58
Akibat 3.18.b
Untuk setiap graf , .
Definisi 3.10
Suatu graf disebut dominasi sempurna jika untuk setiap
graf bagian yang diinduksi oleh .
Contoh 3.10
Graf dan graf
merupakan dominasi sempurna.
Akibat 3.18.c
Setiap graf bebas cakar adalah dominasi sempurna.
F. PARAMETER DOMINASI LAINNYA
Pada subbab sebelumnya telah diperkenalkan variasi dari bilangan dominasi, yaitu bilangan dominasi bebas. Sedangkan pada bagian ini,
akan diperlihatkan beberapa parameter dominasi lainnya.
59
Definisi 3.11
Himpunan dari titik-titik dalam disebut himpunan irredundant dari
jika untuk setiap titik , terdapat titik sedemikian hingga
{ } . Setiap titik yang memenuhi sifat ini disebut titik irredundant
. Himpunan yang bukan himpunan irredundant disebut
himpunan redundant . Setiap titik
dalam himpunan redundant disebut titik redundant
.
Dengan kata lain, adalah himpunan irredundant dari jika { }
untuk setiap titik . Dan himpunan adalah himpunan redundant jika hanya jika terdapat titik
dimana { } .
Contoh 3.11
Pada gambar 2.1, misal { }, maka adalah himpunan irredundant,
karena tapi { } dan tapi { }
Teorema 3.19
Himpunan dari titik-titik dalam adalah himpunan irredundant jika
hanya jika setiap titik dalam memenuhi paling sedikit satu dari dua
sifat berikut:
60
i terasing dari ,
ii Terdapat titik
sedemikian sehingga { }.
Bukti
Misal adalah himpunan dari titik-titik dalam sedemikian sehingga
untuk setiap titik , paling sedikit memenuhi salah satu sifat i dan
ii. Jika ii terpenuhi, maka terdapat titik sedemikian hingga
{ } . Jika i dipenuhi, maka { } . Dalam kasus ini adalah himpunan irredundant.
Secara konvers, misal adalah himpunan yang irredundant di ,
dan misal . Karena adalah himpunan yang irredundant, terdapat
sedemikian sehingga { } . Jika , maka ii terpenuhi, sedangkan jika
, maka i terpenuhi.
Dengan teorema 3.9, maka himpunan yang mendominasi minimal dalam suatu graf adalah himpunan irredundant. Karena itu, setiap graf memiliki
himpunan yang irredundant.
61
Definisi 3.12
Jika adalah himpunan yang irredundant di , dan , maka setiap
titik di { } disebut kitar pribadi dari .
Titik merupakan kitar pribadi bagi dirinya sendiri. Jika adalah
himpunan yang irredundant di , maka untuk setiap , himpunan
{ } tak kosong.
Contoh 3.12
Pada gambar 2.1, misal { }, titik merupakan kitar pribadi bagi
karena tetapi { } , begitu juga dengan titik dan .
Definisi 3.13
Bilangan irredundance dari suatu graf adalah kardinalitas
minimum dari himpunan yang irredundant di . Sedangkan bilangan
irredundance atas adalah kardinalitas maksimum dari himpunan
yang irredundant di .
62
Contoh 3.13
Dari gambar 2.1 didapatkan dan .
Teorema 3.20
Untuk setiap graf , .
Bukti
Untuk sudah pernah diperlihatkan. Untuk ketidaksamaan
merupakan akibat dari fakta bahwa setiap himpunan yang mendominasi minimal di
adalah himpunan yang irredundant.
Teorema 3.21
Untuk setiap graf , .
Bukti
Karena semua himpunan yang mendominasi minimal adalah himpunan yang irredundant, maka menyebabkan
. Selain itu, setiap himpunan bebas maksimum adalah himpunan yang mendominasi,
sehingga . Karena himpunan yang mendominasi bebas
merupakan himpunan bebas, maka .
63
Teorema 3.22
Untuk setiap graf bipartit , .
Bukti
Misal adalah graf bipartit dengan himpunan partisi dan . Misal
adalah himpunan irredundant maksimum dari dan misal adalah
himpunan dari titik terasing dari . Selanjutnya misal
, ,
, , dimana salah satu
atau lebih dari himpunan ini merupakan himpunan kosong. Setiap titik adalah irredundant di
. Karena tidak terisolasi di , titik bukan kitar pribadi. Bagaimanapun, karena
adalah himpunan yang irredundant,
adalah kitar pribadi dari suatu titik di . Karena itu, untuk
, terdapat titik sedemikian sehingga
{ }. Selain itu, karena , menyebabkan .
Misal { |
}. Maka | | | | dan .
Selanjutnya tidak ada titik di yang berhubungan dengan titik di
. Akibatnya
merupakan himpunan bebas di . Karena itu,
| | |
| | | | | | | .
64
G. APLIKASI
