3.2.1 Proposisi 3.1
Andaikan pada persamaan
suatu matriks toeplitz berorde genap dan
diperoleh |
|
Bukti: Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika, andaikan
adalah matriks toeplitz dengan ordo
genap yakni . Langkah 1. Diperlihatkan bahwa
| | |
| | | |
| memiliki pola untuk setiap
genap, a.
Untuk diperoleh | |
b. Untuk diperoleh |
| |
| c.
Untuk diperoleh | |
| |
d. dan seterusnya.
Dengan mengamati |
| | | |
| | | disimpulkan bahwa |
| bergantung pada
| | dan |
| bergantung pada | | sehingga |
| bergantung pada
| |
Langakah 2. Asumsikan bahwa |
| benar, untuk
genap maka
| |
sehingga pola atau selisih dari
| | |
| adalah
| |
| |
. Jadi untuk dimana
berlaku, |
| |
| | |
Sehingga terbukti bahwa |
| dimana orde genap berlaku
untuk |
|
Universitas Sumatera Utara
3.2.2 Proposisi 3.2
Andaikan pada persamaan
suatu matriks toeplitz berorde ganjil dan
diperoleh |
|
Bukti: Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika, andaikan
adalah matriks toeplitz dengan ordo
ganjil yakni Langkah 1. Diperlihatkan bahwa
| | |
| | | |
| memiliki pola untuk setiap
genap, a.
untuk diperoleh | |
b. untuk diperoleh |
| |
| c.
untuk diperoleh | |
| |
d. dan seterusnya.
Dengan mengamati |
| | | |
| | | disimpulkan bahwa |
| bergantung pada
| | dan |
| bergantung pada | | sehingga |
| bergantung pada
| |.
Langakah 2. Asumsikan bahwa |
| benar, untuk
ganjil maka
| |
sehingga pola atau selisih dari |
| | | adalah
| |
| |
. Jadi untuk dimana
diperoleh, |
| |
| | |
Sehingga terbukti bahwa |
| dimana orde ganjil berlaku
untuk |
|
Universitas Sumatera Utara
Berdasarkan hasil pengamatan pada proposisi 3.1 dan proposisi 3.2 diperoleh kesimpulan yang dinyatakan pada teorema 3.1.
3.2.3 Teorema 3.1:
Andaikan pada persamaan
suatu matriks toeplitz berordo dan bilangan
maka nilai determinan matriks
adalah
| |
Bukti: Pembuktian dilakukan dengan induksi matematika, andaikan
adalah matriks toeplitz dengan ordo
Langkah 1. Diperlihatkan bahwa |
| | | |
| | | memiliki pola untuk
setiap a.
untuk diperoleh | |
b. untuk diperoleh |
| |
| c.
untuk diperoleh | |
| |
d. dan seterusnya.
Dengan mengamati |
| | | |
| | | disimpulkan bahwa |
| bergantung pada
| | dan |
| bergantung pada | | sehingga |
| bergantung pada | |.
Langakah 2. Asumsikan bahwa |
| benar, untuk
maka |
| sehingga pola
atau selisih dari |
| | | adalah
| |
| |
. Jadi untuk
dimana diperoleh, |
| |
| | |
Sehingga terbukti bahwa |
| dimana berlaku
untuk |
|
Universitas Sumatera Utara
3.3 Invers Matriks Toeplitz
Kategori