21
Contoh 2.19
Gambar 2.12 Dalam gambar 2.12, graf
bukan graf bebas- . Sedangkan graf merupakan graf bebas-
. Graf bebas-
disebut juga graf bebas-cakar. Graf dan graf
merupakan beberapa contoh graf bebas-cakar.
D. OPERASI PADA GRAF
1. GABUNGAN DAN PENGGABUNGAN
Definisi 2.20
Jika dan adalah dua graf yang tidak terhubung, gabungan
adalah graf dengan dan
. Maka, memuat salinan dari bersama dengan salinan dari
.
22
Contoh 2.20
Gambar 2.13
Definisi 2.21
Jika dan adalah dua graf yang tidak terhubung, penggabungan
terbentuk dengan menambahkan rusuk pada setiap titik sedemikian hingga setiap titik
berhubungan dengan setiap titik . Jika dan memiliki dan titik, maka graf harus
ditambahkan rusuk.
Contoh 2.21
Gambar 2.14
23
Definisi 2.22
Untuk , roda
adalah penggabungan dari dengan
, yang berarti
.
Contoh 2.22
Gambar 2.15
Definisi 2.23
Misal adalah graf, barisan penggabungan
adalah graf yang terbentuk dengan mengambil satu tiruan dari setiap graf
dan menambahkan rusuk dari setiap titik pada dihubungkan pada setiap titik pada
, untuk .
Contoh 2.23
Gambar 2.16
24
2. KOMPLEMEN
Definisi 2.24
Komplemen ̅ dari suatu graf memiliki ̅ dan
̅ jika hanya jika .
Contoh 2.24
̅ Gambar 2.17
3. FAKTORISASI
Definisi 2.25
Suatu graf dapat difaktorkan dengan
jika sepasang-sepasang saling asing dan
⋃ . Jika
dapat difaktorkan atas , maka
hal tersebut dinotasikan dengan , yang disebut
faktorisasi dari
25
Contoh 2.25
Gambar 2.18 Gambar 2.18 merupakan contoh dari
.
4. PRODUK KARTESIUS
Misal dan adalah graf dengan himpunan titik-titik
{ } dan {
}, produk kartesius adalah graf dengan himpunan titik yang memuat
titik-titik yang diberi label
, dimana dan . Dua titik dan
berhubungan dalam jika
1. dan
berhubungan dengan dalam graf
, atau 2.
dan berhubungan dengan
dalam graf .
Setiap titik dari dapat dipandang memiliki dua “orang
tua” , yaitu dalam
dan dalam
. Untuk setiap , graf bagian yang diinduksi oleh
{ | } disebut tiruan ke- dari . Dengan cara yang sama, untuk setiap
, graf bagian yang diinduksi oleh
{ | } disebut tiruan ke- dari . Gambar 2.19
26
memperlihatkan graf ,
dan produk kartesius .
Gambar 2.19 Graf
dalam gambar 2.19 dapat dilihat sebagai tiga graf tiruan dari graf
yang berkorespondensi dengan tiga titik dalam graf . Kira- kira seperti meletakan titik-titik dari
pada tiruan graf . Setiap tiruan memiliki koordinat tetap kedua lihat gambar 2.19. Titik-titik dalam
tiruan yang pertama berhubungan dengan titik-titik yang
berkorespondensi dari graf tiruan yang kedua, karena
berhubungan dengan
dalam . Dengan cara yang mirip, titik-titik dalam tiruan
yang kedua berhubungan dengan titik-titik yang berkorespondensi dari graf tiruan
yang ketiga, karena berhubungan dengan
dalam .
Selain itu, titik-titik yang berkorespondensi dalam tiruan yang pertama
dan ketiga tidak saling berhubungan karena dan
tidak berhubungan dalam
. Paragraf sebelumnya dapat ditulis ulang dengan sedikit penyesuaian
jika pandangan terhadap graf tersebut diubah dengan mulai dengan empat
27
graf tiruan . Terdapat empat graf
, yang setiap graf tersebut dikarakterisasi oleh koordinat tetap yang pertama. Dalam faktanya,
dan adalah isomorfis untuk setiap dua graf dan , perbedaannya
hanya pada penamaannya. Dapat dilihat juga bahwa produk kartesius memiliki sifat asosiatif, yaitu
untuk setiap tiga graf
, dan .
5. JALA
Salah satu graf yang dapat dibentuk menggunakan produk kartesius adalah jala, yang juga disebut jaringan atau kisi. Graf
sama dengan produk kartesius dari dengan
, yang berarti . Graf
sama dengan produk kartesius dari dengan
dan . Sehingga
, karena produk kartesius bersifat asosiatif. Graf ini dapat diperluas menjadi
. Graf adalah produk kartesius dari
lintasan dengan urutan , dan
. Graf jala diperlihatkan pada gambar 2.20, dengan empat
titik yang berderajat 2 diberi label.
28
Gambar 2.20 Graf 3-jala
diperlihatkan pada gambar 2.21 dengan beberapa titik berlabel. Graf 3-jala
yang umum dapat dilihat sebagai garasi dengan beberapa lantai, tepatnya c lantai. Koordinat ketiga
mengidentifikasi banyaknya lantai. Setiap lantai adalah graf 2-jala dengan baris dan kolom.
Gambar 2.21
6. GRAF RUSUK
Definisi 2.26
Untuk suatu graf , graf rusuk memiliki himpunan titik yang
terdiri atas rusuk-rusuk dari . Dua titik dalam berhubungan jika
29
rusuk-rusuk yang berkorespondensi di bersisian dengan titik yang
sama dalam .
Contoh 2.26
Gambar 2.22
7. PENGHAPUSAN RUSUK ATAU TITIK
Definisi 2.27
Jika adalah titik dalam , graf adalah graf yang terbentuk dari
dengan menghapus titik dan semua rusuk yang bersisian dengan .
Contoh 2.27
Gambar 2.23
30
Definisi 2.28
Jika adalah rusuk dalam , graf adalah graf yang terbentuk
dari dengan menghapus rusuk .
Contoh 2.28
Gambar 2.24
E. KETERHUBUNGAN DALAM GRAF
