalah penetapan untuk mana waktu seluruhnya yang ditempuh untuk
menyelesaikantugas tersebut supaya minimum Howard Anton, 1988 : 60.
Secara mendetail model untuk masalah penugasan dapat ditulis dalam suatu bentuk program linear sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Meminimumkan Z =
Dengan batasan:
Dimana:
Z = fungsi tujuan problema
x
ij
= variabel keputusan c
ij
= nilai kontribusi objek i terhadap tugas j m
= jumlah objek individu atau sumber daya n
= jumlah tugas yang akan diselesaikan x
ij
= 1, apabila objek i ditugaskan untuk tugas j x
ij
= 0, apabila objek i tidak ditugaskan untuk tugas j
Langkah – langkah penyelesaian dengan metode Hungari adalah sebagai berikut: 1.
Menyusun matriks biaya. 2.
Mengurangkan elemen-elemen pada setiap baris dengan elemen terkecil pada baris yang sama.
3. Menggurangkan elemen-elemen pada setiap kolom dengan elemen terkecil
pada kolom yang sama. Langkah ini akan menghasilkan Total Opportunity Cost TOC.
4. Tutup elemen-elemen bernilai nol pada TOC dengan garis-garis mendatar
atau tegak. Misalkan n adalah banyaknya baris atau kolom dan banyaknya garis penutup elemen nol sekurang-kurangnya k, maka:
Jika k = n, berarti sudah diperoleh program optimal. Proses dihentikan dan susun penugasan
Jika k n, maka proses dilanjutkan dengan mengikuti langkah 5.
Universitas Sumatera Utara
5. Cari bilangan terkecil dari bilangan-bilangan yang tak tertutup garis,
misalkan e. Selanjutnya:
Semua elemen yang tak tertutup garis dikurangi e.
Semua elemen yang yang tertutup oleh satu garis tidak diubah.
Semua elemen yang tertutup oleh dua garis
ditambah dengan e. Setelah diperoleh tabel baru kembali ke langkah – 4.
2.5 Analisis Sensitivitas pada Metode Hungari
