10
2.6.1 Penduga untuk
Penduga parameter dari distribusi Weibull dapat diperoleh dari
memaksimumkan logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi Weibull yaitu dengan turunan pertama
λ
dari logaritma natural fungsi kemungkinannya yang sama dengan nol. Yaitu sebagai berikut:
,
= 0
Persamaan 2.1 disubstitusikan ke persamaan di atas, sehingga didapat:
,
= ln
− n β ln + β − 1 ∑ ln x −
∑ = 0
Untuk mempermudah proses perhitungan maka digunakan permisalan berikut ini:
= − 1
= − =
=
Selanjutnya,
− +
∑ = 0
2.2
− = −
=
11 . =
.
= ∑
n =
∑
= ∑
= ∑
Maka diperoleh penduga parameter pada distribusi Weibull sebagai berikut:
= ∑
2.3
Untuk melihat apakah
=
∑
merupakan titik maksimum dari maka
dibuktikan turunan kedua dari adalah kurang dari nol, yaitu :
,
Persamaan 2.2 disubstitusikan ke persamaan diatas, sehingga didapat:
ln ,
= −
+
− + 1
− + 1 ∑
12
Karena turunan kedua dari logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi
Weibull kurang dari nol maka terbukti bahwa
=
∑
merupakan penduga yang maksimum pada .
2.6.2 Penduga untuk
Penduga parameter dari distribusi Weibull dapat diperoleh dari
memaksimumkan logaritma natural fungsi kemungkinan dari distribusi Weibull yaitu dengan turunan pertama
dari logaritma natural fungsi kemungkinannya yang sama dengan nol. Yaitu sebagai berikut:
,
= 0
Persamaan 2.1 disubstitusikan ke persamaan diatas, sehingga didapat:
ln ,
= ln
− n β ln + β − 1 ln x −
1
= ln
− n β ln + β − 1 ln x −
= 0
Karena untuk menurunkan persamaan di atas tidak mudah maka digunakan permisalan:
=
ln = ln
13 ln
= ln
1 = ln
= ln
= ln
Sehingga diperoleh,
− ln +
ln −
ln = 0
− ln
− ln +
= − ln
ln +
ln − =
ln
ln − ln +
ln − =
ln
Persamaan 2.3 disubstitusikan ke persamaan diatas, sehingga didapat:
∑ ln
− ln +
ln −
= ∑ ln
∑ ln
∑ –
= ln
∑ ln
∑ –
1 =
∑ ln
2.4
Nilai dugaan parameter bagi diperoleh melalui pendeketan iterasi metode
Newton – Raphson dengan menganggap bahwa:
=
,
= 0
14
Langkah-langkah metode Newton-Raphson untuk mencari dugaan parameter adalah sebagai berikut:
1. Menentukan nilai awal 2. Menentukan persamaan
= ∑
ln ∑
– 1
− ∑
ln
Dan turunan pertama dari adalah
=
∑ ∑
∑ ∑
+
3. Masukkan persamaan dan turunan pertamanya
ke dalam rumus metode Newton-Raphson
= −
Sehingga diperoleh nilai dugaan parameter bagi sebagai berikut:
= −
= −
∑ ln
∑ –
1 −
∑ ln
∑ ∑
ln − ∑
ln ∑
+ 1
2.5
Persamaan 2.5 adalah penduga bagi distribusi Weibull Sinurat, 2008.
15
2.7 Fungsi Kemungkinan Maksimum pada Distribusi Weibull Tersensor Kiri
Menurut Engelhardt dan Bain 1991, fungsi kemungkinan maksimum Distribusi Weibull pada data tersensor kiri adalah:
= ; .
16
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 20122013, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data penelitian ini menggunakan dua macam data yaitu: a.
Data simulasi dengan software R versi 2.15.0. Pembangkitan data dalam
simulasi dilakukan dengan distribusi Weibull.
b. Data sekunder yaitu data survival yang diambil dari buku Survival
Analysis karya John P. Klein dan Melvin L. Moeschberger yakni mengenai data survival pada penderita leukimia setelah dilakukan
pencangkokan sumsum tulang dan data waktu pertama kali merokok
tersensor kiri pada siswa SMA California.
17
3.3 Metode Penelitian
Metode pendugaan parameter yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kemungkinan maksimum. Metode ini digunakan untuk menduga parameter
distribusi Weibull dengan data tersensor kiri. Pembangkitan data dalam simulasi didasarkan pada distribusi Weibull dengan
pa rameter β dan λ. Simulasi dirancang untuk mengetahui bias relatif penduga
parameter β dan λ dengan rancangan sebagai berikut:
1. Beberapa nilai parameter β, λ yang berbeda-beda yaitu 1,1, 1,2, 2,1
dan 2,0.5. 2.
Jumlah pengamatan yang berbeda-beda, yaitu n = 50, n =100, dan n = 200. 3.
Intensitas sensor yang berbeda-beda, yaitu r = 1, r = 5 , dan r = 10 .
Adapun langkah-langkah dalam simulasi adalah sebagai berikut: 1.
Membangkitkan ~ Weibull
untuk i = 1, ... , n 2.
Menentukan ̂ dan ̂ pada distribusi Weibull full data dengan rumus pada bab sebelumnya yaitu persamaan 2.3 dan persamaan 2.5, kemudian
simulasi diulang sampai 1000 kali. 3.
Menghitung nilai rata-rata ̂ dan ̂ pada distribusi Weibull full data 4.
Menghitung nilai rata-rata bias relatif ̂ dan ̂ distribusi Weibull full data Rumus yang digunakan untuk menghitung bias relatif dari setiap penduga
parameter yaitu:
Rata-rata bias relatif penduga beta yaitu :
∑ ̂
18
Rata-rata bias relatif penduga lamda yaitu :
∑ ̂
Widiarti, 2011. 5.
Menduga parameter distribusi Weibull β, λ tersensor kiri dengan metode kemungkinan maksimum
6. Menentukan ̂ dan ̂ pada distribusi Weibull tersensor kiri dengan rumus
yang diperoleh pada langkah 5, dengan intensitas sensor yaitu r = 1, 5, 10, kemudian simulasi diulang sampai 1000 kali.
7. Menghitung nilai rata-rata ̂ dan ̂ pada distribusi Weibull tersensor kiri
8. Menghitung nilai rata-rata bias relatif ̂ dan ̂ distribusi Weibull tersensor
kiri. Rumus yang digunakan untuk menghitung bias relatif Relative Bias dari setiap penduga parameter yaitu:
Rata-rata bias relatif penduga beta yaitu:
∑ ̂
Rata-rata bias relatif penduga lamda yaitu:
∑ ̂
Widiarti, 2011. 9.
Menganalisa hasil yang diperoleh pada langkah 4 dan 8, dan menarik kesimpulan.
19
Secara umum langkah-langkah penelitian ini dapat ditulis dalam bentuk diagram alur, yaitu sebagai berikut:
Simulasi
t idak
tidak
ya ya
Generate Weibull n = 50, 100, 200
β,λ = 1,1, 2,1, 1,2, 2, 0.5
Iterasi = 1000
Mulai
Selesai
Weibull tersensor kiri r = 1, 5, 10
Iterasi = 1000
β dan λ full data β dan λ tersensor kiri
β
i+1
- β
i ≈
0,001 λ
i+1
- λ
i ≈
0,001 β
i+1
- β
i ≈
0,0001 λ
i+1
- λ
i ≈
0,0001
Hitung : relatif bias Hitung : relatif bias
RB ̂ , RB ̂
RB ̂ , RB ̂
Kategori