kofaktor-kofaktor atau adjoin dari matriks toeplitz berorde
dan dapat dinyatakan dengan teorema 3.2.
3.3.1 Teorema 3.2
Andaikan pada persamaan
suatu matriks toeplitz berordo dan maka kofaktor-kofator adjoin dari matriks
adalah
{ |
|
dimana kofator dari matriks
, untuk adalah baris dan adalah kolom
dari matriks .
Bukti: Andaikan
adalah suatu matrik toeplitz pada persamaan berdasarkan 2.2.2 definisi kofaktor maka kofaktor dari matriks
adalah dengan mengeliminasi baris ke
dan kolom ke diperoleh |
| sehingga
| | untuk Teorema 3.1 menjamin bahwa kofaktor
| | benar.
Sedangkan untuk membuktikan dengan induksi
matematika, andaikan adalah matriks toeplitz dengan ordo
dan Langkah 1. Diperlihatkan bahwa
memiliki pola, untuk setiap
dan a.
untuk diperoleh b.
untuk diperoleh c.
untuk diperoleh d.
dan seterusnya. Dengan mengamati
disimpulkan bahwa bergantung pada
dan bergantung pada
sehingga bergantung pada
Universitas Sumatera Utara
Langakah 2. Asumsikan bahwa benar, untuk
maka sehingga pola atau selisih dari
adalah . Jadi untuk dimana
diperoleh,
Sehingga terbukti bahwa dimana
adalah kofaktor kofaktor matriks
orde dan , berlaku untuk
Pada teorema 3.2 telah diperlihatkan kofaktor-kofaktor matriks secara
umum sehinga invers matriks menggunakan metode adjoin diperoleh
| |
[ ]
| |
[ |
| |
| |
| |
| ]
Universitas Sumatera Utara
[
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
]
[ ]
Invers matriks toeplitz pada persamaan
berorde dan dan |
| dapat dinyatakan dengan teorema 3.3.
3.3.2 Teorema 3.3
Andaikan suatu matriks toeplitz pada persamaan
berode dimana
dan | | adalah bilangan maka invers matriks toeplitz
adalah:
{ dimana
adalah entri-entri yang terletak dibaris ke dan kolom ke
Universitas Sumatera Utara
Bukti:
Pembuktian dilakukan sesuai dengan definisi invers matriks yakni, andaikan
suatu matriks bujur sangkar berodo dan dapat diperlihatkan
matriks , sehingga
maka dikatakan dapat dibalik
invertible dan dinamakan invers dari
adalah
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Jadi, terbukti bahwa invers dari matriks adalah
{
Universitas Sumatera Utara
3.4 Aplikasi Formula Deteminan dan Invers Matriks Toeplitz